Inlämningsuppgifter
Förberedande kurs i matematik
Innehåll |
Inlämningsuppgift 3.1:1
Låt \displaystyle A=\{a,b,c\}, \displaystyle B=\{a,b,c,d,e\} och \displaystyle C=\{a,b,c,d\}. Låt \displaystyle g:A\to B och \displaystyle f:B\to C vara två funktioner sådana att:
\displaystyle \qquad g(a)=a\qquad g(b)=c\qquad g(c)=c
\displaystyle \qquad f(a)=a\qquad f(b)=b\qquad f(c)=c\qquad f(d)=d\qquad f(e)=b
Dessa funktioner illustreras i bilden ovan. Sätt \displaystyle h(a)=f(g(a)).
a) Bestäm \displaystyle h:s definitionsmängd och dess målmängd. Motivera ditt svar.
b) Bestäm \displaystyle h:s värdemängd. Motivera ditt svar.
c) Vad är skillnaden mellan en funktions målmängd och värdemängd?
d) Är \displaystyle h injektiv? Är den surjektiv? Motivera ditt svar.
Betrakta istället \displaystyle p:\mathbb{Z}\to\mathbb{N} och \displaystyle q:\mathbb{N}\to\mathbb{R} sådana att
\displaystyle \qquad p(a)=a^2
\displaystyle \qquad q(a)=\sqrt{a}
Sätt \displaystyle r(a)=q(p(a)).
e) Bestäm \displaystyle r:s definitionsmängd och dess målmängd. Motivera ditt svar.
f) Bestäm \displaystyle r:s värdemängd. Motivera ditt svar.
g) Är \displaystyle r injektiv? Är den surjektiv? Motivera ditt svar.
Inlämningsuppgift 3.1:2
Låt \displaystyle A=\{a,b,c\}, \displaystyle B=\{a,b,c,d,e\} och \displaystyle C=\{a,b,c,d\}. Låt \displaystyle g:A\to B och \displaystyle f:B\to C vara två funktioner sådana att:
\displaystyle \qquad g(a)=b\qquad g(b)=b\qquad g(c)=b
\displaystyle \qquad f(a)=a\qquad f(b)=a\qquad f(c)=a\qquad f(d)=a\qquad f(e)=a
Dessa funktioner illustreras i bilden ovan. Sätt \displaystyle h(a)=f(g(a)).
a) Bestäm \displaystyle h:s definitionsmängd och dess målmängd. Motivera ditt svar.
b) Bestäm \displaystyle h:s värdemängd. Motivera ditt svar.
c) Vad är skillnaden mellan en funktions målmängd och värdemängd?
d) Är \displaystyle h injektiv? Är den surjektiv? Motivera ditt svar.
Betrakta istället \displaystyle p:\mathbb{N}\to\mathbb{R} och \displaystyle q:\mathbb{R}\to\mathbb{C} sådana att
\displaystyle \qquad p(a)=a^2
\displaystyle \qquad q(a)=-a
Sätt \displaystyle r(a)=q(p(a)).
e) Bestäm \displaystyle r:s definitionsmängd och dess målmängd. Motivera ditt svar.
f) Bestäm \displaystyle r:s värdemängd. Motivera ditt svar.
g) Är \displaystyle r injektiv? Är den surjektiv? Motivera ditt svar.
Inlämningsuppgift 3.1:3
Låt \displaystyle A=\{a,b,c\}, \displaystyle B=\{a,b,c,d\} och \displaystyle C=\{a,b,c,d,e\}. Låt \displaystyle g:A\to C och \displaystyle f:C\to B vara två funktioner sådana att:
\displaystyle \qquad g(a)=b\qquad g(b)=c\qquad g(c)=d
\displaystyle \qquad f(a)=d\qquad f(b)=a\qquad f(c)=b\qquad f(d)=c\qquad f(e)=d
Dessa funktioner illustreras i bilden ovan. Sätt \displaystyle h(a)=f(g(a)).
a) Bestäm \displaystyle h:s definitionsmängd och dess målmängd. Motivera ditt svar.
b) Bestäm \displaystyle h:s värdemängd. Motivera ditt svar.
c) Vad är skillnaden mellan en funktions målmängd och värdemängd?
d) Är \displaystyle h injektiv? Är den surjektiv? Motivera ditt svar.
