Inlämningsuppgifter

Förberedande kurs i matematik

(Skillnad mellan versioner)
Hoppa till: navigering, sök
Rad 327: Rad 327:
</div>
</div>
-
==Inlämningsuppgift 4.1:1==
+
===Inlämningsuppgift 4.1:1===
-
Låt <math>f(x) = 5</math>, <math>g(x) = x^4</math> och <math>h(x) = x^5</math>. Visa med hjälp av derivatans definition att
+
Låt <math>f(x) = 7</math>, <math>g(x) = x^4</math> och <math>h(x) = x^5</math>. Visa med hjälp av derivatans definition att
<ol type="a">
<ol type="a">
Rad 334: Rad 334:
<li> <math>g'(x) = 4x^3</math></li>
<li> <math>g'(x) = 4x^3</math></li>
<li> <math>h'(x) = 5x^4</math></li>
<li> <math>h'(x) = 5x^4</math></li>
-
<li> <math>D[x^n] = nx^{n-1}</math>. Om du behöver binomialkoefficienter kan du skriva (n,k) istället av <math>{n\choose k}</math>.</li>
+
<li> <math>D[x^n] = nx^{n-1}</math>. Om du behöver binomialkoefficienter, skriv (n,k) istället av <math>{n\choose k}</math>.</li>
</ol>
</ol>
 +
 +
===Inlämningsuppgift 4.1:2===
 +
Låt <math>f(x) = 6</math>, <math>g(x) = x^4-4</math> och <math>h(x) = x^5+6</math>. Visa med hjälp av derivatans definition att
 +
 +
<ol type="a">
 +
<li> <math>f'(x) = 0</math></li>
 +
<li> <math>g'(x) = 4x^3</math></li>
 +
<li> <math>h'(x) = 5x^4</math></li>
 +
<li> <math>D[x^n + C] = nx^{n-1}</math>, där <math>n</math> är ett positivt heltal och <math>C</math> en godtycklig konstant. Om du behöver binomialkoefficienter, skriv (n,k) istället av <math>{n\choose k}</math>.</li>
 +
</ol>
 +
==Inlämningsuppift 4.2==
==Inlämningsuppift 4.2==

Versionen från 10 augusti 2012 kl. 13.49

Innehåll

Inlämningsuppgift 2

Kvadratkomplettering:

Innan du börjar med denna inlämningsuppgift, läs igenom sidan

Att skriva lösningar

För att bli godkänd på denna inlämningsuppgift måste du

  • Med ord förklara hur du löser uppgiften
  • Utföra och redovisa alla beräkningar (ta med några mellansteg då det behövs)
  • Skriva tydligt

Vanliga fel:

  • Ingen förklarande text, bara formler
  • Studenten använder pq-formeln istället av att kvadratkomplettera
  • Studenten kontrollerar inte svaret genom insättning

Inlämningsuppgift 2:1

Lös ekvationen \displaystyle 5x^2+4x+1 = 0 med kvadratkomplettering (ej pq-formeln). Använd bråk och inte decimaltal vid uträkningarna. Redovisa din lösning och kontrollera ditt svar genom insättning.


Inlämningsuppgift 2:2

\displaystyle 5x^2+4x-1 = 0

Inlämningsuppgift 2:3

\displaystyle 5x^2-2x+1 = 0

Inlämningsuppgift 2:4

\displaystyle 4x^2+2x-2 = 0


Inlämningsuppgift 2:5

Innan du börjar med denna inlämningsuppgift, läs igenom sidan

Att skriva lösningar

För att bli godkänd på denna inlämningsuppgift måste du

  • Med ord förklara hur du löser uppgiften
  • Utföra och redovisa alla beräkningar (ta med några mellansteg då det behövs)
  • Skriva tydligt

Vanliga fel:

  • Beräkningarna "lämnas till läsaren"


Låt \displaystyle p(x)=x^4+x^3+3x-3. Visa att ekvationen \displaystyle p(x)=0 saknar rationella lösningar. Motivera din lösning.

Förslag till inledning är "Enligt kursmaterialet gäller det att om a/b är en rationell rot till ekvationen så måste..."

