2.3 Övningar

Sommarmatte 1

(Skillnad mellan versioner)

Nuvarande version

Innehåll

1 Övning 2.3:1
2 Övning 2.3:2
3 Övning 2.3:3
4 Övning 2.3:4
5 Övning 2.3:5
6 Övning 2.3:6
7 Övning 2.3:7
8 Övning 2.3:8
9 Övning 2.3:9
10 Övning 2.3:10

[redigera] Övning 2.3:1

Kvadratkomplettera följande uttryck

a)	$x^2-2x$	b)	$x^2+2x-1$	c)	$5+2x-x^2$	d)	$x^2+5x+3$

Facit

Facit till alla delfrågor

a)	$(x-1)^2-1$	b)	$(x+1)^2-2$	c)	$-(x-1)^2+6$	d)	$\bigl(x+\frac{5}{2}\bigr)^2-\frac{13}{4}$

Lösning a)

Lösning till delfråga a)

Lösning b)

Lösning till delfråga b)

Lösning c)

Lösning till delfråga c)

Lösning d)

Lösning till delfråga d)

[redigera] Övning 2.3:2

Lös följande andragradsekvationer med kvadratkomplettering

a)	$x^2-4x+3=0$	b)	$y^2+2y-15=0$	c)	$y^2+3y+4=0$
d)	$4x^2-28x+13=0$	e)	$5x^2+2x-3=0$	f)	$3x^2-10x+8=0$

Facit

Facit till alla delfrågor


a)	$\left\{ \eqalign{ x_1 &= 1 \cr x_2 &= 3\cr }\right.$	b)	$\left\{ \eqalign{ y_1 &= -5 \cr y_2 &= 3\cr }\right.$	c)	saknar (reella) lösning
d)	$ \left\{ \eqalign{ x_1 &= \textstyle\frac{1}{2}\cr x_2 &= \textstyle\frac{13}{2}\cr }\right.$	e)	$\left\{ \eqalign{ x_1 &= -1 \cr x_2 &= \textstyle\frac{3}{5}\cr }\right.$	f)	$ \left\{ \eqalign{ x_1 &= \textstyle\frac{4}{3}\cr x_2 &= 2\cr }\right.$

Lösning a)

Lösning till delfråga a)

Lösning b)

Lösning till delfråga b)

Lösning c)

Lösning till delfråga c)

Lösning d)

Lösning till delfråga d)

Lösning e)

Lösning till delfråga e)

Lösning f)

Lösning till delfråga f)

[redigera] Övning 2.3:3

Lös följande ekvationer direkt

a)	$x(x+3)=0$	b)	$(x-3)(x+5)=0$
c)	$5(3x-2)(x+8)=0$	d)	$x(x+3)-x(2x-9)=0$
e)	$(x+3)(x-1)-(x+3)(2x-9)=0$	f)	$x(x^2-2x)+x(2-x)=0$

Facit

Facit till alla delfrågor

a)	$\left\{ \eqalign{ x_1 &= 0 \cr x_2 & = -3\cr }\right.$	b)	$\left\{ \eqalign{ x_1 &= 3 \cr x_2 & = -5\cr }\right. $
c)	$\left\{ \eqalign{ x_1 & = \textstyle\frac{2}{3} \cr x_2 & = -8\cr }\right. $	d)	$\left\{ \eqalign{ x_1 & = 0\cr x_2 & = 12\cr }\right. $
e)	$\left\{ \eqalign{ x_1 & = -3 \cr x_2 & = 8\cr }\right. $	f)	$\left\{ \eqalign{ x_1 & = 0 \cr x_2 & = 1 \cr x_3 & = 2 }\right. $

Lösning a)

Lösning till delfråga a)

Lösning b)

Lösning till delfråga b)

Lösning c)

Lösning till delfråga c)

Lösning d)

Lösning till delfråga d)

Lösning e)

Lösning till delfråga e)

Lösning f)

Lösning till delfråga f)

[redigera] Övning 2.3:4

Bestäm en andragradsekvation som har rötterna

a)	$-1\ $ och $\ 2$
b)	$1+\sqrt{3}\ $ och $\ 1-\sqrt{3}$
c)	$3\ $ och $\ \sqrt{3}$

Facit

Facit till alla delfrågor

a)	$ax^2-ax-2a=0\,$, där $\,a\ne 0\,$ är en konstant.
b)	$ax^2-2ax-2a=0\,$, där $\,a\ne 0\,$ är en konstant.
c)	$ax^2-(3+\sqrt{3}\,)ax+3\sqrt{3}\,a=0\,$, där $\,a\ne 0\,$ är en konstant.

Lösning a)

Lösning till delfråga a)

Lösning b)

Lösning till delfråga b)

Lösning c)

Lösning till delfråga c)

[redigera] Övning 2.3:5

a)	Bestäm en andragradsekvation som bara har $\,-7\,$ som rot.
b)	Bestäm ett värde på $\,x\,$ som gör att uttrycket $\,4x^2-28x+48\,$ är negativt.
c)	Ekvationen $\,x^2+4x+b=0\,$ har en rot $\,x=1\,$. Bestäm värdet på konstanten $\,b\,$.

Facit

Facit till alla delfrågor

a)	Exempelvis $\ x^2+14x+49=0\,$.
b)	$3< x<4$
c)	$b=-5$

Lösning a

Lösning till delfråga a)

Lösning b)

Lösning till delfråga b)

Lösning c)

Lösning till delfråga c)

[redigera] Övning 2.3:6

Bestäm det minsta värde som följande polynom antar

a)	$x^2-2x+1$	b)	$x^2-4x+2$	c)	$x^2-5x+7$

Facit

Facit till alla delfrågor

a)	$0$	b)	$-2$	c)	$\displaystyle \frac{3}{4}$

Lösning a)

Lösning till delfråga a)

Lösning b)

Lösning till delfråga b)

Lösning c)

Lösning till delfråga c)

[redigera] Övning 2.3:7

Bestäm det största värde som följande polynom antar

a)	$1-x^2$	b)	$-x^2+3x-4$	c)	$x^2+x+1$

Facit

Facit till alla delfrågor

a)	$1$	b)	$\displaystyle -\frac{7}{4}$	c)	saknar max

Lösning a)

Lösning till delfråga a)

Lösning b)

Lösning till delfråga b)

Lösning c)

Lösning till delfråga c)

[redigera] Övning 2.3:8

Skissera grafen till följande funktioner

a)	$f(x)=x^2+1$	b)	$f(x)=(x-1)^2+2$	c)	$f(x)=x^2-6x+11$

Facit

Facit till alla delfrågor

Se lösningarna.

