2.3 Andragradsuttryck

Övningar

Teori

Andragradsekvationer

En andragradsekvation är en ekvation som kan skrivas som

där $x$ är den obekanta och $p$ och $q$ är konstanter.

Enklare typer av andra gradsekvationer kan vi lösa direkt genom roturdragning.

För att lösa allmänna andragradsekvationer använder vi en teknik som kallas kvadratkomplettering

Om vi betraktar kvaderingsregeln

$$x^2 + 2ax + a^2 = (a+x)^2$$

och subtraherar $a^2$ från båda led så får vi

Detta är formeln för kvadratkomplettering.

Med kvadratkomplettering går det att visa att den allmänna andragradsekvationen

$$x^2+px+q=0$$

har lösningarna

$$x = - \displaystyle\frac{p}{2} \pm \sqrt{\left(\displaystyle\frac{p}{2}\right)^2-q}$$

förutsatt att uttrycket under rottecknet inte är negativt.

Ibland kan man faktorisera ekvationer och direkt se vilka lösningarna är.

Parabler

Funktionerna $$y=x^2-2x+5$$ $$y=4-3x^2$$ $$y=\frac1}{5}x^2 +3x$$

är exempel på andragradsfunktioner. Allmänt kan en andragradsfunktion skrivas som

$$y=ax^2+bx+c$$

där $a$, $b$ och $c$ är konstanter och där $a\ne0$.

Grafen till en andragradsfunktion kallas för en parabel och figurerna visar utseendet för två typexempel $y=x^2$ och $y=-x^2$.

Bild: figur 3.1.1b och 3.1.2b

Eftersom uttrycket $x^2$ är som minst när $x=0$ har parabeln $y=x^2$ ett maximum för $x=0$.

Notera också att parablerna ovan är symmetriska kring $y$-axeln eftersom värdet på $x^2$ inte beror på vilket tecken $x$ har.

Hur gör man för att enklast kunna beskriva utseendet för en sådan andragradskurva? Rent generellt så har en andragradskurva enbart ett lokalt minimum eller maximum. Samtidigt kan den maximalt skära x-axeln på två ställen och y-axeln på ett ställe.

Hur skall man kunna hitta dessa punkter?

För enkelhetsskull så antar vi ovan att $a=1$, d.v.s. $y=x^2+bx+c$ Vi vill kunna skriva formen för en andragradskruva som en jämn kvadrat plus en konstant. Efter kvadratkomplettering ser att vi kan skriva uttrycket som

$ y=\left(x+\displaystyle \frac{b}{2}\right)^2 +c-\displaystyle \frac{b^2}{4}. $

Detta uttyck kan minimalt bli $ c- \displaystyle \frac{b^2}{4} $ eftersom kvadraten inte kan bli mindre än 0. Vi ser alltså att minpunkten blir

$ (x,y)=\left(-\displaystyle \frac{b}{2},c-\displaystyle \frac{b^2}{4}\right) $

I motsvarande fall om $a=-1$ så får vi att $\;y=-x^2+bx+c \;$ har maxpunkt i $(b/2,c+b^2/4)$. Skärning med x-axeln fås då y=0 och det är inte säkert att det är uppfyllt dvs sambandet har ett minimivärde som är större än 0. Vi har nu en kurva med ekvation

$ y=ax^2+bx+c. $

Efter kvadratkomplettering så inser vi att konstanten $a$ bestämmer formen på kurvan medan $a,b \mbox{ och } c$ alla är med och bestämmer positionen av minimi-/maximivärdet hos kurvan. Eftersom en andragradskurva enbart har en maximi eller minimi-punkt så är det ganska enkelt att bestämma formen hos kurvan. För enkelhetsskull antar vi nu att $b \mbox{ och } c = 0.$ Vi har alltså ett samband

$ y=ax^2 $

Polariteten hos $a$ bestämmer om kurvan har ett maxvärde eller minvärde dvs om den pekar uppåt eller nedåt. Vi ser att koefficienten $ a $ trycker ihop/drar ut kurvan $ y=x^2,$ beroende på om $a<1$ eller om $ a>1$.

<img src="ppStdFiles2261/766663.gif" hspace='0' vspace='0' />
Position i vertikalled (dvs i y-led) styrs av konstanten $c$. Vi låter nu $a=1$ och $b=0$ ovan. Vi ser att $ y=x^2+2 $ har minsta värde 2 medan $ y=x^2 $ har minsta värde 0. $ y=x^2$ kan alltså enkelt ritas i ett koordinatsystem genom att föorflytta $ y=x^2$ två längdenheter i positiv y-riktning. <p align="center"><img src="ppStdFiles2261/766664.gif" hspace='0' vspace='0' />
Position i horisontalled styrs av konstanten b. Låt nu a=1 och c=0 ovan. Vi har då kurvan $ y=x^2+bx$. Om vi kvadratkompletterar så får vi att $ y=\left(x+\displaystyle \frac{b}{2}\right)^2-\displaystyle \frac{b^2}{4} $ Vi ser alltså att $ y $ kan vara minimalt $ -\,\displaystyle \frac{b^2}{4} $ då $ x=-\,\displaystyle \frac{b}{2}$. Vi kan alltså sammanfatta att koefficienten $b$ gjorde att minpunkten flyttades från origo till punkten $ \left(-\,\displaystyle \frac{b}{2},-\,\displaystyle \frac{b^2}{4}\right) $ <p align="center"><img src="ppStdFiles2261/766668.gif" hspace='0' vspace='0' />
Vad som också kan vara av intresse är skärningspunkter mellan en andragradskurva och x-axeln. Vi har ovan noterat att det inte behöver vara så att en andragradskurva skär x-axeln. Det kan också vara att den tangerar x-axeln eller att den skär x-axeln i två punkter. Antag att vi har en andragradskurva $y=ax^2+bx+c$. Skärningspunkter med x-axeln fås genom att lösa ekvationen $ y=0 $ dvs $ ax^2+bx+c = 0$. Observera att $y=0$ för alla punkter på x-axeln.