3.1 Räkning med komplexa tal
Förberedande kurs i matematik 2
| Teori | Övningar |
Innehåll:
- Real- och imaginärdel
- Addition och subtraktion av komplexa tal
- Komplexkonjugat
- Multiplikation och division av komplexa tal
Lärandemål:
Efter detta avsnitt ska du ha lärt dig att:
- Beräkna uttryck som innehåller komplexa tal och är uppbyggda av de fyra räknesätten.
- Lösa komplexa förstagradsekvationer och förenkla svaret.
Inledning
De reella talen utgör en fullständig mängd av tal i den meningen att de fyller tallinjen, dvs. det finns inga "hål" i den reella tallinjen. Trots detta räcker de reella talen inte till som lösningar till alla algebraiska ekvationer, dvs. det finns ekvationer av typen
| \displaystyle a_nx^n+a_{n-1}x^{n-1}+\cdots+a_1x+a_0=0 |
som inte har någon lösning bland de reella talen. Exempelvis har ekvationen \displaystyle x^2+1=0 ingen reell lösning, eftersom inget reellt tal uppfyller att \displaystyle x^2=-1. Om vi däremot kan tänka oss \displaystyle \sqrt{-1} som det tal som uppfyller ekvationen \displaystyle x^2=-1 och tillåter oss att räkna med \displaystyle \sqrt{-1} som vilket tal som helst, så visar det sig att alla algebraiska ekvationer har lösningar.
Talet \displaystyle \sqrt{-1} är alltså inget reellt tal; vi kan inte gå ut i naturen och uppmäta \displaystyle \sqrt{-1} någonstans, eller hitta något som är \displaystyle \sqrt{-1} till antalet, men vi kan ändå ha nytta av talet i högst reella sammanhang.
Exempel 1
Om vi skulle vilja ta reda på summan av rötterna (lösningarna) till ekvationen \displaystyle x^2-2x+2=0 så får vi först lösningarna \displaystyle x_1=1+\sqrt{-1} och \displaystyle x_2=1-\sqrt{-1}. Dessa rötter innehåller det icke-reella talet \displaystyle \sqrt{-1}. Om vi för en stund tillåter oss att räkna med \displaystyle \sqrt{-1} så ser vi att summan av \displaystyle x_1 och \displaystyle x_2 blir \displaystyle 1+\sqrt{-1} + 1-\sqrt{-1} =2, alltså ett högst reellt tal.
För att lösa vårt problem var vi här tvungna att tillfälligtvis använda tal som inte är reella för att komma fram till den reella lösningen.
Definition av komplexa tal
Man inför den imaginära enheten \displaystyle i=\sqrt{-1} och definierar ett komplext tal som ett objekt som kan skrivas på formen
| \displaystyle z=a+bi\,\mbox{,} |
där \displaystyle a och \displaystyle b är reella tal, och \displaystyle i uppfyller \displaystyle i^2=-1.
Om \displaystyle a = 0 så kallas talet "rent imaginärt". Om \displaystyle b = 0 så är talet reellt. Vi ser här att de reella talen utgör en delmängd av de komplexa talen. Mängden av de komplexa talen betecknas med C.
För ett godtyckligt komplext tal använder man ofta beteckningen \displaystyle z. Om \displaystyle z=a+bi, där \displaystyle a och \displaystyle b är reella, så kallas \displaystyle a för realdelen och \displaystyle b för imaginärdelen av \displaystyle z. Man använder följande skrivsätt:
| \displaystyle \begin{align*}a &= \mathop{\rm Re} z\,\mbox{,}\\ b&=\mathop{\rm Im} z\,\mbox{.}\end{align*} |
När man räknar med komplexa tal gör man i princip som med de reella talen, men håller reda på att \displaystyle i^2=-1.
