4.1 Vinklar och cirklar

Sommarmatte 1

(Skillnad mellan versioner)

Hoppa till: navigering, sök

Nuvarande version

Innehåll:

Olika vinkelmått (grader, radianer och varv)
Pythagoras sats
Avståndsformeln i planet
Cirkelns ekvation

Lärandemål:

Efter detta avsnitt ska du ha lärt dig att:

Omvandla mellan grader, radianer och varv.
Beräkna arean och omkretsen av cirkelsektorer.
Känna till begreppen katet, hypotenusa och rätvinklig triangel.
Formulera och använda Pythagoras sats.
Beräkna avståndet mellan två punkter i planet.
Skissera cirklar med hjälp av att kvadratkomplettera deras ekvationer.
Känna till begreppen enhetscirkel, tangent, radie, diameter, periferi, korda och cirkelbåge.
Lösa geometriska problem som innehåller cirklar.

Övningar

[redigera] Teori

[redigera] Vinkelmått

Det finns flera olika enheter för att mäta vinklar, som är praktiska i olika sammanhang. De två vanligaste vinkelmåtten i matematiken är grader och radianer.

Grader. Om ett helt varv delas in i 360 delar, så kallas varje del 1 grad. Beteckningen för grader är ^\circ.

Radianer. Ett annat sätt att mäta vinklar är att använda längden av vinkelns cirkelbåge i förhållande till radien som mått på vinkeln. Detta vinkelmått kallas för radian. Ett varv är alltså \,2\pi\, radianer eftersom cirkelns omkrets är \,2\pi r\,, där \,r\, är cirkelns radie.

Ett helt varv är \,360^\circ\, eller \,2\pi\, radianer och det gör att

\eqalign{&1^\circ = \frac{1}{360} \cdot 2\pi\ \mbox{ radianer } = \frac{\pi}{180}\ \mbox{ radianer,}\cr &1\ \mbox{ radian } = \frac{1}{2\pi} \cdot 360^\circ = \frac{180^\circ}{\pi}\,\mbox{.}}

Dessa omvandlingsfaktorer kan användas för att konvertera mellan grader och radianer.

Exempel 1

30^\circ = 30 \cdot 1^\circ = 30 \cdot \displaystyle \frac{\pi}{180}\ \mbox{ radianer } = \displaystyle \frac{\pi}{6}\ \mbox{ radianer }
\displaystyle \frac{\pi}{8}\ \mbox { radianer } = \displaystyle \frac{\pi}{8} \cdot (1 \; \mbox{radian}\,) = \displaystyle \frac{\pi}{8} \cdot \displaystyle \frac{180^\circ}{\pi} = 22{,}5^\circ

I en del sammanhang kan det vara meningsfullt att tala om negativa vinklar eller vinklar som är större än 360°. Då kan man använda att man kan ange samma riktning med flera olika vinklar som skiljer sig från varandra med ett helt antal varv.

Exempel 2

Vinklarna \,-55^\circ\, och \,665^\circ\, anger samma riktning eftersom
-55^\circ + 2 \cdot 360^\circ = 665^\circ\,\mbox{.}
Vinklarna \,\displaystyle\frac{3\pi}{7}\, och \,-\displaystyle\frac{11\pi}{7}\, anger samma riktning eftersom
\frac{3\pi}{7} - 2\pi = -\frac{11\pi}{7}\,\mbox{.}
Vinklarna \,36^\circ\, och \,216^\circ\, anger inte samma riktning utan motsatta riktningar eftersom
36^\circ + 180^\circ = 216^\circ\,\mbox{.}

[redigera] Avståndsformeln

Pythagoras sats är en av de mest kända satserna i matematiken och säger att i en rätvinklig triangel med kateter \,a\, och \,b\,, och hypotenusa \,c\, gäller att

Pythagoras sats:

c^2 = a^2 + b^2\,\mbox{.}

Exempel 3

I triangeln till höger är

c^2= 3^2 + 4^2 = 9 +16 = 25

och därför är hypotenusan \,c\, lika med

c=\sqrt{25} = 5\,\mbox{.}

Pythagoras sats kan användas för att beräkna avståndet mellan två punkter i ett koordinatsystem.