Lösning a)

Lösning till delfråga a)

Lösning b)

Lösning till delfråga b)

Lösning c)

Lösning till delfråga c)

[redigera] Övning 2.3:9

Hitta alla skärningspunkter mellan x-axeln och kurvan

a)	$y=x^2-1$	b)	$y=x^2-5x+6$	c)	$y=3x^2-12x+9$

Facit

Facit till alla delfrågor

a)	$(-1,0)\ $ och $\ (1,0)$	b)	$(2,0)\ $ och $\ (3,0)$	c)	$(1,0)\ $ och $\ (3,0)$

Lösning a)

Lösning till delfråga a)

Lösning b)

Lösning till delfråga b)

Lösning c)

Lösning till delfråga c)

[redigera] Övning 2.3:10

Rita in i ett xy-plan alla punkter vars koordinater $\,(x,y)\,$ uppfyller

a)	$y \geq x^2\ $ och $\ y \leq 1 $	b)	$y \leq 1-x^2\ $ och $\ x \geq 2y-3 $
c)	$1 \geq x \geq y^2 $	d)	$x^2 \leq y \leq x $

Facit

Facit till alla delfrågor

Se lösningarna.

Lösning a)

Lösning till delfråga a)

Lösning b)

Lösning till delfråga b)

Lösning c)

Lösning till delfråga c)

Lösning d)

Lösning till delfråga d)

Den här artikeln är hämtad från http://wiki.math.se/wikis/sf0600_0701/index.php/2.3_%C3%96vningar