Betrakta istället \displaystyle p:\mathbb{N}\to\mathbb{R} och \displaystyle q:\mathbb{R}\to\mathbb{C} sådana att
\displaystyle \qquad p(a)=2a
\displaystyle \qquad q(a)=a+1
Sätt \displaystyle r(a)=q(p(a)).
e) Bestäm \displaystyle r:s definitionsmängd och dess målmängd. Motivera ditt svar.
f) Bestäm \displaystyle r:s värdemängd. Motivera ditt svar.
g) Är \displaystyle r injektiv? Är den surjektiv? Motivera ditt svar.
Inlämningsuppgift 3.1:4
Låt \displaystyle A=\{a,b,c,d\}, \displaystyle B=\{a,b,c\} och \displaystyle C=\{a,b,c,d,e\}. Låt \displaystyle g:B\to C och \displaystyle f:C\to A vara två funktioner sådana att:
\displaystyle \qquad g(a)=a\qquad g(b)=c\qquad g(c)=c
\displaystyle \qquad f(a)=a\qquad f(b)=b\qquad f(c)=c\qquad f(d)=d\qquad f(e)=b
Dessa funktioner illustreras i bilden ovan. Sätt \displaystyle h(a)=f(g(a)).
a) Bestäm \displaystyle h:s definitionsmängd och dess målmängd. Motivera ditt svar.
b) Bestäm \displaystyle h:s värdemängd. Motivera ditt svar.
c) Vad är skillnaden mellan en funktions målmängd och värdemängd?
d) Är \displaystyle h injektiv? Är den surjektiv? Motivera ditt svar.
Betrakta istället \displaystyle p:\mathbb{N}\to\mathbb{R} och \displaystyle q:\mathbb{R}\to\mathbb{C} sådana att
\displaystyle \qquad p(a)=\sqrt{a}
\displaystyle \qquad q(a)=a
Sätt \displaystyle r(a)=q(p(a)).
e) Bestäm \displaystyle r:s definitionsmängd och dess målmängd. Motivera ditt svar.
f) Bestäm \displaystyle r:s värdemängd. Motivera ditt svar.
g) Är \displaystyle r injektiv? Är den surjektiv? Motivera ditt svar.
Inlämningsuppgift 3.2:1
En student har fått uppgiften att lösa ekvationen \displaystyle \sin^2x=1/2. Så här ser studentens lösning ut:
\displaystyle \sin^2x=\frac{1}{2}
\displaystyle \sin x=\frac{1}{\sqrt{2}}
\displaystyle x=45^{\circ}+2n\pi
a) Hitta alla fel i lösningen. Motivera ditt svar.
b) Ge en korrekt lösning.
Inlämningsuppgift 3.2:2
En student har fått uppgiften att lösa ekvationen \displaystyle \sin x\cos x=\cos x. Så här ser studentens lösning ut:
\displaystyle \sin x\cos x=\frac{1}{2}\cos x
\displaystyle \sin x = \frac{1}{2}
\displaystyle x = 30^{\circ}+2n\pi
a) Hitta alla fel i lösningen. Motivera ditt svar.
b) Ge en korrekt lösning.
Inlämningsuppgift 3.2:3
En student har fått uppgiften att lösa ekvationen \displaystyle \sin(-x)=\frac{1}{2}. Så här ser studentens lösning ut:
\displaystyle \sin(-x)=\frac{1}{2}
\displaystyle \sin x = \frac{1}{2}
\displaystyle x = 30^{\circ}+2n\pi
a) Hitta alla fel i lösningen. Motivera ditt svar.
b) Ge en korrekt lösning.