Avståndsformeln:

Avståndet \,d\, mellan två punkter med koordinater \,(x, y)\, och \,(a, b)\, är

d = \sqrt{(x – a)^2 + (y – b)^2}\,\mbox{.}

Linjestycket mellan punkterna är hypotenusan i en rätvinklig triangel vars kateter är parallella med koordinataxlarna.

Kateternas längd är lika med beloppet av skillnaden i x- och y-led mellan punkterna, dvs. |x-a| respektive |y-b|. Pythagoras sats ger sedan avståndsformeln.

Exempel 4

Avståndet mellan \,(1,2)\, och \,(3,1)\, är
d=\sqrt{ (1-3)^2 + (2-1)^2} = \sqrt{(-2)^2 + 1^2} = \sqrt{ 4+1} = \sqrt{5}\,\mbox{.}
Avståndet mellan \,(-1,0)\, och \,(-2,-5)\, är
d=\sqrt{ (-1-(-2))^2 + (0-(-5))^2} = \sqrt{1^2 + 5^2} = \sqrt{1+25} = \sqrt{26}\,\mbox{.}

[redigera] Cirklar

En cirkel består av alla punkter som befinner sig på ett visst fixt avstånd \,r\, från en punkt \,(a,b)\,.

Avståndet \,r\, kallas för cirkelns radie och punkten \,(a,b)\, för cirkelns medelpunkt. Figuren nedan visar andra viktiga cirkelbegrepp.

Exempel 5

En cirkelsektor är given i figuren till höger.

Bestäm cirkelbågens längd.

Medelpunktsvinkeln \,50^\circ\, blir i radianer
50^\circ= 50 \cdot 1^\circ = 50 \cdot \frac{\pi}{180}\ \mbox{ radianer } = \frac{5\pi}{18}\ \mbox{ radianer. }
På det sätt som radianer är definierat betyder detta att cirkelbågens längd är radien multiplicerat med vinkeln mätt i radianer,
3 \cdot \frac{5\pi}{18}\ \mbox{ l.e. } = \frac{5\pi}{6}\ \mbox{ l.e. }
Bestäm cirkelsektorns area.

Cirkelsektorns andel av hela cirkeln är
\frac{50^\circ}{360^\circ} = \frac{5}{36}
och det betyder att dess area är \,\frac{5}{36}\, delar av cirkelns area som är \,\pi r^2 = \pi 3^2 = 9\pi\,, dvs.
\frac{5}{36} \cdot 9\pi\ \mbox{ a.e. }= \frac{5\pi}{4}\ \mbox{ a.e. }

En punkt \,(x,y)\, ligger på cirkeln som har medelpunkt i \,(a,b)\, och radie \,r\, om dess avstånd till medelpunkten är lika med \,r\,. Detta villkor kan formuleras med avståndsformeln som

Cirkelns ekvation:

(x – a)^2 + (y – b)^2 = r^2\,\mbox{.}

Exempel 6

(x-1)^2 + (y-2)^2 = 9\quad är ekvationen för en cirkel med medelpunkt i \,(1,2)\, och radie \,\sqrt{9} = 3\,.

x^2 + (y-1)^2 = 1\quad kan skrivas som \,(x-0)^2 + (y-1)^2 = 1\, och är ekvationen för en cirkel med medelpunkt i \,(0,1)\, och radie \,\sqrt{1} = 1\,.

(x+1)^2 + (y-3)^2 = 5\quad kan skrivas som \,(x-(-1))^2 + (y-3)^2 = 5\, och är ekvationen för en cirkel med medelpunkt i \,(-1,3)\, och radie \,\sqrt{5} \approx 2{,}236\,.

Exempel 7

Ligger punkten \,(1,2)\, på cirkeln \,(x-4)^2 +y^2=13\,?

Stoppar vi in punktens koordinater \,x=1\, och \,y=2\, i cirkelns ekvation har vi att
\mbox{VL }= (1-4)^2+2^2 =
=(-3)^2+2^2=9+4=13= \mbox{ HL}\,\mbox{.}
Eftersom punkten uppfyller cirkelns ekvation ligger punken på cirkeln.

Bestäm ekvationen för cirkeln som har medelpunkt i \,(3,4)\, och innehåller punkten \,(1,0)\,.