2.3 Övningar

Sommarmatte 1

Nuvarande version

Innehåll

[redigera] Övning 2.3:1

[redigera] Övning 2.3:2

[redigera] Övning 2.3:3

[redigera] Övning 2.3:4

[redigera] Övning 2.3:5

[redigera] Övning 2.3:6

[redigera] Övning 2.3:7

[redigera] Övning 2.3:8

[redigera] Övning 2.3:9

[redigera] Övning 2.3:10

Visningar

Personliga verktyg

Navigering

Sök

Verktygslåda

 ==&Ouml;vning 2.3:1==
 Kvadratkomplettera f&ouml;ljande uttryck
 <table width="100%" cellspacing="10px">
-<tr><td height="5px"/></tr>
 <tr align="left">
 <td class="ntext">a)</td>
-<td class="ntext">$x^2-2x$</td>
+<td class="ntext" width="25%">$x^2-2x$</td>
 <td class="ntext">b)</td>
-<td class="ntext">$x^2+2x-1$</td>
+<td class="ntext" width="25%">$x^2+2x-1$</td>
 <td class="ntext">c)</td>
-<td class="ntext">$5+2x-x^2$</td>
+<td class="ntext" width="25%">$5+2x-x^2$</td>
 <td class="ntext">d)</td>
-<td class="ntext">$x^2+5x+3$</td>
+<td class="ntext" width="25%">$x^2+5x+3$</td>
 </tr>
 <tr><td height="5px"/></tr>
 <div class=NavHead>Facit&nbsp;</div>
 <div class=NavContent>
-Facit till alla delfrågorna<br \>
+Facit till alla delfrågor<br \>
 <table width="100%" cellspacing="10px">
-<tr><td height="5px"/></tr>
 <tr align="left">
 <td class="ntext">a)</td>
-<td class="ntext">$(x-1)^2-1$</td>
+<td class="ntext" width="25%">$(x-1)^2-1$</td>
 <td class="ntext">b)</td>
-<td class="ntext">$(x+1)^2-2$</td>
+<td class="ntext" width="25%">$(x+1)^2-2$</td>
 <td class="ntext">c)</td>
-<td class="ntext">$-(x-1)^2+6$</td>
+<td class="ntext" width="25%">$-(x-1)^2+6$</td>
 <td class="ntext">d)</td>
-<td class="ntext">$\left(x+\displaystyle \frac{5}{2}\right)^2-\displaystyle \frac{13}{4}$</td>
+<td class="ntext" width="25%">$\bigl(x+\frac{5}{2}\bigr)^2-\frac{13}{4}$</td>
 </tr>
 <tr><td height="5px"/></tr>
 <div class=NavFrame style="CLEAR: both">
-<div class=NavHead>L&ouml;sning a&nbsp;</div>
+<div class=NavHead>L&ouml;sning a)&nbsp;</div>
 <div class=NavContent>
-Lösning till delfråga a<br \>[[Bild:2_3_1a.gif]]
+Lösning till delfråga a)
+<table width="100%" cellspacing="10px">
+<tr>
+<td align="center">
+[[Bild:2_3_1a.gif]]
+</td>
+</tr>
+</table>
 </div>
 </div>
 <div class=NavFrame style="CLEAR: both">
-<div class=NavHead>L&ouml;sning b&nbsp;</div>
+<div class=NavHead>L&ouml;sning b)&nbsp;</div>
 <div class=NavContent>
-Lösning till delfråga b<br \>[[Bild:2_3_1b.gif]]
+Lösning till delfråga b)
+<table width="100%" cellspacing="10px">
+<tr>
+<td align="center">
+[[Bild:2_3_1b.gif]]
+</td>
+</tr>
+</table>
 </div>
 </div>
 <div class=NavFrame style="CLEAR: both">
-<div class=NavHead>L&ouml;sning c&nbsp;</div>
+<div class=NavHead>L&ouml;sning c)&nbsp;</div>
 <div class=NavContent>
-Lösning till delfråga c<br \>[[Bild:2_3_1c.gif]]
+Lösning till delfråga c)
+<table width="100%" cellspacing="10px">
+<tr>
+<td align="center">
+[[Bild:2_3_1c.gif]]
+</td>
+</tr>
+</table>
 </div>
 </div>
 <div class=NavFrame style="CLEAR: both">
-<div class=NavHead>L&ouml;sning d&nbsp;</div>
+<div class=NavHead>L&ouml;sning d)&nbsp;</div>
 <div class=NavContent>
-Lösning till delfråga d<br \>[[Bild:2_3_1d.gif]]
+Lösning till delfråga d)
+<table width="100%" cellspacing="10px">
+<tr>
+<td align="center">
+[[Bild:2_3_1d.gif]]
+</td>
+</tr>
+</table>
 </div>
 </div>
 L&ouml;s f&ouml;ljande andragradsekvationer med kvadratkomplettering
 <table width="100%" cellspacing="10px">
-<tr><td height="5px"/></tr>
 <tr align="left">
 <td class="ntext">a)</td>
-<td class="ntext">$x^2-4x+3=0$</td>
+<td class="ntext" width="33%">$x^2-4x+3=0$</td>
 <td class="ntext">b)</td>
-<td class="ntext">$y^2+2y-15=0$</td>
+<td class="ntext" width="33%">$y^2+2y-15=0$</td>
 <td class="ntext">c)</td>
-<td class="ntext">$y^2+3y+4=0$</td>
+<td class="ntext" width="33%">$y^2+3y+4=0$</td>
 </tr>
-<tr><td height="5px"/></tr>
 <tr align="left">
 <td class="ntext">d)</td>
-<td class="ntext">$4x^2-28x+13=0$</td>
+<td class="ntext" width="33%">$4x^2-28x+13=0$</td>
 <td class="ntext">e)</td>
-<td class="ntext">$5x^2+2x-3=0$</td>
+<td class="ntext" width="33%">$5x^2+2x-3=0$</td>
 <td class="ntext">f)</td>
-<td class="ntext">$3x^2-10x+8=0$</td>
+<td class="ntext" width="33%">$3x^2-10x+8=0$</td>
 </tr>
 <tr><td height="5px"/></tr>
 <div class=NavHead>Facit&nbsp;</div>
 <div class=NavContent>
-Facit till alla delfrågorna<br \>
+Facit till alla delfrågor<br \>
 <table width="100%" cellspacing="10px">
 <tr><td height="5px"/></tr>
 <tr align="left">
 <td class="ntext">a)</td>
-<td class="ntext">$\left\{ \matrix{ x_1  = 1 \cr x_2  = 3 }\right.  $</td>
