4.3 Övningar
Sommarmatte 1
Innehåll[göm] |
[redigera] Övning 4.3:1
Bestäm de vinklar \,v\, mellan \,\displaystyle \frac{\pi}{2}\, och \,2\pi\, som uppfyller
| a) | \cos{v}=\cos{\displaystyle \frac{\pi}{5}} | b) | \sin{v}=\sin{\displaystyle \frac{\pi}{7}} | c) | \tan{v}=\tan{\displaystyle \frac{2\pi}{7}} |
Facit till alla delfrågor
| a) | v = \displaystyle \frac{9\pi}{5} | b) | v = \displaystyle \frac{6\pi}{7} | c) | v = \displaystyle \frac{9\pi}{7} |
Lösning till delfråga a)
|
|
Lösning till delfråga b)
|
|
Lösning till delfråga c)
|
|
[redigera] Övning 4.3:2
Bestäm de vinklar \,v\, mellan 0 och \,\pi\, som uppfyller
| a) | \cos{v} = \cos{\displaystyle \frac{3\pi}{2}} | b) | \cos{v} = \cos{ \displaystyle \frac{7\pi}{5}} |
Facit till alla delfrågor
| a) | v=\displaystyle \frac{\pi}{2} | b) | v=\displaystyle \frac{3\pi}{5} |
Lösning till delfråga a)
|
|
Lösning till delfråga b)
|
|
[redigera] Övning 4.3:3
Antag att \,-\displaystyle \frac{\pi}{2} \leq v \leq \displaystyle \frac{\pi}{2}\, och att \,\sin{v} = a\,. Uttryck med hjälp av \,a
| a) | \sin{(-v)} | b) | \sin{(\pi-v)} |
| c) | \cos{v} | d) | \sin{\left(\displaystyle \frac{\pi}{2}-v\right)} |
| e) | \cos{\left( \displaystyle \frac{\pi}{2} + v\right)} | f) | \sin{\left( \displaystyle \frac{\pi}{3} + v \right)} |
Facit till alla delfrågor
| a) | -a | b) | a |
| c) | \sqrt{1-a^2} | d) | \sqrt{1-a^2} |
| e) | -a | f) | \displaystyle \frac{\sqrt{3}}{2}\sqrt{1-a^2}+\displaystyle \frac{1}{2}\cdot a |
Lösning till delfråga a)
|
|
Lösning till delfråga b)
|
|
Lösning till delfråga c)
|
|
Lösning till delfråga d)
|
|
Lösning till delfråga e)
|
|
Lösning till delfråga f)
|
|
[redigera] Övning 4.3:4
Antag att \,0 \leq v \leq \pi\, och att \,\cos{v}=b\,. Uttryck med hjälp av \,b\,
| a) | \sin^2{v} | b) | \sin{v} |
| c) | \sin{2v} | d) | \cos{2v} |
| e) | \sin{\left( v+\displaystyle \frac{\pi}{4} \right)} | f) | \cos{\left( v-\displaystyle \frac{\pi}{3} \right)} |
Facit till alla delfrågor
| a) | 1-b^2 | b) | \sqrt{1-b^2} |
| c) | 2b\sqrt{1-b^2} | d) | 2b^2-1 |
| e) | \sqrt{1-b^2}\cdot\displaystyle \frac{1}{\sqrt{2}} + b\cdot \displaystyle \frac{1}{\sqrt{2}} | f) | b\cdot\displaystyle \frac{1}{2}+\sqrt{1-b^2}\cdot\displaystyle \frac{\sqrt{3}}{2} |
Lösning till delfråga a)
|
|
Lösning till delfråga b)
|
|
Lösning till delfråga c)
|
|
Lösning till delfråga d)
|
|
Lösning till delfråga e)
|
|
Lösning till delfråga f)
|
|
[redigera] Övning 4.3:5
För en spetsig vinkel \,v\, i en triangel gäller att \,\sin{v}=\displaystyle \frac{5}{7}\,. Bestäm \,\cos{v}\, och \,\tan{v}\,.
| \cos{v}=\displaystyle \frac{2\sqrt{6}}{7}\quad och \quad\tan{v}=\displaystyle \frac{5}{2\sqrt{6}}\,. |
|
|
|
|
[redigera] Övning 4.3:6
| a) | Bestäm \ \sin{v}\ och \ \tan{v}\ om \ \cos{v}=\displaystyle \frac{3}{4}\ och \ \displaystyle \frac{3\pi}{2} \leq v \leq 2\pi\,. |
| b) | Bestäm \ \cos{v}\ och \ \tan{v}\ om \ \sin{v}=\displaystyle \frac{3}{10}\ och \,v\, ligger i den andra kvadranten. |
| c) | Bestäm \ \sin{v}\ och \ \cos{v}\ om \ \tan{v}=3\ och \ \pi \leq v \leq \displaystyle \frac{3\pi}{2}\,. |
Facit till alla delfrågor
| a) | \sin{v}=-\displaystyle \frac{\sqrt{7}}{4}\quad och \quad\tan{v}=-\displaystyle \frac{\sqrt{7}}{3}\,. |
| b) | \cos{v}=-\displaystyle \frac{\sqrt{91}}{10}\quad och \quad\tan{v}=-\displaystyle \frac{3}{\sqrt{91}}\,. |
| c) | \sin{v}=-\displaystyle \frac{3}{\sqrt{10}}\quad och \quad\cos{v}=-\displaystyle \frac{1}{\sqrt{10}}\,. |
Lösning till delfråga a)
|
|
|
|
Lösning till delfråga b)
|
|
|
|
Lösning till delfråga c)
|
|
|
|
[redigera] Övning 4.3:7
Bestäm \ \sin{(x+y)}\ om
| a) | \sin{x}=\displaystyle \frac{2}{3}\,, \ \sin{y}=\displaystyle \frac{1}{3}\ och \,x\,, \,y\, är vinklar i första kvadranten. |
| b) | \cos{x}=\displaystyle \frac{2}{5}\,, \ \cos{y}=\displaystyle \frac{3}{5}\ och \,x\,, \,y\, är vinklar i första kvadranten. |
Facit till alla delfrågor
| a) | \sin{(x+y)}=\displaystyle \frac{4\sqrt{2}+\sqrt{5}}{9} |
| b) | \sin{(x+y)}=\displaystyle \frac{3\sqrt{21}+8}{25} |
Lösning till delfråga a)
|
|
Lösning till delfråga b)
|
|
[redigera] Övning 4.3:8
Visa följande trigonometriska samband
| a) | \tan^2v=\displaystyle\frac{\sin^2v}{1-\sin^2v} |
| b) | \displaystyle \frac{1}{\cos v}-\tan v=\frac{\cos v}{1+\sin v} |
| c) | \tan\displaystyle\frac{u}{2}=\frac{\sin u}{1+\cos u} |
| d) | \displaystyle\frac{\cos (u+v)}{\cos u \cos v}= 1- \tan u \tan v |
Lösning till delfråga a)
|
|
Lösning till delfråga b)
|
|
Lösning till delfråga c)
|
|
|
|
Lösning till delfråga a)
|
|
[redigera] Övning 4.3:9
|
Visa "Feynmans likhet" \cos 20^\circ \cdot \cos 40^\circ \cdot \cos 80^\circ = \displaystyle\frac{1}{8}\,\mbox{.}
(Ledtråd: Använd formeln för dubbla vinkeln på \,\sin 160^\circ\,.)
|
|
|
|
|
