Exempel 1

1. 30^\circ = 30 \cdot 1^\circ = 30 \cdot \displaystyle \frac{\pi}{180} \mbox{ radianer } = \displaystyle \frac{\pi}{6} \mbox{ radianer }
   
   
2. \displaystyle \frac{\pi}{8} \mbox {radianer } = \displaystyle \frac{\pi}{8} \cdot (1 \; \mbox{radian }) = \displaystyle \frac{\pi}{8} \cdot \displaystyle \frac{180^\circ}{\pi} = 22,5^\circ

Exempel 2

1. Vinklar -55^\circ och 665^\circ anger samma riktning eftersom
   -55^\circ + 2 \cdot 360^\circ = 665^\circ \; \mbox{.}
2. Vinklarna \frac{3\pi}{7} och -\frac{11\pi}{7} anger samma riktning eftersom
   \frac{3\pi}{7} - 2\pi = -\frac{11\pi}{7} \; \mbox{.}
3. Vinklarna 36^\circ och 216^\circ anger inte samma riktning utan motsatta riktningar eftersom
   36^\circ + 180^\circ = 216^\circ \; \mbox{.}

Exempel 3

Bild: figur 3.2.6

I triangel till höger är

och därför är hypotenusan c lika med

Exempel 4

1. Avståndet mellan (1,2) och (3,1) är
   d=\sqrt{ (1-3)^2 + (2-1)^2} = \sqrt{(-2)^2 + 1^2} = \sqrt{ 4+1} = \sqrt{5} \; \mbox{.}
2. Avståndet mellan (-1,0) och (-2,-5) är
   d=\sqrt{ (-1-(-2))^2 + (0-(-5))^2} = \sqrt{1^2 + 5^2} = \sqrt{1+25} = \sqrt{26} \; \mbox{.}

Exempel 5

En cirkelsektor är given i figuren till höger. Bild: figur 3.2.10

1. Bestäm cirkelbågens längd
   
   Medelpunktsvinkeln 50^\circ blir i radianer
   50^\circ= 50 \cdot 1^\circ = 50 \cdot \frac{\pi}{180} \mbox{ radianer } = \frac{5\pi}{18} \mbox{ radianer. }
   På det sätt som radianer är definerat betyder detta att cirkelbågens längd är radien multiplicerat med vinkeln mätt i radianer,
   3 \cdot \frac{5\pi}{18} \mbox{ l.e. } = \frac{5\pi}{6} \mbox{ l.e. }
2. Bestäm cirkelsektorns area.
   
   Cirkelsektorns andel av hela cirkeln är
   \frac{50^\circ}{360^\circ} = \frac{5}{36}
   och det betyder att dess area är \frac{5}{36} delar av cirkelns area som är \pi r^2 = \pi 3^2 = 9\pi, d.v.s.
   \frac{5}{36} \cdot 9\pi \mbox{ a.e. }= \frac{5\pi}{4} \mbox{ a.e. }

Exempel 6

1. (x-1)^2 + (y-2)^2 = 9 är ekvationen för en cirkel med medelpunkten i (1,2) och radie \sqrt{9} = 3.
   
   
2. x^2 + (y-1)^2 = 1 kan skriva som (x-0)^2 + (y-1)^2 = 1 och är ekvationen för en cirkel med medelpunkten i (0,1) och radie \sqrt{1} = 1.
   
   
3. (x+1)^2 + (y-3)^2 = 5 kan skrivas som (x-(-1))^2 + (y-3)^2 = 5 och är ekvationen för en cirkel med medelpunkten i (-1,3) och radie \sqrt{5} \approx 2{,}236.

Bild: figur 3.2-12-14

Exempel 7

1. Ligger punkten (1,2) på cirkeln (x-4)^2 +y^2=13?
   
   Stoppar vi in punktens koordinater x=1 och y=2 i cirkelns ekvation har vi att
   \mbox{VL }= (1-4)^2+2^2 =(-3)^2+2^2=9+4=13= \mbox{ HL}\; \mbox{.}
   Eftersom punkten uppfyller cirkelns ekvation ligger punken på cirkeln.
   
   
2. Bestäm ekvationen för cirkeln som har medelpunkt i (3,4) och innehåller punkten (1,0).
   
   Eftersom punkten (1,0) ska ligga på cirkeln måste cirkelns radie vara lika med avståndet från (1,0) till medelpunkten (3,4). Avståndsformlen ger att detta avstånd är
   c=\sqrt{(3-1)^2 + (4-0)^2 }= \sqrt{4 +16} = \sqrt{20} \; \mbox{.}
   Cirkelns ekvation är därför
   (x-3)^2 + (y-4)^2 = 20 \; \mbox{.}

Bild: 3.2.15 och 3.2.16

Exempel 8

Bestäm medelpunkt och radie för den cirkel vars ekvation är x^2 + y^2 – 2x + 4y + 1 = 0.

Vi försöker skriva om cirkelns ekvation på formen

för då kan vi direkt avläsa att medelpunken (a,b) och radien r.

Börja med att kvadratkomplettera termerna som innehåller x i vänsterledet

(de understrukna termerna visar kvadratkompletteringen).

Kvadratkomplettera sedan termerna som innehåller y

Vänsterledet är alltså lika med

och flyttar vi över 4 till högerledet är cirkelns ekvation

Vi avläser att medelpunkten är (1,2) och radien är \sqrt{4}= 2.