Addition och subtraktion
Vid addition och subtraktion av komplexa tal lägger man ihop (drar ifrån) realdel och imaginärdel var för sig. Om \displaystyle z=a+bi och \displaystyle w=c+di är två komplexa tal gäller alltså att
| \displaystyle \begin{align*} z+w &= a+bi+c+di = a+c+(b+d)i\,\mbox{,}\\ z-w &= a+bi-(c+di) = a-c+(b-d)i\,\mbox{.}\end{align*} |
Exempel 2
- \displaystyle (3-5i)+(-4+i)=-1-4i
- \displaystyle \bigl(\tfrac{1}{2}+2i\bigr)-\bigl(\tfrac{1}{6}+3i\bigr) = \tfrac{1}{3}-i
- \displaystyle \frac{3+2i}{5}-\frac{3-i}{2} = \frac{6+4i}{10}-\frac{15-5i}{10} = \frac{-9+9i}{10} = -0{,}9 + 0{,}9i
Multiplikation
Komplexa tal multipliceras som vanliga reella tal eller algebraiska uttryck, med tillägget att \displaystyle i^2=-1. Generellt gäller för två komplexa tal \displaystyle z=a+bi och \displaystyle w=c+di att
| \displaystyle z\cdot w=(a+bi)(c+di)=ac+adi+bci+bdi^2=(ac-bd)+(ad+bc)i\,\mbox{.} |
Exempel 3
- \displaystyle 3(4-i)=12-3i
- \displaystyle 2i(3-5i)=6i-10i^2=10+6i
- \displaystyle (1+i)(2+3i)=2+3i+2i+3i^2=-1+5i
- \displaystyle (3+2i)(3-2i)=3^2-(2i)^2=9-4i^2=13
- \displaystyle (3+i)^2=3^2+2\cdot3i+i^2=8+6i
- \displaystyle i^{12}=(i^2)^6=(-1)^6=1
- \displaystyle i^{23}=i^{22}\cdot i=(i^2)^{11}\cdot i=(-1)^{11}i=-i
Komplexkonjugat
Om \displaystyle z=a+bi så kallas \displaystyle \overline{z} = a-bi det komplexa konjugatet till \displaystyle z (omvänt gäller också att \displaystyle z är konjugatet till \displaystyle \overline{z}). Man får då sambanden
| \displaystyle \begin{align*} z+\overline{z} &= a + bi + a - bi = 2a = 2\, \mathop{\rm Re} z\,\mbox{,}\\ z-\overline{z} &= a + bi - (a - bi) = 2bi = 2i\, \mathop{\rm Im} z\,\mbox{,}\end{align*} |
men kanske framför allt, pga. konjugatregeln, att
| \displaystyle z\cdot \bar z = (a+bi)(a-bi)=a^2-(bi)^2=a^2-b^2i^2=a^2+b^2\,\mbox{,} |
dvs. att produkten av ett komplext tal och dess konjugat är alltid reell.
Exempel 4
- \displaystyle z=5+i\qquad då är \displaystyle \quad\overline{z}=5-i\,.
- \displaystyle z=-3-2i\qquad då är \displaystyle \quad\overline{z} =-3+2i\,.
- \displaystyle z=17\qquad då är \displaystyle \quad\overline{z} =17\,.
- \displaystyle z=i\qquad då är \displaystyle \quad\overline{z} =-i\,.
- \displaystyle z=-5i\qquad då är \displaystyle \quad\overline{z} =5i\,.
Exempel 5
- Om \displaystyle z=4+3i då gäller att
- \displaystyle z+\overline{z} = 4 + 3i + 4 -3i = 8
- \displaystyle z-\overline{z} = 6i
- \displaystyle z \cdot \overline{z} = 4^2-(3i)^2=16+9=25
- För \displaystyle z gäller att \displaystyle \mathop{\rm Re} z=-2
och \displaystyle \mathop{\rm Im} z=1, och får vi att
- \displaystyle z+\overline{z} = 2\,\mathop{\rm Re} z = -4
- \displaystyle z-\overline{z} = 2i\,\mathop{\rm Im} z = 2i
- \displaystyle z\cdot \overline{z} = (-2)^2+1^2=5
Division
När man dividerar två komplexa tal med varandra förlänger man med nämnarens konjugat och utnyttjar härigenom att nämnaren då blir ett reellt tal. Därefter kan såväl realdel som imaginärdel i täljaren divideras med detta tal. Generellt, om \displaystyle z=a+bi och \displaystyle w=c+di:
| \displaystyle \frac{z}{w} = \frac{a+bi}{c+di} = \frac{(a+bi)(c-di)}{(c+di)(c-di)} = \frac{(ac+bd)+(bc-ad)i}{c^2+d^2} = \frac{ac+bd}{c^2+d^2}+\frac{bc-ad}{c^2+d^2}\,i |
Exempel 6
- \displaystyle \quad\frac{4+2i}{1+i} = \frac{(4+2i)(1-i)}{(1+i)(1-i)} = \frac{4-4i+2i-2i^2}{1-i^2} = \frac{6-2i}{2}=3-i
- \displaystyle \quad\frac{25}{3-4i} = \frac{25(3+4i)}{(3-4i)(3+4i)} = \frac{25(3+4i)}{3^2-16i^2} = \frac{25(3+4i)}{25} = 3+4i
- \displaystyle \quad\frac{3-2i}{i} = \frac{(3-2i)(-i)}{i(-i)} = \frac{-3i+2i^2}{-i^2} = \frac{-2-3i}{1} = -2-3i
Exempel 7
- \displaystyle \quad\frac{2}{2-i}-\frac{i}{1+i}
= \frac{2(2+i)}{(2-i)(2+i)} - \frac{i(1-i)}{(1+i)(1-i)}
= \frac{4+2i}{5}-\frac{1+i}{2}
\displaystyle \quad\phantom{\frac{2}{2-i}-\frac{i}{1+i}}{} = \frac{8+4i}{10}-\frac{5+5i}{10} = \frac{3-i}{10}\vphantom{\Biggl(} - \displaystyle \quad\frac{1-\dfrac{2}{1-i}}{2i+\dfrac{i}{2+i}}
= \frac{\dfrac{1-i}{1-i}-\dfrac{2}{1-i}}{\dfrac{2i(2+i)}{(2+i)}
+ \dfrac{i}{2+i}}
= \frac{\dfrac{1-i-2}{1-i}}{\dfrac{4i+2i^2 + i}{2+i}}
= \frac{\dfrac{-1-i}{1-i}}{\dfrac{-2+5i}{2+i}}
\displaystyle \quad\phantom{\smash{\frac{1-\dfrac{2}{1-i}}{2i+\dfrac{i}{2+i}}}}{} = \frac{-1-i}{1-i}\cdot \frac{2+i}{-2+5i} = \frac{(-1-i)(2+i)}{(1-i)(-2+5i)} = \frac{-2-i-2i-i^2}{-2+5i+2i-5i^2}\vphantom{\Biggl(}
\displaystyle \quad\phantom{\smash{\frac{1-\dfrac{2}{1-i}}{2i+\dfrac{i}{2+i}}}}{} = \frac{-1-3i}{3+7i} = \frac{(-1-3i)(3-7i)}{(3+7i)(3-7i)} = \frac{-3+7i-9i+21i^2}{3^2-49i^2}\vphantom{\Biggl(} \displaystyle \quad\phantom{\smash{\frac{1-\dfrac{2}{1-i}}{2i+\dfrac{i}{2+i}}}}{} = \frac{-24-2i}{58} = \frac{-12-i}{29}\vphantom{\Biggl(}
Exempel 8
Bestäm det reella talet \displaystyle a så att uttrycket \displaystyle \ \frac{2-3i}{2+ai}\ blir reellt.
