Exempel 1

1. 30^\circ = 30 \cdot 1^\circ = 30 \cdot \displaystyle \frac{\pi}{180}\ \mbox{ radianer } = \displaystyle \frac{\pi}{6}\ \mbox{ radianer }
   
   
2. \displaystyle \frac{\pi}{8}\ \mbox { radianer } = \displaystyle \frac{\pi}{8} \cdot (1 \; \mbox{radian}\,) = \displaystyle \frac{\pi}{8} \cdot \displaystyle \frac{180^\circ}{\pi} = 22{,}5^\circ

Exempel 2

1. Vinklarna \,-55^\circ\, och \,665^\circ\, anger samma riktning eftersom
   -55^\circ + 2 \cdot 360^\circ = 665^\circ\,\mbox{.}
2. Vinklarna \,\displaystyle\frac{3\pi}{7}\, och \,-\displaystyle\frac{11\pi}{7}\, anger samma riktning eftersom
   \frac{3\pi}{7} - 2\pi = -\frac{11\pi}{7}\,\mbox{.}
3. Vinklarna \,36^\circ\, och \,216^\circ\, anger inte samma riktning utan motsatta riktningar eftersom
   36^\circ + 180^\circ = 216^\circ\,\mbox{.}

Exempel 3

Bild: figur 3.2.6

I triangeln till höger är

Exempel 4

1. Avståndet mellan \,(1,2)\, och \,(3,1)\, är
   d=\sqrt{ (1-3)^2 + (2-1)^2} = \sqrt{(-2)^2 + 1^2} = \sqrt{ 4+1} = \sqrt{5}\,\mbox{.}
2. Avståndet mellan \,(-1,0)\, och \,(-2,-5)\, är
   d=\sqrt{ (-1-(-2))^2 + (0-(-5))^2} = \sqrt{1^2 + 5^2} = \sqrt{1+25} = \sqrt{26}\,\mbox{.}

Exempel 5

En cirkelsektor är given i figuren till höger. Bild: figur 3.2.10

1. Bestäm cirkelbågens längd.
   
   Medelpunktsvinkeln \,50^\circ\, blir i radianer
   50^\circ= 50 \cdot 1^\circ = 50 \cdot \frac{\pi}{180}\ \mbox{ radianer } = \frac{5\pi}{18}\ \mbox{ radianer. }
   På det sätt som radianer är definierat betyder detta att cirkelbågens längd är radien multiplicerat med vinkeln mätt i radianer,
   3 \cdot \frac{5\pi}{18}\ \mbox{ l.e. } = \frac{5\pi}{6}\ \mbox{ l.e. }
2. Bestäm cirkelsektorns area.
   
   Cirkelsektorns andel av hela cirkeln är
   \frac{50^\circ}{360^\circ} = \frac{5}{36}
   och det betyder att dess area är \,\frac{5}{36}\, delar av cirkelns area som är \,\pi r^2 = \pi 3^2 = 9\pi\,, dvs.
   \frac{5}{36} \cdot 9\pi\ \mbox{ a.e. }= \frac{5\pi}{4}\ \mbox{ a.e. }

Exempel 6

1. (x-1)^2 + (y-2)^2 = 9\quad är ekvationen för en cirkel med medelpunkt i \,(1,2)\, och radie \,\sqrt{9} = 3\,.
   
   
2. x^2 + (y-1)^2 = 1\quad kan skrivas som \,(x-0)^2 + (y-1)^2 = 1\, och är ekvationen för en cirkel med medelpunkt i \,(0,1)\, och radie \,\sqrt{1} = 1\,.
   
   
3. (x+1)^2 + (y-3)^2 = 5\quad kan skrivas som \,(x-(-1))^2 + (y-3)^2 = 5\, och är ekvationen för en cirkel med medelpunkt i \,(-1,3)\, och radie \,\sqrt{5} \approx 2{,}236\,.

Bild: figur 3.2-12-14

Exempel 7

1. Ligger punkten \,(1,2)\, på cirkeln \,(x-4)^2 +y^2=13\,?
   
   Stoppar vi in punktens koordinater \,x=1\, och \,y=2\, i cirkelns ekvation har vi att
   \mbox{VL }= (1-4)^2+2^2 =(-3)^2+2^2=9+4=13= \mbox{ HL}\,\mbox{.}
   Eftersom punkten uppfyller cirkelns ekvation ligger punken på cirkeln.
   
   
2. Bestäm ekvationen för cirkeln som har medelpunkt i \,(3,4)\, och innehåller punkten \,(1,0)\,.
   
   Eftersom punkten \,(1,0)\, ska ligga på cirkeln måste cirkelns radie vara lika med avståndet från \,(1,0)\, till medelpunkten \,(3,4)\,. Avståndsformeln ger att detta avstånd är
   c=\sqrt{(3-1)^2 + (4-0)^2 }= \sqrt{4 +16} = \sqrt{20} \, \mbox{.}
   Cirkelns ekvation är därför
   (x-3)^2 + (y-4)^2 = 20 \; \mbox{.}

Bild: 3.2.15 och 3.2.16

Exempel 8

Bestäm medelpunkt och radie för den cirkel vars ekvation är \ x^2 + y^2 – 2x + 4y + 1 = 0\,.

Vi ska försöka skriva om cirkelns ekvation på formen

Börja med att kvadratkomplettera termerna som innehåller \,x\, i vänsterledet

Kvadratkomplettera sedan termerna som innehåller y

Vänsterledet är alltså lika med

och flyttar vi över 4 till högerledet är cirkelns ekvation

Vi avläser att medelpunkten är \,(1,-2)\, och radien är \,\sqrt{4}= 2\,.