3.1 Rötter
Sommarmatte 1
| Versionen från 23 april 2007 kl. 14.11 (redigera) Lina (Diskussion | bidrag) ← Gå till föregående ändring |
Versionen från 23 april 2007 kl. 14.12 (redigera) (ogör) Lina (Diskussion | bidrag) (→Rationella rotuttryck) Gå till nästa ändring → |
||
| Rad 259: | Rad 259: | ||
| \displaystyle\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{2}+1} = | \displaystyle\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{2}+1} = | ||
| \displaystyle\frac{\sqrt{3}}{(\sqrt{2}+1)} \cdot \frac{\sqrt{2}-1}{\sqrt{2}-1} = | \displaystyle\frac{\sqrt{3}}{(\sqrt{2}+1)} \cdot \frac{\sqrt{2}-1}{\sqrt{2}-1} = | ||
| - | \displaystyle\frac{\sqrt{3}(\sqrt{2}-1)}{(\sqrt{2}+1)(\sqrt{2}-1)} = | + | \displaystyle\frac{\sqrt{3}(\sqrt{2}-1)}{(\sqrt{2}+1)(\sqrt{2}-1)} $ $= |
| \displaystyle\frac{\sqrt{3} \cdot \sqrt{2} - \sqrt{3} \cdot 1}{ (\sqrt{2})^2 - 1^2 } = | \displaystyle\frac{\sqrt{3} \cdot \sqrt{2} - \sqrt{3} \cdot 1}{ (\sqrt{2})^2 - 1^2 } = | ||
| \displaystyle\frac{\sqrt{3 \cdot 2} - \sqrt{3}}{ 2 - 1 } = | \displaystyle\frac{\sqrt{3 \cdot 2} - \sqrt{3}}{ 2 - 1 } = | ||
Versionen från 23 april 2007 kl. 14.12
3.1 RötterInnehåll:
Läromål: Efter detta avsnitt ska du ha lärt dig att:
|
|||||||||||||||||||
TeoriKvadratrötterSymbolen $ \sqrt{a} $ , kvadratroten ur $a$, används som bekant för att beteckna det tal som multiplicerat med sig självt blir $a$. Man måste dock vara lite mer exakt när man definierar denna symbol. Ekvationen $ x^2 = 4 $ har två lösningar, x = 2 och x = -2, eftersom såväl $ 2\cdot 2 = 4 $ som $ (-2)\cdot(-2) = 4$. Man skulle då kunna tro att $ \sqrt{4} $ kan vara vilket som helst av $-2$ och $2$, dvs. $\sqrt{4}= \pm 2$, men $\sqrt{4}$ betecknar bara det postiva talet $2$. Vi har att
Det är därför fel att påstå att $ \sqrt{4}= \pm 2$, men korrekt att säga att ekvationen $ x^2 = 4 $ har lösningarna $ x = \pm 2$. T.ex. gäller därmed att $-\sqrt{4}=-2$ och inget annat. Exempel 1
När man räknar med kvadratrötter kan det vara bra att känna till några räkneregler. Eftersom $ \sqrt{a} = a^{1/2} $ kan vi överföra potenslagarna till "rotlagar". Vi har t.ex. att $$\sqrt{9\cdot 4} = (9\cdot 4)^{1/2} = 9^{1/2}\cdot 4^{1/2} = \sqrt{9}\cdot \sqrt{4}$$ På detta sätt kan vi få fram följande räkneregler för kvadratrötter, som gäller för alla reella tal $ a, b \ge 0:$ $$\sqrt{ab}=\sqrt{a}\cdot \sqrt{b}$$ $$\sqrt{a/b}= \frac{\sqrt{a}}{ \sqrt{b}}$$ $$a\sqrt{b}=\sqrt{a^2b}$$ (Vi måste dock vid divisionen ovan som vanligt förutsätta att b inte är 0.) Exempel 2
Observera att räknereglerna ovan förutsätter att $ a \mbox{ och } b \ge 0.$ Om a och b är negativa (< 0) så är inte $ \sqrt{a} $ och $ \sqrt{b} $ definierade som reella tal. Man skulle kunna frestas att skriva $$-1 = \sqrt{-1} \cdot \sqrt{-1} = \sqrt{ (-1) \cdot (-1) } = \sqrt{1} = 1$$ men ser då att något inte stämmer. Anledningen är att $ \sqrt{-1} $ inte är ett reellt tal, vilket alltså gör att räknereglerna ovan inte får användas. N-te rötterKubikroten ut ett tal $a$ definieras som det tal som multiplicerat med sig själv tre gånger ger $a$, och betecknas $\sqrt[\scriptstyle 3]{a}$. Exempel 3