Eftersom punkten \,(1,0)\, ska ligga på cirkeln måste cirkelns radie vara lika med avståndet från \,(1,0)\, till medelpunkten \,(3,4)\,. Avståndsformeln ger att detta avstånd är
c=\sqrt{(3-1)^2 + (4-0)^2 }= \sqrt{4 +16} = \sqrt{20} \, \mbox{.}
Cirkelns ekvation är därför
(x-3)^2 + (y-4)^2 = 20 \; \mbox{.}

Exempel 8

Bestäm medelpunkt och radie för den cirkel vars ekvation är \ x^2 + y^2 – 2x + 4y + 1 = 0\,.

Vi ska försöka skriva om cirkelns ekvation på formen

(x – a)^2 + (y – b)^2 = r^2

för då kan vi direkt avläsa att medelpunken är \,(a,b)\, och radien är \,r\,.

Börja med att kvadratkomplettera termerna som innehåller \,x\, i vänsterledet

\underline{x^2-2x\vphantom{(}} + y^2+4y + 1 =\underline{(x-1)^2-1^2} + y^2+4y + 1

(de understrukna termerna visar kvadratkompletteringen).

Kvadratkomplettera sedan termerna som innehåller y

(x-1)^2-1^2 + \underline{y^2+4y} + 1= (x-1)^2-1^2 + \underline{(y+2)^2-2^2} + 1\,\mbox{.}

Vänsterledet är alltså lika med

(x-1)^2 + (y+2)^2-4

och flyttar vi över 4 till högerledet är cirkelns ekvation

(x-1)^2 + (y+2)^2 = 4 \, \mbox{.}

Vi avläser att medelpunkten är \,(1,-2)\, och radien är \,\sqrt{4}= 2\,.

Övningar

Råd för inläsning

Grund- och slutprov

Efter att du har läst texten och arbetat med övningarna ska du göra grund- och slutprovet för att bli godkänd på detta avsnitt. Du hittar länken till proven i din student lounge.

Tänk på att:

Lästips

för dig som vill fördjupa dig ytterligare eller behöver en längre förklaring vill vi tipsa om:

Läs mer om Pythagoras sats på svenska Wikipedia

Läs mer i Mathworld om cirkeln

Länktips

Interaktivt experiment: sinus och cosinus i enehtscirkeln (Flash)

Den här artikeln är hämtad från http://wiki.math.se/wikis/sf0600_0701/index.php/4.1_Vinklar_och_cirklar