+<td class="ntext" width="33%">$\left\{ \eqalign{ x_1 &= 1 \cr x_2 &= 3\cr }\right.$</td>
 <td class="ntext">b)</td>
-<td class="ntext">$
+<td class="ntext" width="33%">$\left\{ \eqalign{ y_1 &= -5 \cr y_2 &= 3\cr }\right.$</td>
-\left\{ \matrix{ y_1  = -5 \cr y_2  = 3 }\right.   $</td>
 <td class="ntext">c)</td>
-<td class="ntext"> saknar l&ouml;sning*</td>
+<td class="ntext" width="33%"> saknar (reella) l&ouml;sning</td>
 </tr>
-<tr><td height="5px"/></tr>
 <tr align="left">
 <td class="ntext">d)</td>
-<td class="ntext">$ \left\{ \matrix{ x_1  = \frac{1}{2} \cr x_2  = \frac{13}{2} }\right.   $</td>
+<td class="ntext" width="33%">$ \left\{ \eqalign{ x_1 &= \textstyle\frac{1}{2}\cr x_2 &= \textstyle\frac{13}{2}\cr }\right.$</td>
 <td class="ntext">e)</td>
-<td class="ntext">$\left\{ \matrix{ x_1  = -1 \cr x_2  = \frac{3}{5} }\right.   $</td>
+<td class="ntext" width="33%">$\left\{ \eqalign{ x_1 &= -1 \cr x_2 &= \textstyle\frac{3}{5}\cr }\right.$</td>
 <td class="ntext">f)</td>
-<td class="ntext">$ \left\{ \matrix{   x_1  = \frac{4}{3} \cr x_2  = 2 }\right.  $</td>
+<td class="ntext" width="33%">$ \left\{ \eqalign{  x_1 &= \textstyle\frac{4}{3}\cr x_2 &= 2\cr }\right.$</td>
 </tr>
-<tr><td height="5px"/></tr>
 <tr><td height="5px"/></tr>
 </table>
-*) ekvationen saknar reella l&ouml;sningar
 </div>
 </div>
 <div class=NavFrame style="CLEAR: both">
-<div class=NavHead>L&ouml;sning a&nbsp;</div>
+<div class=NavHead>L&ouml;sning a)&nbsp;</div>
 <div class=NavContent>
-Lösning till delfråga a<br \>[[Bild:2_3_2a.gif]]
+Lösning till delfråga a)
+<table width="100%" cellspacing="10px">
+<tr>
+<td align="center">
+[[Bild:2_3_2a.gif]]
+</td>
+</tr>
+</table>
 </div>
 </div>
 <div class=NavFrame style="CLEAR: both">
-<div class=NavHead>L&ouml;sning b&nbsp;</div>
+<div class=NavHead>L&ouml;sning b)&nbsp;</div>
 <div class=NavContent>
-Lösning till delfråga b<br \>[[Bild:2_3_2b.gif]]
+Lösning till delfråga b)
+<table width="100%" cellspacing="10px">
+<tr>
+<td align="center">
+[[Bild:2_3_2b.gif]]
+</td>
+</tr>
+</table>
 </div>
 </div>
 <div class=NavFrame style="CLEAR: both">
-<div class=NavHead>L&ouml;sning c&nbsp;</div>
+<div class=NavHead>L&ouml;sning c)&nbsp;</div>
 <div class=NavContent>
-Lösning till delfråga c<br \>[[Bild:2_3_2c.gif]]
+Lösning till delfråga c)
+<table width="100%" cellspacing="10px">
+<tr>
+<td align="center">
+[[Bild:2_3_2c.gif]]
+</td>
+</tr>
+</table>
 </div>
 </div>
 <div class=NavFrame style="CLEAR: both">
-<div class=NavHead>L&ouml;sning d&nbsp;</div>
+<div class=NavHead>L&ouml;sning d)&nbsp;</div>
 <div class=NavContent>
-Lösning till delfråga d<br \>[[Bild:2_3_2d.gif]]
+Lösning till delfråga d)
+<table width="100%" cellspacing="10px">
+<tr>
+<td align="center">
+[[Bild:2_3_2d.gif]]
+</td>
+</tr>
+</table>
 </div>
 </div>
 <div class=NavFrame style="CLEAR: both">
-<div class=NavHead>L&ouml;sning e&nbsp;</div>
+<div class=NavHead>L&ouml;sning e)&nbsp;</div>
 <div class=NavContent>
-Lösning till delfråga e<br \>[[Bild:2_3_2e.gif]]
+Lösning till delfråga e)
+<table width="100%" cellspacing="10px">
+<tr>
+<td align="center">
+[[Bild:2_3_2e.gif]]
+</td>
+</tr>
+</table>
+</div>
+</div>
+<div class=NavFrame style="CLEAR: both">
+<div class=NavHead>L&ouml;sning f)&nbsp;</div>
+<div class=NavContent>
+Lösning till delfråga f)
+<table width="100%" cellspacing="10px">
+<tr>
+<td align="center">
+[[Bild:2_3_2f.gif]]
+</td>
+</tr>
+</table>
 </div>
 </div>
 L&ouml;s f&ouml;ljande ekvationer direkt
 <table width="100%" cellspacing="10px">
-<tr><td height="5px"/></tr>
 <tr align="left">
 <td class="ntext">a)</td>
-<td class="ntext">$x(x+3)=0$</td>
+<td class="ntext" width="50%">$x(x+3)=0$</td>
 <td class="ntext">b)</td>
-<td class="ntext">$(x-3)(x+5)=0$</td>
+<td class="ntext" width="50%">$(x-3)(x+5)=0$</td>
 </tr>
-<tr><td height="5px"/></tr>
 <tr align="left">
 <td class="ntext">c)</td>
-<td class="ntext">$5(3x-2)(x+8)=0$</td>
+<td class="ntext" width="50%">$5(3x-2)(x+8)=0$</td>
 <td class="ntext">d)</td>
-<td class="ntext">$x(x+3)-x(2x-9)=0$</td>
+<td class="ntext" width="50%">$x(x+3)-x(2x-9)=0$</td>
 </tr>
-<tr><td height="5px"/></tr>
 <tr align="left">
 <td class="ntext">e)</td>
-<td class="ntext">$(x+3)(x-1)-(x+3)(2x-9)=0$</td>
+<td class="ntext" width="50%">$(x+3)(x-1)-(x+3)(2x-9)=0$</td>
 <td class="ntext">f)</td>
-<td class="ntext">$x(x^2-2x)+x(2-x)=0$</td>
+<td class="ntext" width="50%">$x(x^2-2x)+x(2-x)=0$</td>
 </tr>
 <tr><td height="5px"/></tr>
 <div class=NavHead>Facit&nbsp;</div>