Inlämningsuppgift 2:6

\displaystyle p(x)=3x^4+x^3+2x-1

Inlämningsuppgift 2:7

\displaystyle p(x)=2x^3+56x-1

Inlämningsuppgift 2:8

\displaystyle p(x)=x^3+5x^2+5


Inlämningsuppgift 3.1

För att bli godkänd på denna inlämningsuppgift måste du

  • Med ord förklara hur du löser uppgiften
  • Svara på alla deluppgifter och motivera alla svar
  • Utföra och redovisa alla beräkningar
  • Skriva tydligt

Vanliga fel:

  • Studenten motiverar inte sina svar
  • Studenten förstår inte vad som menas med definitions- och målmängd
  • Studenten kopierar över definitionen av en injektiv funktion och använder det som bevis

Se också sidan Att skriva lösningar.

Inlämningsuppgift 3.1:1

Låt \displaystyle A=\{a,b,c\}, \displaystyle B=\{a,b,c,d,e\} och \displaystyle C=\{a,b,c,d\}. Låt \displaystyle g:A\to B och \displaystyle f:B\to C vara två funktioner sådana att:

\displaystyle \qquad g(a)=a\qquad g(b)=c\qquad g(c)=c

\displaystyle \qquad f(a)=a\qquad f(b)=b\qquad f(c)=c\qquad f(d)=d\qquad f(e)=b

Dessa funktioner illustreras i bilden ovan. Sätt \displaystyle h(a)=f(g(a)).


a) Bestäm \displaystyle h:s definitionsmängd och dess målmängd. Motivera ditt svar.

b) Bestäm \displaystyle h:s värdemängd. Motivera ditt svar.

c) Vad är skillnaden mellan en funktions målmängd och värdemängd?

d) Är \displaystyle h injektiv? Är den surjektiv? Motivera ditt svar.


Betrakta istället \displaystyle p:\mathbb{Z}\to\mathbb{N} och \displaystyle q:\mathbb{N}\to\mathbb{R} sådana att

\displaystyle \qquad p(a)=a^2

\displaystyle \qquad q(a)=\sqrt{a}

Sätt \displaystyle r(a)=q(p(a)).


e) Bestäm \displaystyle r:s definitionsmängd och dess målmängd. Motivera ditt svar.

f) Bestäm \displaystyle r:s värdemängd. Motivera ditt svar.

g) Är \displaystyle r injektiv? Är den surjektiv? Motivera ditt svar.

Inlämningsuppgift 3.1:2

Låt \displaystyle A=\{a,b,c\}, \displaystyle B=\{a,b,c,d,e\} och \displaystyle C=\{a,b,c,d\}. Låt \displaystyle g:A\to B och \displaystyle f:B\to C vara två funktioner sådana att:

\displaystyle \qquad g(a)=b\qquad g(b)=b\qquad g(c)=b

\displaystyle \qquad f(a)=a\qquad f(b)=a\qquad f(c)=a\qquad f(d)=a\qquad f(e)=a

Dessa funktioner illustreras i bilden ovan. Sätt \displaystyle h(a)=f(g(a)).


a) Bestäm \displaystyle h:s definitionsmängd och dess målmängd. Motivera ditt svar.

b) Bestäm \displaystyle h:s värdemängd. Motivera ditt svar.

c) Vad är skillnaden mellan en funktions målmängd och värdemängd?

d) Är \displaystyle h injektiv? Är den surjektiv? Motivera ditt svar.


Betrakta istället \displaystyle p:\mathbb{N}\to\mathbb{R} och \displaystyle q:\mathbb{R}\to\mathbb{R} sådana att

\displaystyle \qquad p(a)=a^2

\displaystyle \qquad q(a)=-a

Sätt \displaystyle r(a)=q(p(a)).


e) Bestäm \displaystyle r:s definitionsmängd och dess målmängd. Motivera ditt svar.

f) Bestäm \displaystyle r:s värdemängd. Motivera ditt svar.

g) Är \displaystyle r injektiv? Är den surjektiv? Motivera ditt svar.

