3.4 Komplexa polynom
Förberedande kurs i matematik 2
Teori | Övningar |
Innehåll:
- Faktorsatsen
- Polynomdivision
- Algebrans fundamentalsats
Lärandemål:
Efter detta avsnitt ska du ha lärt dig att:
- Utföra polynomdivision.
- Förstå sambandet mellan faktorer och nollställen till polynom.
- Veta att en polynomekvation av grad n har n rötter (räknade med multiplicitet).
- Veta att reella polynomekvationer har komplexkonjugerade rötter.
Polynom och ekvationer
Ett uttryck på formen
där
Polynom är grundläggande för en stor del av matematiken och visar bl.a. upp stora likheter med våra heltal, vilket gör att vi kan räkna med polynom på liknande sätt som med heltalen.
Exempel 1
Jämför följande heltal skrivet i basen 10,
![]() ![]() ![]() |
med ett polynom i
![]() ![]() ![]() |
och sedan följande divisioner,
111353=123 eftersom1353=123 ,11
x+1x3+3x2+5x+3=x2+2x+3 eftersomx3+3x2+5x+3=(x2+2x+3)(x+1) .
Om
Som exemplet ovan visade kan polynom divideras precis som heltal. En sådan division går, precis som för heltal, i allmänhet inte jämnt upp. Om t.ex.
Uträkningen kan även skrivas 5+2
Om
eller q(x)+r(x)
Det är uppenbart att en division går jämnt upp om resten är noll. För polynom uttrycks detta på följande sätt: Om
eller q(x)
Polynomdivision
Om
Exempel 2
Utför polynomdivisionen
Det första steget är att vi lägger till och drar ifrån en lämplig
Anledningen till att vi gör detta är att nu kan deluttrycket
Sedan lägger vi till och drar ifrån en lämplig
Det sista steget är att vi lägger till och drar ifrån en konstant
Alltså gäller att
Kvoten är
Samband mellan faktorer och nollställen
Om q(x)
![]() |
Eftersom (a−a)=q(a)
0=0
Faktorsatsen:
Observera att satsen gäller åt båda hållen, dvs. om man vet att
Exempel 3
Polynomet
och har därför nollställena
Exempel 4
- Faktorisera polynomet
x2−3x−10 . Genom att bestämma polynomets nollställen får man enligt faktorsatsen automatiskt dess faktorer. Andragradsekvationenx2−3x−10=0 har lösningarnax=23 23
2−(−10)=23
27,
dvs.
x=−2 ochx=5 . Detta betyder attx2−3x−10=(x−(−2))(x−5)=(x+2)(x−5) . - Faktorisera polynomet
x2+6x+9 . Detta polynom har en dubbelrotx=−3 (−3)2−9=−3
och därmed är
x2+6x+9=(x−(−3))(x−(−3))=(x+3)2 . - Faktorisera polynomet
x2−4x+5 . I detta fall har polynomet två komplexa rötterx=2 22−5=2
−1=2
i
och faktoriseringen blir
(x−(2−i))(x−(2+i)) .
Exempel 5
Bestäm ett tredjegradspolynom med nollställena
Polynomet måste enligt faktorsatsen ha faktorerna
Algebrans fundamentalsats
Vi införde i början av detta kapitel de komplexa talen för att kunna lösa andragradsekvationen
Varje polynom av grad 1
Eftersom varje nollställe enligt faktorsatsen motsvaras av en faktor, kan man nu också fastställa följande sats:
Varje polynom av grad 1
(Med multiplicitet menas att ett dubbelt nollställe räknas 2 gånger, ett trippelnollställe 3 gånger, osv.)
Notera att dessa satser bara säger att det finns komplexa rötter till polynom men inte hur man räknar ut dessa. I allmänhet finns det ingen enkel metod att skriva upp en formel för rötterna, utan för polynomekvationer av högre gradtal får vi använda diverse knep för att lösa. Om vi håller oss till polynom med reella koefficienter så är ett av dessa knep som kan hjälpa oss att polynomets komplexa rötter alltid är komplexkonjugerade.
Exempel 6
Visa att polynomet
Vi har att
För att räkna ut det sista uttrycket behöver vi bestämma
Detta ger att
vilket visar att
Eftersom polynomet har reella koefficienter kan vi direkt säga att de två andra nollställena är komplexkonjugatet av de två första nollställena, dvs. de två andra rötterna är
En konsekvens av algebrans fundamentalsats (och faktorsatsen) är att alla polynom kan faktoriseras i en produkt av komplexa förstagradsfaktorer. Detta gäller även polynom med reella koefficienter, men för dessa går det att multiplicera ihop förstagradsfaktorer som hör till komplexkonjugerade rötter och få en faktorisering helt med reella första- och andragradsfaktorer.
Exempel 7
Visa att \displaystyle x=1 är ett nollställe till \displaystyle p(x)= x^3+x^2-2. Faktorisera därefter \displaystyle p(x) i polynom med reella koefficienter, samt fullständigt i förstagradsfaktorer.
Vi har att \displaystyle \ p(1)= 1^3 + 1^2 -2 = 0\ vilket visar att \displaystyle x=1 är ett nollställe till polynomet. Enligt faktorsatsen betyder detta att \displaystyle x-1 är en faktor i \displaystyle p(x), dvs. att \displaystyle p(x) är delbar med \displaystyle x-1. Vi delar därför polynomet med \displaystyle x-1 för att få återstående faktor om \displaystyle x-1 bryts ut ur polynomet
\displaystyle \begin{align*} \frac{x^3+x^2-2}{x-1} &= \frac{x^2(x-1)+2x^2-2}{x-1} = x^2 + \frac{2x^2-2}{x-1} = x^2 + \frac{2x(x-1) +2x -2}{x-1}\\[4pt] &= x^2 + 2x + \frac{2x-2}{x-1} = x^2 + 2x + \frac{2(x-1)}{x-1} = x^2 + 2x + 2\,\mbox{.}\end{align*} |
Alltså har vi att \displaystyle \ p(x)= (x-1)(x^2+2x+2)\,.
Nu återstår att faktorisera \displaystyle x^2+2x+2. Ekvationen \displaystyle x^2+2x+2=0 har lösningarna
\displaystyle x=-1\pm \sqrt{\smash{(-1)^2 -2}\vphantom{i^2}} = -1 \pm \sqrt{-1} = -1\pm i |
och därför har polynomet följande faktoriseringen i komplexa förstagradsfaktorer
\displaystyle \begin{align*} x^3+x^2-2 = (x-1)(x^2+2x+2) &= (x-1)(x-(-1+i))(x-(-1-i))\\ &= (x-1)(x+1-i)(x+1+i)\,\mbox{.}\end{align*} |