Notera att, till skillnad fån kvadratrötter, är kubikrötter även definierade för negativa tal. Det går sedan att för postiva heltal $n$ definiera n:te roten ur ett tal $a$ som
Roten $\sqrt[\scriptstyle n]{a}$ kan även skrivas som $a^{1/n}$. Exempel 4
För $n$-te rötter gäller samma räkneregler som för kvadratrötter om $ a, \: b \ge 0$. OBS! om $n$ är udda gäller de även för negativa $a$ och $b$, dvs. för all reella tal $a, b$. $$\sqrt[\scriptstyle n]{ab}=\sqrt[\scriptstyle n]{a}\cdot \sqrt[\scriptstyle n]{b}$$ $$\sqrt[\scriptstyle n]{\displaystyle\frac{a}{b}}=\displaystyle \frac{\sqrt[\scriptstyle n]{a}}{\sqrt[\scriptstyle n]{b}}$$ $$a\cdot\sqrt[\scriptstyle n]{b}=\sqrt[\scriptstyle n]{a^nb}$$ Förenkling av rotuttryckOfta kan man genom att använda räknereglerna för rötter förenkla rotuttryck väsentligt. Liksom vid potensräkning handlar det ofta om att bryta ner uttryck i så "små" rötter som möjligt. Exempelvis gör man gärna omskrivningen $$\sqrt{8}=\sqrt{4\cdot2} = \sqrt{4} \cdot \sqrt{2} = 2\sqrt{2}$$ eftersom man då kan förenkla t.ex. $$\displaystyle\frac{\sqrt{8}}{2} = \displaystyle\frac{2 \sqrt{2}}{2} = \sqrt{2} $$
$$\sqrt{8} + \sqrt{2} = 2\sqrt{2} + \sqrt{2} = (2+1)\sqrt{2} =3\sqrt{2}$$ Exempel 5
Rationella rotuttryckNär rötter förekommer i ett rationellt uttryck vill man ofta undvika rötter i nämnaren (eftersom det är svårt vid handräkning att dividera med irrationella tal). Genom att förlänga med $ \sqrt{2} $ kan man exempelvis göra omskrivningen $$\displaystyle\frac{1}{\sqrt{2}} = \displaystyle\frac{1\cdot\sqrt{2}}{\sqrt{2}\cdot\sqrt{2}} = \displaystyle\frac{\sqrt{2}}{2}$$ vilket oftast är att föredra. I andra fall kan man utnyttja konjugatregeln, $ (a+b)(a-b) = a^2 - b^2 $, och förlänga med nämnarens s.k. konjugerade uttryck. På så sätt försvinner rottecknen från nämnaren, t.ex. $$ \displaystyle\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{2}+1} = \displaystyle\frac{\sqrt{3}}{(\sqrt{2}+1)} \cdot \frac{\sqrt{2}-1}{\sqrt{2}-1} = \displaystyle\frac{\sqrt{3}(\sqrt{2}-1)}{(\sqrt{2}+1)(\sqrt{2}-1)} $ $= \displaystyle\frac{\sqrt{3} \cdot \sqrt{2} - \sqrt{3} \cdot 1}{ (\sqrt{2})^2 - 1^2 } = \displaystyle\frac{\sqrt{3 \cdot 2} - \sqrt{3}}{ 2 - 1 } = \displaystyle\frac{\sqrt{6} - \sqrt{3}}{ 1 } = \sqrt{6} - \sqrt{3} $$ Exempel 6
Råd för inläsning Tänk på att: Kvadratroten ur ett tal alltid är icke-negativ (dvs positiv eller lika med noll)! Rotlagarna är egentligen specialfall av potenslagarna. Exempelvis: $\sqrt{x}=x^{1/2}$
för dig som vill fördjupa dig ytterligare eller behöver en längre förklaring Läs mer om kvadratrötter i engelska Wikipedia Hur vet man att roten ur 2 inte är ett bråktal?
|
|
