Loading jsMath...

4.1 Vinklar och cirklar

Sommarmatte 1

(Skillnad mellan versioner)
Hoppa till: navigering, sök
Versionen från 24 april 2007 kl. 10.09 (redigera)
Lina (Diskussion | bidrag)
(→Vinkelmått)
← Gå till föregående ändring		 Versionen från 24 april 2007 kl. 10.13 (redigera) (ogör)
Lina (Diskussion | bidrag)
(→Vinkelmått)
Gå till nästa ändring →
Rad 57: Rad 57:
<ol type="a"> <ol type="a">
<li>30^\circ = 30 \cdot 1^\circ = 30 \cdot \displaystyle \frac{\pi}{180} \mbox{ radianer } = \displaystyle \frac{\pi}{6} \mbox{ radianer } <br><br> <li>30^\circ = 30 \cdot 1^\circ = 30 \cdot \displaystyle \frac{\pi}{180} \mbox{ radianer } = \displaystyle \frac{\pi}{6} \mbox{ radianer } <br><br>
-<li> \displaystyle \frac{\pi}{8} \mbox {radianer } = \displaystyle \frac{\pi}{8} \cdot (1 \mbox {radian }) = \displaystyle \frac{\pi}{8} \cdot \displaystyle \frac{180^\circ}{\pi} = 22,5^\circ+<li>$ \displaystyle \frac{\pi}{8} \mbox {radianer } = \displaystyle \frac{\pi}{8} \cdot (1 \; \mbox{radian }) = \displaystyle \frac{\pi}{8} \cdot \displaystyle \frac{180^\circ}{\pi} = 22,5^\circ$
</ol> </ol>
Rad 72: Rad 72:
Exempeltext, använd nedanstående numrering Exempeltext, använd nedanstående numrering
<ol type="a"> <ol type="a">
-<li>Vinklar -55^\circ och 665^\circ anger samma riktning eftersom
-55\circ + 2 \cdot 360^\circ = 665^\circ \; \mbox{.}
<br><br>		+<li>Vinklar -55^\circ och 665^\circ anger samma riktning eftersom $$-55^\circ + 2 \cdot 360^\circ = 665^\circ \; \mbox{.}$$ <br><br>
<li>Vinklarna \frac{3\pi}{7} och -\frac{11\pi}{7} anger samma riktning eftersom
\frac{3\pi}{7} - 2\pi = -\frac{11\pi}{7} \; \mbox{.}
 <li>Vinklarna \frac{3\pi}{7} och -\frac{11\pi}{7} anger samma riktning eftersom
\frac{3\pi}{7} - 2\pi = -\frac{11\pi}{7} \; \mbox{.}
</ol> </ol>

Versionen från 24 april 2007 kl. 10.13

Innehåll

[göm]

4.1 Vinklar och cirklar

Innehåll:

  • Vinkelmått
  • Avståndsformeln i planet
  • Cirkelns ekvation

Läromål:

Efter detta avsnitt ska du ha lärt dig att:

  • Omvandla mellan grader, radianer och varv
  • Beräkna arean och omkretsen av en cirkelsektor
  • Beräkna avståndet mellan två punkter i planet
  • Skissera cirklar med hjälp av att kvadratkomplettera deras ekvationer
  • Använda begreppen enhetscirkel, tangent, radie, diameter, pereferi, korda och cirkelbåge.
  • Lösa geometriska problem som innehåller cirklar


Övningar

Teori

Vinkelmått

Det finns flera olika enheter för att mäta vinklar, som är praktiska i olika sammanhang. De två vanligaste vinkelmåtten i matematiken är grader och radianer.

  • Grader. Om ett helt varv delas in i 360 delar, så kallas varje del 1 grad. Beteckningen för grader är ^\circ.

Bild: figur 3.2.1

  • Radianer. Ett annat sätt att mäta vinklar är att omvända längden av vinkelns cirkelbåge i förhållandet till radien som mått på vinkeln. Detta vinkelmått kallas för radian. Ett varv är alltså 2\pi radianer eftersom cirkelns omkrets är 2\pi r, där r är cirkelns radie.