4.1 Vinklar och cirklar

Sommarmatte 1

Nuvarande version

[redigera] Teori

[redigera] Vinkelmått

[redigera] Avståndsformeln

[redigera] Cirklar

Visningar

Personliga verktyg

Navigering

Sök

Verktygslåda

+__NOTOC__
 <table><tr><td width="600">
-=4.1 Vinklar och cirklar=
 <div class="inforuta">
 '''Innehåll:'''
-*Vinkelmått
+*Olika vinkelmått (grader, radianer och varv)
+*Pythagoras sats
 *Avståndsformeln i planet
 *Cirkelns ekvation
 <div class="inforuta">
-'''Läromål:'''
+'''Lärandemål:'''
 Efter detta avsnitt ska du ha lärt dig att:
-*Omvandla mellan grader, radianer och varv
+*Omvandla mellan grader, radianer och varv.
-*Beräkna arean och omkretsen av en cirkelsektor
+*Beräkna arean och omkretsen av cirkelsektorer.
-*Beräkna avståndet mellan två punkter i planet
+*Känna till begreppen katet, hypotenusa och rätvinklig triangel.
-*Skissera cirklar med hjälp av att kvadratkomplettera deras ekvationer
+*Formulera och använda Pythagoras sats.
-*Använda begreppen enhetscirkel, tangent, radie, diameter, pereferi, korda och cirkelbåge.
+*Beräkna avståndet mellan två punkter i planet.
-*Lösa geometriska problem som innehåller cirklar
+*Skissera cirklar med hjälp av att kvadratkomplettera deras ekvationer.
+*Känna till begreppen enhetscirkel, tangent, radie, diameter, periferi, korda och cirkelbåge.
+*Lösa geometriska problem som innehåller cirklar.
 </div>
 Det finns flera olika enheter för att mäta vinklar, som är praktiska i olika sammanhang. De två vanligaste vinkelmåtten i matematiken är grader och radianer.
-*'''Grader.''' Om ett helt varv delas in i 360 delar, så kallas varje del $1$ grad. Beteckningen för grader är  ^\circ.
+*'''Grader.''' Om ett helt varv delas in i 360 delar, så kallas varje del 1 grad. Beteckningen för grader är  ^\circ.
-Bild: figur 3.2.1
+[[Bild:3_2_1.gif||center]]
-*'''Radianer.''' Ett annat sätt att mäta vinklar är att omvända längden av vinkelns cirkelbåge i förhållandet till radien som mått på vinkeln. Detta vinkelmått kallas för radian. Ett varv är alltså 2\pi radianer eftersom cirkelns omkrets är 2\pi r, där r är cirkelns radie.
+*'''Radianer.''' Ett annat sätt att mäta vinklar är att använda längden av vinkelns cirkelbåge i förhållande till radien som mått på vinkeln. Detta vinkelmått kallas för radian. Ett varv är alltså $\,2\pi\, radianer eftersom cirkelns omkrets är \,2\pi r\,, där \,r\,$ är cirkelns radie.
-Bild: figurer 3.2.2 och figurer 3.2.3
+[[Bild:3_2_2.gif||center]]
-Ett helt varv är 360^\circ eller 2\pi radianer och det gör att
+Ett helt varv är $\,360^\circ\, eller \,2\pi\,$ radianer och det gör att
-$$1^\circ = \frac{1}{360} \cdot 2\pi \mbox{ radianer } = \frac{\pi}{180} \mbox{ radianer }$$
+$$\eqalign{&1^\circ = \frac{1}{360} \cdot 2\pi\ \mbox{ radianer } = \frac{\pi}{180}\ \mbox{ radianer,}\cr &1\ \mbox{ radian } = \frac{1}{2\pi} \cdot 360^\circ = \frac{180^\circ}{\pi}\,\mbox{.}}$$
-$$1 \mbox{ radianer } = \frac{1}{2\pi} \cdot 360^\circ = \frac{180^\circ}{\pi}$$
 Dessa omvandlingsfaktorer kan användas för att konvertera mellan grader och radianer.
 <ol type="a">
-<li>30^\circ = 30 \cdot 1^\circ = 30 \cdot \displaystyle \frac{\pi}{180} \mbox{ radianer } =  \displaystyle \frac{\pi}{6} \mbox{ radianer } <br><br>
