3.1 Rötter
Sommarmatte 1
|
Innehåll:
Lärandemål:
|
|
[redigera] Teori[redigera] Kvadratrötter Symbolen \,\sqrt{a}\,, kvadratroten ur \,a\,, används som bekant för att beteckna det tal som multiplicerat med sig självt blir a. Man måste dock vara lite mer exakt när man definierar denna symbol. Ekvationen \,x^2 = 4\, har två lösningar \,x = 2\, och \,x = -2\,, eftersom såväl \,2\cdot 2 = 4\, som \,(-2)\cdot(-2) = 4\,. Man skulle då kunna tro att \,\sqrt{4}\, kan vara vilket som helst av \,-2\, och \,2\,, dvs. \,\sqrt{4}= \pm 2\,, men \,\sqrt{4}\, betecknar bara det positiva talet 2.
Kvadratroten \sqrt{a}\, betecknar det icke-negativa tal som multiplicerat med sig självt blir \,a,\, dvs. den icke-negativa lösningen till ekvationen \,x^2 = a\,. Kvadratroten ur \,a\, kan även skrivas \,a^{1/2}\,. Det är därför fel att påstå att \,\sqrt{4}= \pm 2,\, men korrekt att säga att ekvationen \,x^2 = 4\, har lösningarna \,x = \pm 2\,. Exempel 1
När man räknar med kvadratrötter kan det vara bra att känna till några räkneregler. Eftersom \sqrt{a} = a^{1/2} kan vi överföra potenslagarna till "rotlagar". Vi har t.ex. att \sqrt{9\cdot 4} = (9\cdot 4)^{1/2} = 9^{1/2}\cdot 4^{1/2} = \sqrt{9}\cdot \sqrt{4}\,\mbox{.}
På detta sätt kan vi få fram följande räkneregler för kvadratrötter,
som gäller för alla reella tal a, b \ge 0:
\eqalign{\sqrt{ab}&=\sqrt{\vphantom{b}a}\cdot \sqrt{b}\cr \sqrt{\frac{a}{b}}&= \frac{\sqrt{a}}{ \sqrt{b}}\cr a\sqrt{b}&=\sqrt{a^2b}}
(Vi måste dock vid divisionen ovan som vanligt förutsätta att b inte är 0.) Exempel 2
Observera att räknereglerna ovan förutsätter att \,a\, och \,b \ge 0\,. Om \,a\, och \,b\, är negativa (< 0) så är inte \,\sqrt{a}\, och \,\sqrt{b}\, definierade som reella tal. Man skulle t.ex. kunna frestas att skriva -1 = \sqrt{-1} \cdot \sqrt{-1} = \sqrt{ (-1) \cdot (-1) } = \sqrt{1} = 1
men ser då att något inte stämmer. Anledningen är att \sqrt{-1} inte är ett reellt tal, vilket alltså gör att räknereglerna ovan inte får användas. [redigera] N:te rötterKubikroten ur ett tal a definieras som det tal som multiplicerat med sig själv tre gånger ger a, och betecknas \sqrt[\scriptstyle 3]{a}. Exempel 3
Notera att, till skillnad från kvadratrötter, är kubikrötter även definierade för negativa tal. Det går sedan att för postiva heltal n definiera n:te roten ur ett tal a som
Roten \,\sqrt[\scriptstyle n]{a}\, kan även skrivas som \,a^{1/n}\,. Exempel 4
För n:te rötter gäller samma räkneregler som för kvadratrötter om \,a, \, b \ge 0\,. Observera att om n är udda gäller de även för negativa \,a\, och \,b\,, dvs. för alla reella tal \,a\, och \,b\,. \eqalign{\sqrt[\scriptstyle n]{ab}&=\sqrt[\scriptstyle n]{\vphantom{b}a}\cdot \sqrt[\scriptstyle n]{b}\cr \sqrt[\scriptstyle n]{\displaystyle\frac{a}{b}}&=\displaystyle \frac{\sqrt[\scriptstyle n]{a}}{\sqrt[\scriptstyle n]{b}}\cr a\,\sqrt[\scriptstyle n]{b}&=\sqrt[\scriptstyle n]{a^nb}}
[redigera] Förenkling av rotuttryckOfta kan man genom att använda räknereglerna för rötter förenkla rotuttryck väsentligt. Liksom vid potensräkning handlar det ofta om att bryta ner uttryck i så "små" rötter som möjligt. Exempelvis gör man gärna omskrivningen \sqrt{8}=\sqrt{4\cdot2} = \sqrt{4} \cdot \sqrt{2} = 2\sqrt{2}
eftersom man då kan förenkla t.ex. \frac{\sqrt{8}}{2} = \frac{2 \sqrt{2}}{2} = \sqrt{2}\,\mbox{.}
Genom att skriva rotuttryck i termer av "små" rötter kan man också addera rötter av "samma sort", t.ex. \sqrt{8} + \sqrt{2} = 2\sqrt{2} + \sqrt{2} = (2+1)\sqrt{2} =3\sqrt{2}\,\mbox{.}
Exempel 5
[redigera] Rationella rotuttryckNär rötter förekommer i ett rationellt uttryck vill man ofta undvika rötter i nämnaren (eftersom det är svårt vid handräkning att dividera med irrationella tal). Genom att förlänga med \sqrt{2} kan man exempelvis göra omskrivningen \displaystyle\frac{1}{\sqrt{2}} = \displaystyle\frac{1\cdot\sqrt{2}}{\sqrt{2}\cdot\sqrt{2}} = \displaystyle\frac{\sqrt{2}}{2}
vilket oftast är att föredra. I andra fall kan man utnyttja konjugatregeln, \,(a+b)(a-b) = a^2 - b^2\,, och förlänga med nämnarens s.k. konjugerade uttryck. På så sätt försvinner rottecknen från nämnaren genom kvadreringen, t.ex. \eqalign{\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{2}+1} &= \frac{\sqrt{3}}{\sqrt{2}+1} \cdot \frac{\sqrt{2}-1}{\sqrt{2}-1} = \frac{\sqrt{3}\,(\sqrt{2}-1)}{(\sqrt{2}+1)(\sqrt{2}-1)}\cr &= \frac{\sqrt{3} \cdot \sqrt{2} - \sqrt{3} \cdot 1}{ (\sqrt{2}\,)^2 - 1^2 } = \frac{\sqrt{3 \cdot 2} - \sqrt{3}}{ 2 - 1 } = \frac{\sqrt{6} - \sqrt{3}}{ 1 } = \sqrt{6} - \sqrt{3}\,\mbox{.}}
Exempel 6
Råd för inläsning Grund- och slutprov Efter att du har läst texten och arbetat med övningarna ska du göra grund- och slutprovet för att bli godkänd på detta avsnitt. Du hittar länken till proven i din student lounge.
Kvadratroten ur ett tal är alltid icke-negativ (dvs. positiv eller lika med noll)! Rotlagarna är egentligen specialfall av potenslagarna. Exempelvis: \sqrt{x}=x^{1/2}
För dig som vill fördjupa dig ytterligare eller behöver en längre förklaring Läs mer om kvadratrötter i engelska Wikipedia Hur vet man att roten ur 2 inte är ett bråktal?
|
|