Bild: figurer 3.2.2 och figurer 3.2.3


Ett helt varv är 360^\circ eller 2\pi radianer och det gör att

1^\circ = \frac{1}{360} \cdot 2\pi \mbox{ radianer } = \frac{\pi}{180} \mbox{ radianer }
1 \mbox{ radianer } = \frac{1}{2\pi} \cdot 360^\circ = \frac{180^\circ}{\pi}
Dessa omvandlingsfaktorer kan användas för att konvertera mellan grader och radianer.

Exempel 1

  1. 30^\circ = 30 \cdot 1^\circ = 30 \cdot \displaystyle \frac{\pi}{180} \mbox{ radianer } = \displaystyle \frac{\pi}{6} \mbox{ radianer }

  2. \displaystyle \frac{\pi}{8} \mbox {radianer } = \displaystyle \frac{\pi}{8} \cdot (1 \; \mbox{radian }) = \displaystyle \frac{\pi}{8} \cdot \displaystyle \frac{180^\circ}{\pi} = 22,5^\circ

I en del sammanhang kan det vara meningsfullt att tala om negativa vinklar eller vinklar som är större än 360^\circ. Då kan man använda att man kan ange samma riktning med flera olika vinklar som skiljer sig från varandra med ett helt antal varv.

Bild: Figur 3.2.4


Exempel 2

Exempeltext, använd nedanstående numrering

  1. Vinklar -55^\circ och 665^\circ anger samma riktning eftersom
    -55^\circ + 2 \cdot 360^\circ = 665^\circ \; \mbox{.}


  2. Vinklarna \frac{3\pi}{7} och -\frac{11\pi}{7} anger samma riktning eftersom
    \frac{3\pi}{7} - 2\pi = -\frac{11\pi}{7} \; \mbox{.}




Några viktiga vinklar som är bra att kunna översätta till utantill mellan grader och radianer.

<img src="ppStdFiles2261/774115.gif" hspace='0' vspace='0' />
Interaktivt experiment: sinus och cosinus i enehtscirkeln (Flash) Omvandlingsfaktorn mellan radianer och grader kan man få ur sambanden 1 varv = 360^\circ = 2\pi rad 1 rad = \displaystyle\frac{360^\circ}{2\pi} = \displaystyle\frac{180^\circ}{\pi} \approx 57,295^\circ

Cirkelsektorer och båglängder

<img src="object49972/bilder/3_2/3_2_04.gif" align="right">Om vi har öppningsvinkeln \alpha för en cirkelsektor kan vi beräkna cirkelsektorns area A och cirkelbågens båglängd b, genom att betrakta dem som en andel av en hel cirkel.

Eftersom en hel cirkel har omkretsen 2\pi r och arean \pi r^2, får vi 

bågens längd utefter cirkelsektorn $= b = \displaystyle\frac{\alpha}{2\pi} 2\pi r = \alpha r$

arean $= A = \displaystyle\frac{\alpha}{2\pi} \pi r^2 = \displaystyle\frac{\alpha r^2}{2}$

Observera att vinkeln \alpha måste anges i radianer för att formlerna skall bli så snygga.


Pythagoras sats, avståndsformeln och cirkels ekvation

<img src="object49972/bilder/3_2/3_2_05.gif" align="right">Pythagoras sats gäller för alla rätvinkliga trianglar. Satsen säger att summan av kateternas kvadrater är lika med kvadraten på hypotenusan, dvs A^2 + B^2 = C^2


(Även omvändningen av satsen gäller, d.v.s. om A^2 + B^2 = C^2 så är triangeln rätvinklig.)




<img src="object49972/bilder/3_2/3_2_06.gif" align="right">Pythagoras sats kan användas för att beräkna avståndet mellan två punkter i ett koordinatsystem. Om punkterna har koordinaterna (x, y) och (a, b) och vi kallar avståndet mellan punkterna för d, så får vi den så kallade avståndsformeln d = \sqrt{(x – a)^2 + (y – b)^2} .


[http://www.theducation.se/kurser/experiment/gyma/applets/ex24_avstand_pythagoras/index.html 

Interaktivt experiment: Här kan du experimentera med avståndsformeln och Pythagoras sats

]


Definition av en cirkel

<img src="object49972/bilder/3_2/3_2_08.gif" align="right">

En cirkel kan definieras som mängden av alla punkter (x, y) som ligger på ett visst avstånd r från en given punkt (a, b). Avståndet r blir då cirkels radie, och punkten (a, b) blir cirkelns medelpunkt. Detta ger med hjälp av avståndsformeln villkoret


r = \sqrt{(x – a)^2 + (y – b)^2}.