Förläng med nämnarens konjugat så att uttrycket kan skrivas med separata real- och imaginärdelar
| \displaystyle \frac{(2-3i)(2-ai)}{(2+ai)(2-ai)} = \frac{4-2ai-6i+3ai^2}{4-a^2i^2} = \frac{4-3a-(2a+6)i}{4+a^2} |
Om uttrycket ska bli reellt så måste imaginärdelen vara 0, dvs.
| \displaystyle 2a+6=0\quad\Leftrightarrow\quad a = -3\,\mbox{.} |
Ekvationer
För att två komplexa tal \displaystyle z=a+bi och \displaystyle w=c+di ska vara lika, krävs att både real- och imaginärdel är lika, dvs. att \displaystyle a=c och \displaystyle b=d. När man söker ett okänt komplext tal \displaystyle z i en ekvation kan man antingen försöka lösa ut talet \displaystyle z på vanligt vis, eller sätta in \displaystyle z=a+bi i ekvationen och därefter jämföra real- och imaginärdelar i ekvationens båda led med varandra.
Exempel 9
- Lös ekvationen \displaystyle 3z+1-i=z-3+7i.
Samla \displaystyle z i vänsterledet genom att subtrahera båda led med \displaystyle z\displaystyle 2z+1-i = -3+7i och subtrahera sedan med \displaystyle 1-i
Detta ger att \displaystyle \ z=\frac{-4+8i}{2}=-2+4i\,\mbox{.}\displaystyle 2z = -4+8i\,\mbox{.} - Lös ekvationen \displaystyle z(-1-i)=6-2i.
Dela båda led med \displaystyle -1-i för att få fram \displaystyle z\displaystyle z = \frac{6-2i}{-1-i} = \frac{(6-2i)(-1+i)}{(-1-i)(-1+i)} = \frac{-6+6i+2i-2i^2}{(-1)^2 -i^2} = \frac{-4+8i}{2} = -2+4i\,\mbox{.} - Lös ekvationen \displaystyle 3iz-2i=1-z.
Adderar vi \displaystyle z och \displaystyle 2i till båda led fås\displaystyle 3iz+z=1+2i\quad \Leftrightarrow \quad z(3i+1)=1+2i\,\mbox{.} Detta ger att
\displaystyle z = \frac{1+2i}{1+3i} = \frac{(1+2i)(1-3i)}{(1+3i)(1-3i)} = \frac{1-3i+2i-6i^2}{1-9i^2} = \frac{7-i}{10}\,\mbox{.} - Lös ekvationen \displaystyle 2z+1-i=\bar z +3 + 2i.
I ekvationen förekommer \displaystyle z också som \displaystyle \overline{z} och därför skriver vi \displaystyle z som \displaystyle z=a+ib och löser ekvationen för \displaystyle a och \displaystyle b genom att sätta real- och imaginärdel av båda led lika\displaystyle 2(a+bi)+1-i=(a-bi)+3+2i dvs.
\displaystyle (2a+1)+(2b-1)i=(a+3)+(2-b)i\,\mbox{,} vilket ger att
Svaret är alltså \displaystyle z=2+i.\displaystyle \left\{\begin{align*} 2a+1 &= a+3\\ 2b-1 &= 2-b\end{align*}\right.\quad\Leftrightarrow\quad\left\{\begin{align*} a &= 2\\ b &= 1\end{align*}\right.\,\mbox{.}
Råd för inläsning
Tänk på att:
Räkning med komplexa tal fungerar på samma sätt som med vanliga tal förutom att \displaystyle i^2=-1.
Kvoter av komplexa tal räknas ut genom att förlänga bråket med nämnarens komplexkonjugat.