Inlämningsuppgift 3.1:3

Låt \displaystyle A=\{a,b,c\}, \displaystyle B=\{a,b,c,d\} och \displaystyle C=\{a,b,c,d,e\}. Låt \displaystyle g:A\to C och \displaystyle f:C\to B vara två funktioner sådana att:

\displaystyle \qquad g(a)=b\qquad g(b)=c\qquad g(c)=d

\displaystyle \qquad f(a)=d\qquad f(b)=a\qquad f(c)=b\qquad f(d)=c\qquad f(e)=d

Dessa funktioner illustreras i bilden ovan. Sätt \displaystyle h(a)=f(g(a)).


a) Bestäm \displaystyle h:s definitionsmängd och dess målmängd. Motivera ditt svar.

b) Bestäm \displaystyle h:s värdemängd. Motivera ditt svar.

c) Vad är skillnaden mellan en funktions målmängd och värdemängd?

d) Är \displaystyle h injektiv? Är den surjektiv? Motivera ditt svar.


Betrakta istället \displaystyle p:\mathbb{N}\to\mathbb{Z} och \displaystyle q:\mathbb{Z}\to\mathbb{R} sådana att

\displaystyle \qquad p(a)=2a

\displaystyle \qquad q(a)=a+1

Sätt \displaystyle r(a)=q(p(a)).


e) Bestäm \displaystyle r:s definitionsmängd och dess målmängd. Motivera ditt svar.

f) Bestäm \displaystyle r:s värdemängd. Motivera ditt svar.

g) Är \displaystyle r injektiv? Är den surjektiv? Motivera ditt svar.

Inlämningsuppgift 3.1:4

Låt \displaystyle A=\{a,b,c,d\}, \displaystyle B=\{a,b,c\} och \displaystyle C=\{a,b,c,d,e\}. Låt \displaystyle g:B\to C och \displaystyle f:C\to A vara två funktioner sådana att:

\displaystyle \qquad g(a)=a\qquad g(b)=c\qquad g(c)=c

\displaystyle \qquad f(a)=a\qquad f(b)=b\qquad f(c)=c\qquad f(d)=d\qquad f(e)=b

Dessa funktioner illustreras i bilden ovan. Sätt \displaystyle h(a)=f(g(a)).


a) Bestäm \displaystyle h:s definitionsmängd och dess målmängd. Motivera ditt svar.

b) Bestäm \displaystyle h:s värdemängd. Motivera ditt svar.

c) Vad är skillnaden mellan en funktions målmängd och värdemängd?

d) Är \displaystyle h injektiv? Är den surjektiv? Motivera ditt svar.


Betrakta istället \displaystyle p:\mathbb{N}\to\mathbb{R} och \displaystyle q:\mathbb{R}\to\mathbb{C} sådana att

\displaystyle \qquad p(a)=\sqrt{a}

\displaystyle \qquad q(a)=a

Sätt \displaystyle r(a)=q(p(a)).


e) Bestäm \displaystyle r:s definitionsmängd och dess målmängd. Motivera ditt svar.

f) Bestäm \displaystyle r:s värdemängd. Motivera ditt svar.

g) Är \displaystyle r injektiv? Är den surjektiv? Motivera ditt svar.


Inlämningsuppgift 3.2

För att bli godkänd på denna inlämningsuppgift måste du

  • Med ord förklara hur du löser uppgiften
  • Svara på alla deluppgifter och motivera alla svar
  • Utföra och redovisa alla beräkningar
  • Ta med tillräckligt många mellansteg
  • Skriva tydligt

Vanliga fel:

  • Studenten motiverar inte sina svar
  • Studenten konstaterar vad svaret blir, men redovisar inga beräkningar

Se också sidan Att skriva lösningar.

Inlämningsuppgift 3.2:1

En student har fått uppgiften att lösa ekvationen \displaystyle \sin^2x=1/2. Så här ser studentens lösning ut:

\displaystyle \sin^2x=\frac{1}{2}

\displaystyle \sin x=\frac{1}{\sqrt{2}}

\displaystyle x=45^{\circ}+2n\pi

  1. Hitta alla fel i lösningen. Motivera ditt svar.
  2. Ge en korrekt lösning.

Inlämningsuppgift 3.2:2

En student har fått uppgiften att lösa ekvationen \displaystyle \sin x\cos x=\cos x. Så här ser studentens lösning ut:

\displaystyle \sin x\cos x=\frac{1}{2}\cos x

\displaystyle \sin x = \frac{1}{2}

\displaystyle x = 30^{\circ}+2n\pi

  1. Hitta alla fel i lösningen. Motivera ditt svar.
  2. Ge en korrekt lösning.

Inlämningsuppgift 3.2:3

En student har fått uppgiften att lösa ekvationen \displaystyle \sin(-x)=\frac{1}{2}. Så här ser studentens lösning ut:

\displaystyle \sin(-x)=\frac{1}{2}

\displaystyle \sin x = \frac{1}{2}

\displaystyle x = 30^{\circ}+2n\pi

  1. Hitta alla fel i lösningen. Motivera ditt svar.
  2. Ge en korrekt lösning.

Inlämningsuppgift 3.2:4

En student har fått uppgiften att lösa ekvationen \displaystyle \cos(\pi-x)=\frac{1}{\sqrt{2}}. Så här ser studentens lösning ut:

\displaystyle \cos(\pi-x)=\frac{1}{\sqrt{2}}

\displaystyle \cos x=\frac{1}{\sqrt{2}}

\displaystyle x = 45^{\circ}+2n\pi

  1. Hitta alla fel i lösningen. Motivera ditt svar.
  2. Ge en korrekt lösning.

Inlämningsuppgift 4.1

För att bli godkänd på denna inlämningsuppgift måste du

  • Med ord förklara hur du löser uppgiften
  • Svara på alla deluppgifter och motivera alla svar
  • Utföra och redovisa alla beräkningar
  • Ta med tillräckligt många mellansteg
  • Skriva tydligt

Vanliga fel:

  • Ingen förklarande text, bara formler
  • Inga formler, bara förklarande text

Se också sidan Att skriva lösningar.

Inlämningsuppgift 4.1:1

Låt \displaystyle f(x) = 7, \displaystyle g(x) = x^4 och \displaystyle h(x) = x^5. Visa med hjälp av derivatans definition att

  1. \displaystyle f'(x) = 0
  2. \displaystyle g'(x) = 4x^3
  3. \displaystyle h'(x) = 5x^4
  4. \displaystyle D[x^n] = nx^{n-1}. Om du behöver binomialkoefficienter, skriv (n,k) istället av \displaystyle {n\choose k}.

Inlämningsuppgift 4.1:2

Låt \displaystyle f(x) = 6, \displaystyle g(x) = x^4-4 och \displaystyle h(x) = x^5+6. Visa med hjälp av derivatans definition att

  1. \displaystyle f'(x) = 0
  2. \displaystyle g'(x) = 4x^3
  3. \displaystyle h'(x) = 5x^4
  4. \displaystyle D[x^n + C] = nx^{n-1}, där \displaystyle n är ett positivt heltal och \displaystyle C en godtycklig konstant. Om du behöver binomialkoefficienter, skriv (n,k) istället av \displaystyle {n\choose k}.


Inlämningsuppift 4.2

På den här uppgiften måste du själv kunna bedöma hur mycket förklarande text och formler ska redovisas. Vi kräver fortfarande samma saker som i de tidigare inlämningsuppgifterna. På högskolan måste man alltid förklara hur man löst uppgiften och redovisa alla beräkningar. Även om det inte står "Motiver ditt svar" i uppgiften så räcker det aldrig med att redovisa svaret.

Inlämningsuppgift 5

Här finns det tre texter varav du väljer att arbeta med en och svara på samtliga inlämningsuppgifter nedan som tillgör din text. I din lösning ska du ange vilken text du valt. När uppgiften ser bra ut avslutas examinationen med en kortare telefonsamtal (ca 5-15 min). Lycka till!

Inlämningsuppgift 5:1 (SU)

Decimalutvecklingar och positionssystem

1. Vilken period respektive periodlängd har de rationella talen \displaystyle 1/12, \displaystyle 1/22, \displaystyle 1/82, \displaystyle 1/33?

2. Skriv decimaltalet \displaystyle 0,46454545\dots som en kvot mellan två heltal. Förklara tydligt hur du gör och visa dina beräkningar.

3. Beskriv med egna ord hur man i allmänhet kan gå tillväga för att skriva ett periodiskt decimaltal som ett bråk.

4. Utför följande baskonverteringar:

  1. \displaystyle 3030 i bas \displaystyle 6 till bas \displaystyle 10.
  2. \displaystyle 3030 i bas \displaystyle 10 till bas \displaystyle 6.
  3. \displaystyle 3,030 i bas \displaystyle 6 till bas \displaystyle 10.