 <div class=NavContent>
-Facit till alla delfrågorna<br \>
+Facit till alla delfrågor<br \>
 <table width="100%" cellspacing="10px">
 <tr align="left">
 <td class="ntext">a)</td>
-<td class="ntext">$\left\{ \matrix { x_1 & = 0 \cr x_2 & = -3 }\right.$</td>
+<td class="ntext" width="50%">$\left\{ \eqalign{ x_1 &= 0 \cr x_2 & = -3\cr }\right.$</td>
 <td class="ntext">b)</td>
-<td class="ntext">$\left\{ \matrix {  x_1 & = 3 \cr x_2 & = -5 }\right. $</td>
+<td class="ntext" width="50%">$\left\{ \eqalign{ x_1 &= 3 \cr x_2 & = -5\cr }\right. $</td>
 </tr>
-<tr><td height="5px"/></tr>
 <tr align="left">
 <td class="ntext">c)</td>
-<td class="ntext">$\left\{ \matrix {  x_1 & = \frac{2}{3} \cr x_2 & = -8 }\right.  $</td>
+<td class="ntext" width="50%">$\left\{ \eqalign{  x_1 & = \textstyle\frac{2}{3} \cr x_2 & = -8\cr }\right.  $</td>
 <td class="ntext">d)</td>
-<td class="ntext">$\left\{ \matrix { x_1 & = 0     \cr x_2 & = 12 }\right.   $</td>
+<td class="ntext" width="50%">$\left\{ \eqalign{ x_1 & = 0\cr x_2 & = 12\cr }\right.   $</td>
 </tr>
-<tr><td height="5px"/></tr>
 <tr align="left">
 <td class="ntext">e)</td>
-<td class="ntext">$\left\{ \matrix { x_1 & = -3 \cr x_2 & = 8 }\right.  $</td>
+<td class="ntext" width="50%">$\left\{ \eqalign{ x_1 & = -3 \cr x_2 & = 8\cr }\right.  $</td>
 <td class="ntext">f)</td>
-<td class="ntext">$\left\{ \matrix {  x_1 & = 0 \cr x_2 & = 1 \cr x_3 & = 2 }\right.   $</td>
+<td class="ntext" width="50%">$\left\{ \eqalign{ x_1 & = 0 \cr x_2 & = 1 \cr x_3 & = 2 }\right.   $</td>
 </tr>
 <tr><td height="5px"/></tr>
 <div class=NavFrame style="CLEAR: both">
-<div class=NavHead>L&ouml;sning a&nbsp;</div>
+<div class=NavHead>L&ouml;sning a)&nbsp;</div>
 <div class=NavContent>
-Lösning till delfråga a<br \>[[Bild:2_3_3a.gif]]
+Lösning till delfråga a)
+<table width="100%" cellspacing="10px">
+<tr>
+<td align="center">
+[[Bild:2_3_3a.gif]]
+</td>
+</tr>
+</table>
 </div>
 </div>
 <div class=NavFrame style="CLEAR: both">
-<div class=NavHead>L&ouml;sning b&nbsp;</div>
+<div class=NavHead>L&ouml;sning b)&nbsp;</div>
 <div class=NavContent>
-Lösning till delfråga b<br \>[[Bild:2_3_3b.gif]]
+Lösning till delfråga b)
+<table width="100%" cellspacing="10px">
+<tr>
+<td align="center">
+[[Bild:2_3_3b.gif]]
+</td>
+</tr>
+</table>
 </div>
 </div>
 <div class=NavFrame style="CLEAR: both">
-<div class=NavHead>L&ouml;sning c&nbsp;</div>
+<div class=NavHead>L&ouml;sning c)&nbsp;</div>
 <div class=NavContent>
-Lösning till delfråga c<br \>[[Bild:2_3_3c.gif]]
+Lösning till delfråga c)
+<table width="100%" cellspacing="10px">
+<tr>
+<td align="center">
+[[Bild:2_3_3c.gif]]
+</td>
+</tr>
+</table>
 </div>
 </div>
 <div class=NavFrame style="CLEAR: both">
-<div class=NavHead>L&ouml;sning d&nbsp;</div>
+<div class=NavHead>L&ouml;sning d)&nbsp;</div>
 <div class=NavContent>
-Lösning till delfråga d<br \>[[Bild:2_3_3d.gif]]
+Lösning till delfråga d)
+<table width="100%" cellspacing="10px">
+<tr>
+<td align="center">
+[[Bild:2_3_3d.gif]]
+</td>
+</tr>
+</table>
 </div>
 </div>
 <div class=NavFrame style="CLEAR: both">
-<div class=NavHead>L&ouml;sning e&nbsp;</div>
+<div class=NavHead>L&ouml;sning e)&nbsp;</div>
 <div class=NavContent>
-Lösning till delfråga e<br \>[[Bild:2_3_3e.gif]]
+Lösning till delfråga e)
+<table width="100%" cellspacing="10px">
+<tr>
+<td align="center">
+[[Bild:2_3_3e.gif]]
+</td>
+</tr>
+</table>
 </div>
 </div>
 <div class=NavFrame style="CLEAR: both">
-<div class=NavHead>L&ouml;sning f&nbsp;</div>
+<div class=NavHead>L&ouml;sning f)&nbsp;</div>
 <div class=NavContent>
-Lösning till delfråga f<br \>[[Bild:2_3_3f.gif]]
+Lösning till delfråga f)
+<table width="100%" cellspacing="10px">
+<tr>
+<td align="center">
+[[Bild:2_3_3f.gif]]
+</td>
+</tr>
+</table>
 </div>
 </div>
 Best&auml;m en andragradsekvation som har r&ouml;tterna
 <table width="100%" cellspacing="10px">
-<tr><td height="5px"/></tr>
 <tr align="left">
 <td class="ntext">a)</td>
-<td class="ntext">$-1$ och $2$</td>
+<td class="ntext" width="100%">$-1\ $ och $\ 2$</td>
+</tr>
+<tr align="left">
 <td class="ntext">b)</td>
-<td class="ntext">$1+\sqrt{3}$ och $1-\sqrt{3}$</td>
+<td class="ntext" width="100%">$1+\sqrt{3}\ $ och $\ 1-\sqrt{3}$</td>
+</tr>
+<tr align="left">
 <td class="ntext">c)</td>
-<td class="ntext">$3$ och $\sqrt{3}$</td>
+<td class="ntext" width="100%">$3\ $ och $\ \sqrt{3}$</td>
 </tr>
 <tr><td height="5px"/></tr>
 <div class=NavHead>Facit&nbsp;</div>
 <div class=NavContent>
-Facit till alla delfrågorna<br \>
+Facit till alla delfrågor
