8.2 Funktionalmatriser

Övning 9.2.1

Bestäm funktionalmatriserna till följande avbildningar

a) \displaystyle \mathbf{f}(x_1,x_2)=\begin{pmatrix} x_1^2+x_2^2\\ x_1e^{x_1x_2}\end{pmatrix}

b) \displaystyle \mathbf{f}(x_1,x_2,x_3)=\begin{pmatrix} 5x_1+2x_2\\ x_2+4x_3\\ x_1+2x_2-x_3 \end{pmatrix}

c) \displaystyle \mathbf{f}(x_1,x_2)= \begin{pmatrix} 5x_1+\sin x_2\\ x_2\tan(x_1)\\ x_1\arctan x_2 \end{pmatrix}

Övning 9.2.2

Bestäm funktionaldeterminanterna till följande avbildningar, i angivna punkter.

a) \displaystyle \mathbf{f}(x_1,x_2,x_3)= \begin{pmatrix} 5x_1+2x_2\\ x_2+4x_3\\ x_1+2x_2-x_3 \end{pmatrix} i punkten \displaystyle (x_1,x_2,x_3)=(1,2,3)

b) \displaystyle \mathbf{f}(x_1,x_2,x_3)= \begin{pmatrix} x_1^2+2x_2^3\\ \sin(\pi x_1)+5x_2^3\\ \end{pmatrix} i punkten \displaystyle (x_1,x_2)=(1,-1)

c) \displaystyle \mathbf{f}(x_1,x_2,x_3)= \begin{pmatrix} \arcsin x_1+\ln(1+x_2^2)+x_3\\ \cos (\pi x_2)+4x_3^2\\ -x_3 \end{pmatrix} i punkten \displaystyle (x_1,x_2,x_3)=(0,\frac{1}{2},1)

Övning 9.2.3

Låt \displaystyle \mathbf{f}(x_1,x_2,x_{3})= \begin{pmatrix} 5x_1+2x_2\\ x_2+4x_3\\ x_1+2x_2-x_3 \end{pmatrix}

a) Bestäm alla punkter där funktionaldeterminanten är skild från 0.

b) I vilka punkter är avbildningen lokalt inverterbar?

c) Avgör om avbildningen är globalt inverterbar

Övning 9.2.4

Låt \displaystyle \mathbf{f}(x_1,x_2)= \begin{pmatrix} e^{x_1}\cos x_2\\ e^{x_1}\sin x_2 \end{pmatrix}

a) Bestäm alla punkter där funktionaldeterminanten är skild från 0.

b) I vilka punkter är avbildningen lokalt inverterbar?

c) Avgör om avbildningen är globalt inverterbar

Övning 9.2.5

Betrakta avbildningen

\displaystyle \begin{cases} u= x^{2}-y^{2}\\ v= 2xy \end{cases}

a) Beräkna funktionaldeterminanten,\displaystyle \frac{d(u,v)}{d(x,y)}

b) För vilka punkter är avbildningen lokalt inverterbar?

c) Avgör om avbildningen är globalt inverterbar