+<li>$30^\circ = 30 \cdot 1^\circ = 30 \cdot \displaystyle \frac{\pi}{180}\ \mbox{ radianer } =  \displaystyle \frac{\pi}{6}\ \mbox{ radianer }$ <br><br>
-<li> \displaystyle \frac{\pi}{8} \mbox {radianer } = \displaystyle \frac{\pi}{8} \cdot (1 \; \mbox{radian }) =  \displaystyle \frac{\pi}{8} \cdot \displaystyle \frac{180^\circ}{\pi} = 22,5^\circ
+<li>$ \displaystyle \frac{\pi}{8}\ \mbox { radianer } = \displaystyle \frac{\pi}{8} \cdot (1 \; \mbox{radian}\,) =  \displaystyle \frac{\pi}{8} \cdot \displaystyle \frac{180^\circ}{\pi} = 22{,}5^\circ$
 </ol>
 </div>
-I en del sammanhang kan det vara meningsfullt att tala om negativa vinklar eller vinklar som är större än 360^\circ. Då kan man använda att man kan ange samma riktning med flera olika vinklar som skiljer sig från varandra med ett helt antal varv.
+I en del sammanhang kan det vara meningsfullt att tala om negativa vinklar eller vinklar som är större än 360°. Då kan man använda att man kan ange samma riktning med flera olika vinklar som skiljer sig från varandra med ett helt antal varv.
-Bild: Figur 3.2.4
+[[Bild:t_3_2_4.gif|center]]
 <div class="exempel">
 <ol type="a">
-<li>Vinklar -55^\circ och 665^\circ anger samma riktning eftersom $$-55^\circ + 2 \cdot 360^\circ = 665^\circ \; \mbox{.}$$
+<li>Vinklarna $\,-55^\circ\, och \,665^\circ\,$ anger samma riktning eftersom
-<li>Vinklarna \frac{3\pi}{7} och -\frac{11\pi}{7} anger samma riktning eftersom $$\frac{3\pi}{7} - 2\pi = -\frac{11\pi}{7} \; \mbox{.}$$
+$$-55^\circ + 2 \cdot 360^\circ = 665^\circ\,\mbox{.}$$
-<li> Vinklarna 36^\circ och 216^\circ anger inte samma riktning utan motsatta riktningar eftersom $$36^\circ + 180^\circ = 216^\circ \; \mbox{.}$$
+<li>Vinklarna $\,\displaystyle\frac{3\pi}{7}\, och \,-\displaystyle\frac{11\pi}{7}\,$ anger samma riktning eftersom
+$$\frac{3\pi}{7} - 2\pi = -\frac{11\pi}{7}\,\mbox{.}$$
+<li> Vinklarna $\,36^\circ\, och \,216^\circ\,$ anger inte samma riktning utan motsatta riktningar eftersom
+$$36^\circ + 180^\circ = 216^\circ\,\mbox{.}$$
 </ol>
 </div>
-==Avståndsformlen==
+==Avståndsformeln==
-Pythagoras sats är en av de mest kända satserna i matematiken och säger att i en rätvinklig triangel med kateter a och b , och hypotenusa c gäller att
+Pythagoras sats är en av de mest kända satserna i matematiken och säger att i en rätvinklig triangel med kateter $\,a\, och \,b\,, och hypotenusa \,c\,$ gäller att
-$$c^2 = a^2 + b^2 \; \mbox{.}$$
+<div class="regel">
+[[Bild:T_3_2_5.gif|right]]
+'''Pythagoras sats:'''
+$$c^2 = a^2 + b^2\,\mbox{.}$$
+</div>
-Bild: figur 3.2.5
 <div class="exempel">
 '''Exempel 3'''
-Bild: figur 3.2.6
+[[Bild:3_2_6.gif|right]]
-I triangel till höger är
+I triangeln till höger är
 c^2= 3^2 + 4^2 = 9 +16 = 25
-och därför är hypotenusan c lika med
+och därför är hypotenusan $\,c\,$ lika med
-$$c=\sqrt{25} = 5 \; \mbox{.}$$
+$$c=\sqrt{25} = 5\,\mbox{.}$$
 </div>
 Pythagoras sats kan användas för att beräkna avståndet mellan två punkter i ett koordinatsystem.
 '''Avståndsformeln:'''
-Avståndet d mellan två puntker med koordinater (x, y) och (a, b) är
+Avståndet $\,d\,$ mellan två punkter med koordinater $\,(x, y)\, och \,(a, b)\,$ är
-d = \sqrt{(x – a)^2 + (y – b)^2}
+$$d = \sqrt{(x – a)^2 + (y – b)^2}\,\mbox{.}$$
 </div>
-Denna formel kallas för avståndsformeln.
 Linjestycket mellan punkterna är hypotenusan i en rätvinklig triangel vars kateter är parallella med koordinataxlarna.