Förklara tydligt hur du gör och ta med alla beräkningar.

5. Utför följande beräkningar. Du ska utföra beräkningarna i den givna basen och inte konvertera till bas \displaystyle 10. Förklara tydligt hur du gör och ta med alla beräkningar.

  1. \displaystyle 321 + 2300 i bas \displaystyle 4
  2. \displaystyle 11\cdot 21 i bas \displaystyle 3
  3. \displaystyle 10010 - 1111 i bas \displaystyle 2

6. Sök på nätet efter exempel där man använder tal angivna i bas 16 (det hexadecimala postitionssystemet), och utför en addition i denna bas där två tresiffriga tal adderas.


Euklides algoritm och diofantiska ekvationer

1. Ge ett exempel som illustrerar Lemma 1.

2. Använd Euklides algoritm för att bestämma SGD(2345, 245). Redovisa din lösning.

3. Använd Euklides algoritm till att förkorta så \displaystyle \frac{27}{2367} långt som möjligt. Redovisa din lösning.

4. Bestäm alla heltalslösningar till följande ekvationer: \displaystyle 4x + 8y=28 och \displaystyle 4x + 8y=7. Redovisa din lösning.

5. Lille Per har av sin moder fått 100 kr för att gå till konditoriet och köpa lyxsemlor till ett pris av 25kr per styck och mandelkakor till ett pris av 18 kr per styck. När han är framme i konditoriet har han hunnit glömma hur många av de två slagen bakverk han skulle köpa. Han minns dock att inga pengar skulle bli över och att antalet mandelkakor var ett udda tal. Hjälp lille Per!

Kombinatorik

1a. Permutationen i \displaystyle S_5 som skickar 12345 på 12345 kallas identitetspermutationen. Tag en valfri permutation \displaystyle \sigma\in S_5 skild från identitetspermutationen. Beskriv var \displaystyle \sigma skickar 12345 på och skriv \displaystyle \sigma på cykelnotation. 1b. Tag permutationen \displaystyle \pi som skickar 12345 på 31425 samt permutationen du just valde. Vad skickar \displaystyle \sigma\pi 12345 på? Skriv \displaystyle \sigma\pi med cykelnotation.

2. Ge både ett kombinatoriskt och ett algebraiskt bevis för sambandet

\displaystyle \qquad {n\choose l}{l\choose k}={n\choose k}{n-k\choose l-k}

Tips: till det kombinatoriska beviset: Vänsterledet kan vi exempelvis se som antalet sätt att välja ut l personer ur en grupp på n som får åka på en resa, av de l personerna väljs sedan k ut att få åka första klass.

3a. Beskriv hur urval med återläggning och utan hänsyn till ordning går till och motivera Sats 2 med egna ord (ca 1/3 sida).

3b. Anna har tre sorters tröjor: gröna, röda och svarta. Alla tröjor med samma färg är likadana och Anna har minst tio av varje sort. Till en resa ska Anna ta med sig 9 tröjor. På hur många sätta kan Anna välja vilka tröjor hos ska ta med sig?

3c. Ett annat sätt att formulera uppgift 3b är följande: Hur många lösningar har ekvationen \displaystyle x_1+x_2+x_3=9 där \displaystyle x_1,x_2,x_3\in\mathbb{N}. Vi kan se \displaystyle x_1 som antalet gröna tröjor, \displaystyle x_2 som antalet röda tröjor och \displaystyle x_3 som antalet svarta tröjor. Tillsammans skulle nio tröjor väljas varför summan av de tre variablerna ska vara 9. Använd detta för att ta reda på antalet lösningar i till ekvationen

\displaystyle \qquad x_1+x_2+x_3+x_4=6

Inlämningsuppgift 5:2 (SU)

Inlämningsuppgift 5:3 (HIG)

Decimalutvecklingar och positionssystem

1. Vilken period respektive periodlängd har de rationella talen \displaystyle 1/35, \displaystyle 1/7, \displaystyle 1/44, \displaystyle 1/60?