 <table width="100%" cellspacing="10px">
-<tr><td height="5px"/></tr>
 <tr align="left">
 <td class="ntext">a)</td>
-<td class="ntext">$ax^2-ax-2a=0, a\ne 0$</td>
+<td class="ntext" width="100%">$ax^2-ax-2a=0\,$, där $\,a\ne 0\,$ är en konstant.</td>
 </tr>
-<tr><td height="5px"/></tr>
 <tr align="left">
 <td class="ntext">b)</td>
-<td class="ntext">$ax^2-2ax-2a=0, a\ne 0$</td>
+<td class="ntext" width="100%">$ax^2-2ax-2a=0\,$, där $\,a\ne 0\,$ är en konstant.</td>
+</tr>
+<tr align="left">
+<td class="ntext">c)</td>
+<td class="ntext" width="100%">$ax^2-(3+\sqrt{3}\,)ax+3\sqrt{3}\,a=0\,$, där $\,a\ne 0\,$ är en konstant.</td>
 </tr>
 <tr><td height="5px"/></tr>
+</table>
+</div>
+</div>
+<div class=NavFrame style="CLEAR: both">
+<div class=NavHead>L&ouml;sning a)&nbsp;</div>
+<div class=NavContent>
+Lösning till delfråga a)
+<table width="100%" cellspacing="10px">
+<tr>
+<td align="center">
+[[Bild:2_3_4a-1(2).gif]]
+</td>
+</tr>
+<tr>
+<td align="center">
+[[Bild:2_3_4a-2(2).gif]]
+</td>
+</tr>
+</table>
+</div>
+</div>
+<div class=NavFrame style="CLEAR: both">
+<div class=NavHead>L&ouml;sning b)&nbsp;</div>
+<div class=NavContent>
+Lösning till delfråga b)
+<table width="100%" cellspacing="10px">
+<tr>
+<td align="center">
+[[Bild:2_3_4b-1(2).gif]]
+</td>
+</tr>
+<tr>
+<td align="center">
+[[Bild:2_3_4b-2(2).gif]]
+</td>
+</tr>
+</table>
+</div>
+</div>
+<div class=NavFrame style="CLEAR: both">
+<div class=NavHead>L&ouml;sning c)&nbsp;</div>
+<div class=NavContent>
+Lösning till delfråga c)
+<table width="100%" cellspacing="10px">
+<tr>
+<td align="center">
+[[Bild:2_3_4c.gif]]
+</td>
+</tr>
+</table>
+</div>
+</div>
+==&Ouml;vning 2.3:5==
+<div class="ovning">
+<table width="100%" cellspacing="10px">
 <tr align="left">
+<td class="ntext">a)</td>
+<td class="ntext" width="100%">Best&auml;m en andragradsekvation som bara har $\,-7\,$ som rot.</td>
+</tr>
+<tr>
+<td class="ntext">b)</td>
+<td class="ntext" width="100%">Best&auml;m ett v&auml;rde p&aring; $\,x\,$ som g&ouml;r att uttrycket $\,4x^2-28x+48\,$ &auml;r negativt.</td>
+</tr>
+<tr>
 <td class="ntext">c)</td>
-<td class="ntext">$ax^2-(3+\sqrt{3})ax+3\sqrt{3}a=0, a\ne 0$</td>
+<td class="ntext" width="100%">Ekvationen $\,x^2+4x+b=0\,$ har en rot $\,x=1\,$. Best&auml;m v&auml;rdet p&aring; konstanten $\,b\,$.</td>
 </tr>
 <tr><td height="5px"/></tr>
 </table>
+</div>
+<div class=NavFrame style="CLEAR: both">
+<div class=NavHead>Facit&nbsp;</div>
+<div class=NavContent>
+Facit till alla delfrågor
+<table width="100%" cellspacing="10px">
+<tr align="left">
+<td class="ntext">a)</td>
+<td class="ntext" width="100%">Exempelvis $\ x^2+14x+49=0\,$.</td>
+</tr>
+<tr align="left">
+<td class="ntext">b)</td>
+<td class="ntext" width="100%">$3< x<4$</td>
+</tr>
+<tr align="left">
+<td class="ntext">c)</td>
+<td class="ntext" width="100%">$b=-5$</td>
+</tr>
+<tr><td height="5px"/></tr>
+</table>
 </div>
 </div>
 <div class=NavHead>L&ouml;sning a&nbsp;</div>
 <div class=NavContent>
-Lösning till delfråga a<br \>[[Bild:2_3_4a-1(2).gif]]<br \>[[Bild:2_3_4a-2(2).gif]]
+Lösning till delfråga a)
+<table width="100%" cellspacing="10px">
+<tr>
+<td align="center">
+[[Bild:2_3_5a.gif]]
+</td>
+</tr>
+</table>
 </div>
 </div>
 <div class=NavFrame style="CLEAR: both">
-<div class=NavHead>L&ouml;sning b&nbsp;</div>
+<div class=NavHead>L&ouml;sning b)&nbsp;</div>
 <div class=NavContent>
-Lösning till delfråga b<br \>[[Bild:2_3_4b-1(2).gif]]<br \>[[Bild:2_3_4b-2(2).gif]]
+Lösning till delfråga b)
+<table width="100%" cellspacing="10px">
+<tr>
+<td align="center">
+[[Bild:2_3_5b.gif]]
+</td>
+</tr>
+</table>
 </div>
 </div>
 <div class=NavFrame style="CLEAR: both">
-<div class=NavHead>L&ouml;sning c&nbsp;</div>
+<div class=NavHead>L&ouml;sning c)&nbsp;</div>
 <div class=NavContent>
-Lösning till delfråga c<br \>[[Bild:2_3_4c.gif]]
+Lösning till delfråga c)
+<table width="100%" cellspacing="10px">
+<tr>
+<td align="center">
+[[Bild:2_3_5c.gif]]
+</td>
+</tr>
+</table>
 </div>
 </div>
-==&Ouml;vning 2.3:5==
+==&Ouml;vning 2.3:6==
 <div class="ovning">
+Best&auml;m det minsta v&auml;rde som f&ouml;ljande polynom antar
 <table width="100%" cellspacing="10px">
+<tr align="left">
+<td class="ntext">a)</td>
+<td class="ntext" width="33%">$x^2-2x+1$</td>
+<td class="ntext">b)</td>
+<td class="ntext" width="33%">$x^2-4x+2$</td>
+<td class="ntext">c)</td>
+<td class="ntext" width="33%">$x^2-5x+7$</td>
+</tr>
 <tr><td height="5px"/></tr>
+</table>
+</div>
+<div class=NavFrame style="CLEAR: both">