Inlämningsuppgift 3.2:4
En student har fått uppgiften att lösa ekvationen \displaystyle \cos(\pi-x)=\frac{1}{\sqrt{2}}. Så här ser studentens lösning ut:
\displaystyle \cos(\pi-x)=\frac{1}{\sqrt{2}}
\displaystyle \cos x=\frac{1}{\sqrt{2}}
\displaystyle x = 45^{\circ}+2n\pi
a) Hitta alla fel i lösningen. Motivera ditt svar.
b) Ge en korrekt lösning.
Inlämningsuppgift 5:1
Decimalutvecklingar och positionssystem
1. Vilken period respektive periodlängd har de rationella talen 1/12, 1/22, 1/82, 1/33?
2. Skriv decimaltalet 0.46454545... som en kvot mellan två heltal.
3. Beskriv med egna ord hur man i allmänhet kan gå tillväga för att skriva ett periodiskt decimaltal som ett bråk.
4. Utför följande baskonverteringar:
3030 i bas 6 till bas 10.
3030 i bas 10 till bas 6.
5. Utför följande beräkningar i den givna basen och svara med samma bas som talen är skrivna i.
121 - 22 i bas 3
11*21 i bas 3
6. Sök på nätet efter exempel där man använder tal angivna i bas 16 (det hexadecimala postitionssystemet), och utför en addition i denna bas där två tresiffriga tal adderas.
Euklides algoritm och diofantiska ekvationer
1. Ge ett exempel som illustrerar Lemma 1.
2. Använd Euklides algoritm för att bestämma SGD(2345, 245). Redovisa din lösning.
3. Använd Euklides algoritm till att förkorta så \displaystyle \frac{27}{2367} långt som möjligt. Redovisa din lösning.
4. Bestäm alla heltalslösningar till följande ekvationer: \displaystyle 4x + 8y=28 och \displaystyle 4x + 8y=7. Redovisa din lösning.
5. Lille Per har av sin moder fått 100 kr för att gå till konditoriet och köpa lyxsemlor till ett pris av 25kr per styck och mandelkakor till ett pris av 18 kr per styck. När han är framme i konditoriet har han hunnit glömma hur många av de två slagen bakverk han skulle köpa. Han minns dock att inga pengar skulle bli över och att antalet mandelkakor var ett udda tal. Hjälp lille Per!
Inlämningsuppgift 5:2
Decimalutvecklingar och positionssystem
1. Vilken period respektive periodlängd har de rationella talen 1/35, 1/7, 1/44, 1/60?
2. Skriv decimaltalet 0.16666... som en kvot mellan två heltal.
3. Beskriv med egna ord hur man i allmänhet kan gå tillväga för att skriva ett periodiskt decimaltal som ett bråk.
4. Utför följande baskonverteringar:
4242 i bas 7 till bas 10.
4242 i bas 10 till bas 7.
5. Utför följande beräkningar i den givna basen och svara med samma bas som talen är skrivna i.
67 - 38 i bas 9
32*32 i bas 9
6. Sök på nätet efter exempel där man använder tal angivna i bas 16 (det hexadecimala postitionssystemet), och utför en addition i denna bas där två tresiffriga tal adderas.
Euklides algoritm och diofantiska ekvationer
1. Ge ett exempel som illustrerar Lemma 1.
2. Använd Euklides algoritm för att bestämma SGD(569, 31). Redovisa din lösning.
3. Använd Euklides algoritm till att förkorta så \displaystyle \frac{9876}{32} långt som möjligt. Redovisa din lösning.
4. Bestäm alla heltalslösningar till följande ekvationer: \displaystyle 11x + 22y=32 och \displaystyle 11x + 22y=33. Redovisa din lösning.
5. Lille Per har av sin moder fått 120 kr för att gå till konditoriet och köpa lyxsemlor till ett pris av 18kr per styck och mandelkakor till ett pris av 12 kr per styck. När han är framme i konditoriet har han hunnit glömma hur många av de två slagen bakverk han skulle köpa. Han minns dock att inga pengar skulle bli över och att han skulle köpa fler mandelkakor än lyxsemlor. Hjälp lille Per!