2. Skriv decimaltalet \displaystyle 0,16666\dots som en kvot mellan två heltal.

3. Utför följande baskonverteringar:

  1. \displaystyle 4242 i bas \displaystyle 7 till bas \displaystyle 10.
  2. \displaystyle 4242 i bas \displaystyle 10 till bas \displaystyle 7.
  3. \displaystyle 4,24 i bas \displaystyle 7 till bas \displaystyle 10.

Förklara tydligt hur du gör och ta med alla beräkningar.

4. Beskriv med egna ord hur man i allmänhet kan konvertera ett tal i bas 10 till bas 7. Ta inte ett exempel utan beskriv det allmänna fallet.

5. Utför följande beräkningar. Du ska utföra beräkningarna i den givna basen och inte konvertera till bas \displaystyle 10. Förklara tydligt hur du gör och ta med alla beräkningar.

  1. \displaystyle 101,1 + 10,1 i bas \displaystyle 2
  2. \displaystyle 32\cdot32 i bas \displaystyle 5
  3. \displaystyle 1001 - 110 i bas \displaystyle 2

6. Sök på nätet efter exempel där man använder tal angivna i bas 16 (det hexadecimala postitionssystemet), och utför en addition i denna bas där två tresiffriga tal adderas.

Euklides algoritm och diofantiska ekvationer

1. Ge ett exempel som illustrerar Lemma 1.

2. Använd Euklides algoritm för att bestämma SGD(569, 31). Redovisa din lösning.

3. Använd Euklides algoritm till att förkorta så \displaystyle \frac{9876}{32} långt som möjligt. Redovisa din lösning.

4. Bestäm alla heltalslösningar till följande ekvationer: \displaystyle 11x + 22y=32 och \displaystyle 11x + 22y=33. Redovisa din lösning.

5. Lille Per har av sin moder fått 120 kr för att gå till konditoriet och köpa lyxsemlor till ett pris av 18kr per styck och mandelkakor till ett pris av 12 kr per styck. När han är framme i konditoriet har han hunnit glömma hur många av de två slagen bakverk han skulle köpa. Han minns dock att inga pengar skulle bli över och att han skulle köpa fler mandelkakor än lyxsemlor. Hjälp lille Per!

Kombinatorik

1a. Permutationen i \displaystyle S_5 som skickar 12345 på 12345 kallas identitetspermutationen. Tag en valfri permutation \displaystyle \sigma\in S_5 skild från identitetspermutationen. Beskriv var \displaystyle \sigma skickar 12345 på och skriv \displaystyle \sigma på cykelnotation. 1b. Tag permutationen \displaystyle \pi som skickar 12345 på 31425 samt permutationen du just valde. Vad skickar \displaystyle \sigma\pi 12345 på? Skriv \displaystyle \sigma\pi med cykelnotation.

2. Ge både ett kombinatoriskt och ett algebraiskt bevis för sambandet

\displaystyle \qquad {n\choose l}{l\choose k}={n\choose k}{n-k\choose l-k}

Tips: till det kombinatoriska beviset: Vänsterledet kan vi exempelvis se som antalet sätt att välja ut l personer ur en grupp på n som får åka på en resa, av de l personerna väljs sedan k ut att få åka första klass.

3a. Beskriv hur urval med återläggning och utan hänsyn till ordning går till och motivera Sats 2 med egna ord (ca 1/3 sida).

3b. Anna har tre sorters tröjor: gröna, röda och svarta. Alla tröjor med samma färg är likadana och Anna har minst tio av varje sort. Till en resa ska Anna ta med sig 9 tröjor. På hur många sätta kan Anna välja vilka tröjor hos ska ta med sig?

3c. Ett annat sätt att formulera uppgift 3b är följande: Hur många lösningar har ekvationen \displaystyle x_1+x_2+x_3=9 där \displaystyle x_1,x_2,x_3\in\mathbb{N}. Vi kan se \displaystyle x_1 som antalet gröna tröjor, \displaystyle x_2 som antalet röda tröjor och \displaystyle x_3 som antalet svarta tröjor. Tillsammans skulle nio tröjor väljas varför summan av de tre variablerna ska vara 9. Använd detta för att ta reda på antalet lösningar i till ekvationen

\displaystyle \qquad x_1+x_2+x_3+x_4=6

Inlämningsuppgift 5:4 (HIG)