+<div class=NavHead>Facit&nbsp;</div>
+<div class=NavContent>
+Facit till alla delfrågor
+<table width="100%" cellspacing="10px">
 <tr align="left">
 <td class="ntext">a)</td>
-<td class="ntext">Best&auml;m en andragradsekvation som bara har $-7$ som rot.</td>
+<td class="ntext" width="33%">$0$</td>
+<td class="ntext">b)</td>
+<td class="ntext" width="33%">$-2$</td>
+<td class="ntext">c)</td>
+<td class="ntext" width="33%">$\displaystyle \frac{3}{4}$</td>
 </tr>
 <tr><td height="5px"/></tr>
-<tr>
+</table>
+</div>
+</div>
+<div class=NavFrame style="CLEAR: both">
+<div class=NavHead>L&ouml;sning a)&nbsp;</div>
+<div class=NavContent>
+Lösning till delfråga a)
+<table width="100%" cellspacing="10px">
+<tr>
+<td align="center">
+[[Bild:2_3_6a.gif]]
+</td>
+</tr>
+</table>
+</div>
+</div>
+<div class=NavFrame style="CLEAR: both">
+<div class=NavHead>L&ouml;sning b)&nbsp;</div>
+<div class=NavContent>
+Lösning till delfråga b)
+<table width="100%" cellspacing="10px">
+<tr>
+<td align="center">
+[[Bild:2_3_6b.gif]]
+</td>
+</tr>
+</table>
+</div>
+</div>
+<div class=NavFrame style="CLEAR: both">
+<div class=NavHead>L&ouml;sning c)&nbsp;</div>
+<div class=NavContent>
+Lösning till delfråga c)
+<table width="100%" cellspacing="10px">
+<tr>
+<td align="center">
+[[Bild:2_3_6c.gif]]
+</td>
+</tr>
+</table>
+</div>
+</div>
+==&Ouml;vning 2.3:7==
+<div class="ovning">
+Best&auml;m det st&ouml;rsta v&auml;rde som f&ouml;ljande polynom antar
+<table width="100%" cellspacing="10px">
+<tr align="left">
+<td class="ntext">a)</td>
+<td class="ntext" width="33%">$1-x^2$</td>
 <td class="ntext">b)</td>
-<td class="ntext">Best&auml;m ett v&auml;rde p&aring; $x$ som g&ouml;r att uttrycket $4x^2-28x+48$ &auml;r negativt.</td>
+<td class="ntext" width="33%">$-x^2+3x-4$</td>
+<td class="ntext">c)</td>
+<td class="ntext" width="33%">$x^2+x+1$</td>
 </tr>
 <tr><td height="5px"/></tr>
+</table>
+</div>
+<div class=NavFrame style="CLEAR: both">
+<div class=NavHead>Facit&nbsp;</div>
+<div class=NavContent>
+Facit till alla delfrågor<br \>
+<table width="100%" cellspacing="10px">
+<tr align="left">
+<td class="ntext">a)</td>
+<td class="ntext" width="33%">$1$</td>
+<td class="ntext">b)</td>
+<td class="ntext" width="33%">$\displaystyle -\frac{7}{4}$</td>
+<td class="ntext">c)</td>
+<td class="ntext" width="33%">saknar max</td>
+</tr>
+<tr><td height="5px"/></tr>
+</table>
+</div>
+</div>
+<div class=NavFrame style="CLEAR: both">
+<div class=NavHead>L&ouml;sning a)&nbsp;</div>
+<div class=NavContent>
+Lösning till delfråga a)
+<table width="100%" cellspacing="10px">
 <tr>
+<td align="center">
+[[Bild:2_3_7a.gif]]
+</td>
+</tr>
+</table>
+</div>
+</div>
+<div class=NavFrame style="CLEAR: both">
+<div class=NavHead>L&ouml;sning b)&nbsp;</div>
+<div class=NavContent>
+Lösning till delfråga b)
+<table width="100%" cellspacing="10px">
+<tr>
+<td align="center">
+[[Bild:2_3_7b.gif]]
+</td>
+</tr>
+</table>
+</div>
+</div>
+<div class=NavFrame style="CLEAR: both">
+<div class=NavHead>L&ouml;sning c)&nbsp;</div>
+<div class=NavContent>
+Lösning till delfråga c)
+<table width="100%" cellspacing="10px">
+<tr>
+<td align="center">
+[[Bild:2_3_7c.gif]]
+</td>
+</tr>
+</table>
+</div>
+</div>
+==&Ouml;vning 2.3:8==
+<div class="ovning">
+Skissera grafen till f&ouml;ljande funktioner
+<table width="100%" cellspacing="10px">
+<tr align="left">
+<td class="ntext">a)</td>
+<td class="ntext" width="33%">$f(x)=x^2+1$</td>
+<td class="ntext">b)</td>
+<td class="ntext" width="33%">$f(x)=(x-1)^2+2$</td>
 <td class="ntext">c)</td>
-<td class="ntext">Ekvationen $x^2+4x+b=0$ har en rot $x=1$. Best&auml;m v&auml;rdet p&aring; konstanten $b$</td>
+<td class="ntext" width="33%">$f(x)=x^2-6x+11$</td>
 </tr>
 <tr><td height="5px"/></tr>
 <div class=NavHead>Facit&nbsp;</div>
 <div class=NavContent>
-Facit till alla delfrågorna<br \>
+Facit till alla delfrågor<br \>
 <table width="100%" cellspacing="10px">
+<tr align="left">
+<td>Se lösningarna.</td>
+</tr>
+</table>
+</div>
+</div>
+<div class=NavFrame style="CLEAR: both">
+<div class=NavHead>L&ouml;sning a)&nbsp;</div>
+<div class=NavContent>
+Lösning till delfråga a)
+<table width="100%" cellspacing="10px">
+<tr>
+<td align="center">
+[[Bild:2_3_8a.gif]]
+</td>
+</tr>
+</table>
+</div>
+</div>
+<div class=NavFrame style="CLEAR: both">
+<div class=NavHead>L&ouml;sning b)&nbsp;</div>
+<div class=NavContent>
+Lösning till delfråga b)
+<table width="100%" cellspacing="10px">
+<tr>
+<td align="center">
+[[Bild:2_3_8b.gif]]