-Bild: figur 3.2.7
+[[Bild:3_2_7.gif|center]]
-Kateternas längd är lika med beloppet av skillnaden i $x$- och $y$-led mellan punkterna, d.v.s. |x-a| respektive |y-b|. Pythagoras sats ger sedan avståndsformeln.
+Kateternas längd är lika med beloppet av skillnaden i ''x''- och ''y''-led mellan punkterna, dvs. |x-a| respektive |y-b|. Pythagoras sats ger sedan avståndsformeln.
 <div class="exempel">
 <ol type="a">
-<li>Avståndet mellan (1,2) och (3,1) är $$d=\sqrt{ (1-3)^2 + (2-1)^2} = \sqrt{(-2)^2 + 1^2} = \sqrt{ 4+1} = \sqrt{5} \; \mbox{.}$$
+<li>Avståndet mellan $\,(1,2)\, och \,(3,1)\,$ är
-<li>Avståndet mellan (-1,0) och (-2,-5) är $$d=\sqrt{ (-1-(-2))^2 + (0-(-5))^2} = \sqrt{1^2 + 5^2} = \sqrt{1+25} = \sqrt{26} \; \mbox{.}$$
+$$d=\sqrt{ (1-3)^2 + (2-1)^2} = \sqrt{(-2)^2 + 1^2} = \sqrt{ 4+1} = \sqrt{5}\,\mbox{.}$$
+<li>Avståndet mellan $\,(-1,0)\, och \,(-2,-5)\,$ är
+$$d=\sqrt{ (-1-(-2))^2 + (0-(-5))^2} = \sqrt{1^2 + 5^2} = \sqrt{1+25} = \sqrt{26}\,\mbox{.}$$
 </ol>
 </div>
-[http://www.theducation.se/kurser/experiment/gyma/applets/ex24_avstand_pythagoras/index.html Interaktivt experiment: Här kan du experimentera med avståndsformeln och Pythagoras sats]
 ==Cirklar==
-En cirkel består av alla punkter som befinner sig på ett visst fixt avstånd r från en punkt (a,b).
+En cirkel består av alla punkter som befinner sig på ett visst fixt avstånd $\,r\, från en punkt \,(a,b)\,$.
-Bild:figur 3.2.8
+[[Bild:3_2_8.gif|center]]
-Avståndet r kallan för cirkelns radie och punkten (a,b) för cirkelns medelpunkt. Figuren nedan visar andra viktiga cirkelbegrepp.
+Avståndet $\,r\,$ kallas för cirkelns radie och punkten $\,(a,b)\,$ för cirkelns medelpunkt. Figuren nedan visar andra viktiga cirkelbegrepp.
-[[Bild:3_2_10.gif]]
+[[Bild:3_2_10.gif|center]]
 '''Exempel 5'''
-En cirkelsektor är given i figuren till höger. Bild: figur 3.2.10
+En cirkelsektor är given i figuren till höger.  [[Bild:t_3_2_9.gif|right]]
 <ol type="a">
-<li>Bestäm cirkelbågens längd <br><br>
+<li>Bestäm cirkelbågens längd. <br><br>
-Medelpunktsvinkeln 50^\circ blir i radianer
+Medelpunktsvinkeln $\,50^\circ\,$ blir i radianer
-^\circ= 50 \cdot 1^\circ = 50 \cdot \frac{\pi}{180} \mbox{ radianer } = \frac{5\pi}{18} \mbox{ radianer. }
+$$50^\circ= 50 \cdot 1^\circ = 50 \cdot \frac{\pi}{180}\ \mbox{ radianer } = \frac{5\pi}{18}\ \mbox{ radianer. }$$
-På det sätt som radianer är definerat betyder detta att cirkelbågens längd är radien multiplicerat med vinkeln mätt i radianer,
+På det sätt som radianer är definierat betyder detta att cirkelbågens längd är radien multiplicerat med vinkeln mätt i radianer,
-\cdot \frac{5\pi}{18} \mbox{ l.e. } = \frac{5\pi}{6} \mbox{ l.e. }
+$$3 \cdot \frac{5\pi}{18}\ \mbox{ l.e. } = \frac{5\pi}{6}\ \mbox{ l.e. }$$
 <li>Bestäm cirkelsektorns area. <br><br>
 Cirkelsektorns andel av hela cirkeln är \frac{50^\circ}{360^\circ} = \frac{5}{36}
-och det betyder att dess area är \frac{5}{36} delar av cirkelns area som är \pi r^2 = \pi 3^2 = 9\pi, d.v.s.
+och det betyder att dess area är $\,\frac{5}{36}\, delar av cirkelns area som är \,\pi r^2 = \pi 3^2 = 9\pi\,$, dvs.
-\frac{5}{36} \cdot 9\pi \mbox{ a.e. }= \frac{5\pi}{4} \mbox{ a.e. }
+$$\frac{5}{36} \cdot 9\pi\ \mbox{ a.e. }= \frac{5\pi}{4}\ \mbox{ a.e. }$$