Detta villkor brukar genom kvadrering skrivas


(x – a)^2 + (y – b)^2 = r^2


och kallas för cirkelns ekvation. Cirkeln är alltså mängden av alla punkter (x, y) som uppfyller ekvationen (x – a)^2 + (y – b)^2 = r^2 och ligger på avståndet r från punkten (a, b). Om man sätter r = 1 och (a,b) = (0,0) får man en cirkel med radien 1 och medelpunkten i origo. Denna cirkel kallas enhetscirkeln. 

Enhetscirkeln är ett viktigt hjälpmedel i många sammanhang, t.ex. när man arbetar med trigonometriska funktioner.



Några fakta om cirklar

  • Arean av en cirkel med radie r är \pi r^2.
  • Omkretsen av en cirkel med radie r är 2\pi r.
  • Radien är avståndet från cirkelns medelpunkt till en punkt på periferin.
  • Några andra viktiga geometriska begrepp för cirkeln visas i figuren



Några viktiga begrepp


<img src="object49972/bilder/3_2/3_2_10.gif">

Det är inte alltid helt enkelt att känna igen ekvationen för en cirkel. Med hjälp av kvadratkomplettering (tidigare presenterat i avsnitt 2.3) kan man skriva ekvationen på så kallad standardform, där går det direkt att avläsa cirkelns radie och medelpunkt.


Exempel 1

Skissera cirkeln x^2 + y^2 = 4

Lösning:

Vi jämför den aktuella cirkeln med cirkelns ekvation. (x-x_0)^2+(y-y_0)^2=r^2 Vi ser att i vårt fall är x_0=0 och y_0=0 Detta betyder alltså att cirkeln har sin medelpunkt i (0,0) dvs i origo. Radien på cirkeln går att avläsa ur högerledet: r = \sqrt {r^2} = \sqrt 4 = 2 Med denna information kan vi skissera cirkeln enligt nedan.<p align="center"><img src="ppStdFiles2261/766791.gif" hspace='0' vspace='0' />


Exempel 2

Bestäm medelpunkten för den cirkel vars ekvation är x^2 + y^2 – 2x + 4y + 1 = 0.


Lösning:

Vi försöker skriva om på normalformen av cirkelns ekvation, (x-x_0)^2+(y-y_0)^2=r^2, där (x_0,y_0) är centrum och r är radien.


Vi utgår från de termer som innehåller x\;, nämligen \; x^2-2x


och skriver om den m.h.a. andra kvadreringsregeln, 


$ a^2-2ab+b^2=(a-b)^2 $


Vi identifierar a=x och b=1 vilket ger b^2=1 , vi har då


x^2-2x=(x-1)^2-1


På samma sätt får vi för termerna y^2 + 4y


y^2+4y=(y+2)^2-4


Vår ursprungliga ekvation x^2+y^2-2x+4y+1=0 kan då skrivas som


(x-1)^2-1+(y+2)^2-4+1=0


vilket förenklas till 


$ (x-1)^2 + (y+2)^2 = 4 $


Vi jämför med cirkelns ekvation på normalform och identifierar medelpunkten (x_0,y_0)=(1,-2) samt radien \sqrt{4}=2 .


Denna information behövs om du vill rita figuren, utgå då från medelpunkt och radie enligt ovan.<p align="center"><img src="ppStdFiles2261/766790.gif" hspace='0' vspace='0' />


Svar: medelpunkten är (1,-2)


Råd för inläsning

Tänk på att:

Lär dig att använda enhetscirkeln som ett verktyg i det trigonometriska arbetet. Avläsningar i enhetscirkeln ger dig viktiga upplysningar om diverse samband.


Lästips

för dig som vill fördjupa dig ytterligare eller behöver en längre förklaring vill vi tipsa om:

Sammanfattning av Geometri B ur Theducations gymnasielexikon

Läs mer om Pythagoras sats på svenska Wikipedia

Läs mer i Mathworld om cirkeln


Länktips

Experimentera med Randvinkelsatsen

Experimentera med Pythagoras sats

Experimentera med vinkelsumman i en fyrhörning


© Copyright 2006, KTH Matematik




Den här artikeln är hämtad från http://wiki.math.se/wikis/sf0600_0701/index.php/4.1_Vinklar_och_cirklar
Personliga verktyg