+</td>
+</tr>
+</table>
+</div>
+</div>
+<div class=NavFrame style="CLEAR: both">
+<div class=NavHead>L&ouml;sning c)&nbsp;</div>
+<div class=NavContent>
+Lösning till delfråga c)
+<table width="100%" cellspacing="10px">
+<tr>
+<td align="center">
+[[Bild:2_3_8c.gif]]
+</td>
+</tr>
+</table>
+</div>
+</div>
+==&Ouml;vning 2.3:9==
+<div class="ovning">
+Hitta alla sk&auml;rningspunkter mellan x-axeln och kurvan
+<table width="100%" cellspacing="10px">
+<tr align="left">
+<td class="ntext">a)</td>
+<td class="ntext" width="33%">$y=x^2-1$</td>
+<td class="ntext">b)</td>
+<td class="ntext" width="33%">$y=x^2-5x+6$</td>
+<td class="ntext">c)</td>
+<td class="ntext" width="33%">$y=3x^2-12x+9$</td>
+</tr>
 <tr><td height="5px"/></tr>
+</table>
+</div>
+<div class=NavFrame style="CLEAR: both">
+<div class=NavHead>Facit&nbsp;</div>
+<div class=NavContent>
+Facit till alla delfrågor
+<table width="100%" cellspacing="10px">
 <tr align="left">
 <td class="ntext">a)</td>
-<td class="ntext">Exempelvis $\ x^2+14x+49=0$</td>
+<td class="ntext" width="33%">$(-1,0)\ $ och $\ (1,0)$</td>
 <td class="ntext">b)</td>
-<td class="ntext">$3< x<4$</td>
+<td class="ntext" width="33%">$(2,0)\ $ och $\ (3,0)$</td>
 <td class="ntext">c)</td>
-<td class="ntext">$b=-5$</td>
+<td class="ntext" width="33%">$(1,0)\ $ och $\ (3,0)$</td>
 </tr>
 <tr><td height="5px"/></tr>
 <div class=NavFrame style="CLEAR: both">
-<div class=NavHead>L&ouml;sning &nbsp;</div>
+<div class=NavHead>L&ouml;sning a)&nbsp;</div>
 <div class=NavContent>
-Lösning till delfråga <br \>[[Bild:]]
+Lösning till delfråga a)
+<table width="100%" cellspacing="10px">
+<tr>
+<td align="center">
+[[Bild:2_3_9a.gif]]
+</td>
+</tr>
+</table>
+</div>
+</div>
+<div class=NavFrame style="CLEAR: both">
+<div class=NavHead>L&ouml;sning b)&nbsp;</div>
+<div class=NavContent>
+Lösning till delfråga b)
+<table width="100%" cellspacing="10px">
+<tr>
+<td align="center">
+[[Bild:2_3_9b-1(2).gif]]
+</td>
+</tr>
+<tr>
+<td align="center">
+[[Bild:2_3_9b-2(2).gif]]
+</td>
+</tr>
+</table>
+</div>
+</div>
+<div class=NavFrame style="CLEAR: both">
+<div class=NavHead>L&ouml;sning c)&nbsp;</div>
+<div class=NavContent>
+Lösning till delfråga c)
+<table width="100%" cellspacing="10px">
+<tr>
+<td align="center">
+[[Bild:2_3_9c.gif]]
+</td>
+</tr>
+</table>
+</div>
+</div>
+==&Ouml;vning 2.3:10==
+<div class="ovning">
+Rita in i ett ''xy''-plan alla punkter vars koordinater $\,(x,y)\,$ uppfyller
+<table width="100%" cellspacing="10px">
+<tr align="left">
+<td class="ntext">a)</td>
+<td class="ntext" width="50%">$y \geq x^2\ $ och $\ y \leq 1 $</td>
+<td class="ntext">b)</td>
+<td class="ntext" width="50%">$y \leq 1-x^2\ $ och $\ x \geq 2y-3 $</td>
+</tr>
+<tr align="left">
+<td class="ntext">c)</td>
+<td class="ntext" width="50%">$1 \geq x \geq y^2 $</td>
+<td class="ntext">d)</td>
+<td class="ntext" width="50%">$x^2 \leq y \leq x $</td>
+</tr>
+<tr><td height="5px"/></tr>
+</table>
+</div>
+<div class=NavFrame style="CLEAR: both">
+<div class=NavHead>Facit&nbsp;</div>
+<div class=NavContent>
+Facit till alla delfrågor
+<table width="100%" cellspacing="10px">
+<tr align="left">
+<td>Se lösningarna.</td>
+</tr>
+</table>
+</div>
+</div>
+<div class=NavFrame style="CLEAR: both">
+<div class=NavHead>L&ouml;sning a)&nbsp;</div>
+<div class=NavContent>
+Lösning till delfråga a)
+<table width="100%" cellspacing="10px">
+<tr>
+<td align="center">
+[[Bild:2_3_10a.gif]]
+</td>
+</tr>
+</table>
+</div>
+</div>
+<div class=NavFrame style="CLEAR: both">
+<div class=NavHead>L&ouml;sning b)&nbsp;</div>
+<div class=NavContent>
+Lösning till delfråga b)
+<table width="100%" cellspacing="10px">
+<tr>
+<td align="center">
+[[Bild:2_3_10b-1(3).gif]]
+</td>
+</tr>
+<tr>
+<td align="center">
+[[Bild:2_3_10b-2(3).gif]]
+</td>
+</tr>
+<tr>
+<td align="center">
+[[Bild:2_3_10b-3(3).gif]]
+</td>
+</tr>
+</table>
+</div>
+</div>
+<div class=NavFrame style="CLEAR: both">
+<div class=NavHead>L&ouml;sning c)&nbsp;</div>
+<div class=NavContent>
+Lösning till delfråga c)
+<table width="100%" cellspacing="10px">
+<tr>
+<td align="center">
+[[Bild:2_3_10c-1(2).gif]]
+</td>
+</tr>
+<tr>
+<td align="center">
+[[Bild:2_3_10c-2(2).gif]]
+</td>
+</tr>
+</table>
+</div>
+</div>
+<div class=NavFrame style="CLEAR: both">
+<div class=NavHead>L&ouml;sning d)&nbsp;</div>
+<div class=NavContent>
+Lösning till delfråga d)
+<table width="100%" cellspacing="10px">
+<tr>
+<td align="center">
+[[Bild:2_3_10d.gif]]
+</td>
+</tr>
+</table>
 </div>
 </div>