 </ol>
 </div>
-Bild:3.2.11
-En punkt (x,y) ligger på cirkeln som har medelpunkt i (a,b) och radie r om dess avstånd till medelpunkten är lika med r. Detta villkor kan formuleras med avståndsformeln som
+En punkt $\,(x,y)\, ligger på cirkeln som har medelpunkt i \,(a,b)\, och radie \,r\, om dess avstånd till medelpunkten är lika med \,r\,$. Detta villkor kan formuleras med avståndsformeln som
 <div class="regel">
+[[Bild:T_3_2_11.gif|right]]
 '''Cirkelns ekvation:'''
-(x – a)^2 + (y – b)^2 = r^2
+$$(x – a)^2 + (y – b)^2 = r^2\,\mbox{.}$$
-</div>
-och kallas för cirkelns ekvation.
+</div>
 <div class="exempel">
 '''Exempel 6'''
+{|
+|-
+| width=50% valign=top |
 <ol type="a">
-<li>(x-1)^2 + (y-2)^2 = 9 är ekvationen för en cirkel med medelpunkten i (1,2) och radie $\sqrt{9} = 3$.<br><br>
+<li>$(x-1)^2 + (y-2)^2 = 9\quad$ är ekvationen för en cirkel med medelpunkt i $\,(1,2)\, och radie \,\sqrt{9} = 3\,$.<br><br>
-<li>x^2 + (y-1)^2 = 1 kan skriva som (x-0)^2 + (y-1)^2 = 1 och är ekvationen för en cirkel med medelpunkten i $(0,1) och radie \sqrt{1} = 1$.<br><br>
-<li>(x+1)^2 + (y-3)^2 = 5 kan skrivas som (x-(-1))^2 + (y-3)^2 = 5 och är ekvationen för en cirkel med medelpunkten i (-1,3) och radie \sqrt{5} \approx 2{,}236.
 </ol>
+| width=45% valign=top |
+[[Bild:t_3_2_12.gif|right]]
+| width=5% valign=top |
-Bild: figur 3.2-12-14
+|}
+{|
+|-
+| width=50% valign=top |
+<ol type="a" start=2>
+<li>x^2 + (y-1)^2 = 1\quad kan skrivas som \,(x-0)^2 + (y-1)^2 = 1\, och är ekvationen för en cirkel med medelpunkt i \,(0,1)\, och radie \,\sqrt{1} = 1\,.<br><br>
+</ol>
+| width=45% valign=top |
+[[Bild:t_3_2_13.gif|right]]
+| width=5% valign=top |
+|}
+{|
+|-
+| width=60% valign=top |
+<ol type="a" start=3>
+<li>(x+1)^2 + (y-3)^2 = 5\quad kan skrivas som \,(x-(-1))^2 + (y-3)^2 = 5\, och är ekvationen för en cirkel med medelpunkt i \,(-1,3)\, och radie \,\sqrt{5} \approx 2{,}236\,.
+</ol>
+| width=40% valign=top |
+[[Bild:t_3_2_14.gif|right]]
+|}
 </div>
 <div class="exempel">
-'''Exempel 7'''
+'''Exempel 7'''
+{|
+|-
+| width=40% valign=top |
 <ol type="a">
-<li>Ligger punkten (1,2) på cirkeln (x-4)^2 +y^2=13? <br><br>
+<li>Ligger punkten $\,(1,2)\, på cirkeln \,(x-4)^2 +y^2=13\,$?<br><br>
-Stoppar vi in punktens koordinater x=1 och y=2 i cirkelns ekvation har vi att
+Stoppar vi in punktens koordinater $\,x=1\, och \,y=2\,$ i cirkelns ekvation har vi att <br>
-$$\mbox{VL }= (1-4)^2+2^2 =(-3)^2+2^2=9+4=13= \mbox{ HL}\; \mbox{.}$$
+$\mbox{VL }= (1-4)^2+2^2 = $ <br>
+$=(-3)^2+2^2=9+4=13= \mbox{ HL}\,\mbox{.}$ <br>
 Eftersom punkten uppfyller cirkelns ekvation ligger punken på cirkeln. <br><br>
-<li>Bestäm ekvationen för cirkeln som har medelpunkt i (3,4) och innehåller punkten (1,0).<br><br>
+</ol>
-Eftersom punkten (1,0) ska ligga på cirkeln måste cirkelns radie vara lika med avståndet från (1,0) till medelpunkten (3,4). Avståndsformlen ger att detta avstånd är $$c=\sqrt{(3-1)^2 + (4-0)^2 }= \sqrt{4 +16} = \sqrt{20} \; \mbox{.}$$
+| width=60% valign=top |
+[[Bild:t_3_2_15.gif|right]]
+|}
+{|
+|-
+| width=40% valign=top |
+<ol type="a" start=2>
+<li>Bestäm ekvationen för cirkeln som har medelpunkt i $\,(3,4)\, och innehåller punkten \,(1,0)\,$.<br><br>
+Eftersom punkten $\,(1,0)\, ska ligga på cirkeln måste cirkelns radie vara lika med avståndet från \,(1,0)\, till medelpunkten \,(3,4)\,$. Avståndsformeln ger att detta avstånd är
+$$c=\sqrt{(3-1)^2 + (4-0)^2 }= \sqrt{4 +16} = \sqrt{20} \, \mbox{.}$$
 Cirkelns ekvation är därför
 (x-3)^2 + (y-4)^2 = 20 \; \mbox{.}
 </ol>
+| width=60% valign=top |
-Bild: 3.2.15 och 3.2.16
+[[Bild:t_3_2_16.gif|right]]
+|}
 </div>
 <div class="exempel">
 '''Exempel 8'''
-Bestäm medelpunkt och radie för den cirkel vars ekvation är x^2 + y^2 – 2x + 4y + 1 = 0.
+Bestäm medelpunkt och radie för den cirkel vars ekvation är $\ x^2 + y^2 – 2x + 4y + 1 = 0\,$.
-Vi försöker skriva om cirkelns ekvation på formen
+Vi ska försöka skriva om cirkelns ekvation på formen
 (x – a)^2 + (y – b)^2 = r^2
-för då kan vi direkt avläsa att medelpunken (a,b) och radien r.
+för då kan vi direkt avläsa att medelpunken är $\,(a,b)\,$ och radien är $\,r\,$.
-Börja med att kvadratkomplettera termerna som innehåller x i vänsterledet
+Börja med att kvadratkomplettera termerna som innehåller $\,x\,$ i vänsterledet
- \underline{x^2-2x} + y^2+4y + 1 =\underline{(x-1)^2-1^2} + y^2+4y + 1
+$$ \underline{x^2-2x\vphantom{(}} + y^2+4y + 1 =\underline{(x-1)^2-1^2} + y^2+4y + 1$$
 (de understrukna termerna visar kvadratkompletteringen).
 Kvadratkomplettera sedan termerna som innehåller y
- (x-1)^2-1^2 + \underline{y^2+4y} + 1= (x-1)^2-1^2 + \underline{(y+2)^2-2^2} + 1
+$$ (x-1)^2-1^2 + \underline{y^2+4y} + 1= (x-1)^2-1^2 + \underline{(y+2)^2-2^2} + 1\,\mbox{.}$$
 Vänsterledet är alltså lika med
  (x-1)^2 + (y+2)^2-4
-och flyttar vi över $4$ till högerledet är cirkelns ekvation
+och flyttar vi över 4 till högerledet är cirkelns ekvation
-$$ (x-1)^2 + (y+2)^2 = 4 \; \mbox{.}$$
+$$ (x-1)^2 + (y+2)^2 = 4 \, \mbox{.}$$
-Vi avläser att medelpunkten är (1,2) och radien är \sqrt{4}= 2.
+Vi avläser att medelpunkten är $\,(1,-2)\, och radien är \,\sqrt{4}= 2\,$.
-[[Bild:766790.gif]]
+[[Bild:766790.gif||center]]
 </div>
+[[4.1 Övningar|Övningar]]
 '''Råd för inläsning'''
-'''Tänk på att:'''
+'''Grund- och slutprov'''
-Lär dig att använda enhetscirkeln som ett verktyg i det trigonometriska arbetet. Avläsningar i enhetscirkeln ger dig viktiga upplysningar om diverse samband.
+Efter att du har läst texten och arbetat med övningarna ska du göra grund- och slutprovet för att bli godkänd på detta avsnitt. Du hittar länken till proven i din student lounge.
+'''Tänk på att:'''
 för dig som vill fördjupa dig ytterligare eller behöver en längre förklaring vill vi tipsa om:
-[http://www.theducation.se/kurser/gymab/bgeometri_sam/bgeometri_sam.htm Sammanfattning av Geometri B ur Theducations gymnasielexikon]
 [http://sv.wikipedia.org/wiki/Pythagoras_sats Läs mer om Pythagoras sats på svenska Wikipedia]
 [http://www.math.kth.se/online/images/sinus_och_cosinus_i_enhetscirkeln.swf  Interaktivt experiment: sinus och cosinus i enehtscirkeln] (Flash)
-[http://www.theducation.se/kurser/experiment/gyma/applets/ex31_randvinkelsatsen/index.html Experimentera med Randvinkelsatsen]
-[http://www.theducation.se/kurser/experiment/gyma/applets/ex24_avstand_pythagoras/index.html Experimentera med Pythagoras sats]
-[http://www.theducation.se/kurser/experiment/gyma/applets/ex38_fyrhorning/fyrhorning.html Experimentera med vinkelsumman i en fyrhörning]
 </div>
-'''© Copyright 2006, KTH Matematik'''