Exempel 1

1. Lös ekvationen $x+3=7$
   Subtrahera $3$ från båda led
   $x+3-3=7-3.$
   Vänsterledet förenklas då till $x$ och vi får att
   $x=7-3=4.$
   
   
2. Lös ekvationen $3x=6$.
   Dividera båda led med $3$.
   $\frac{3x}{3} = \frac{6}{3}$
   Efter att ha förkortat bort $3$ i vänsterledet har vi att
   $x=\frac{6}{3} = 2$
   
   
3. Lös ekvationen $2x+1=5$
   Först subtraherar vi båda led med $1$ för att få $2x$ ensamt i vänsterledet.
   $2x+x-1= 5-1$
   $2x=4$
   Sedan dividerar vi båda led med $2$ och får svaret
   $\displaystyle \frac{2x}{2} = \displaystyle{4}{2}$
   $x=2$

Exempel 2

Lös ekvationen$2x-3=5x+7$.

Eftersom $x$ förekommer både i vänster- och högerledet subtraherar vi $2x$ från båda leden

$$2x-3-2x=5x+7-2x$$

och får $x$ samlat i högerledet

$$-3 = 3x+7 \; \mbox{.}$$

Nu subtraherar vi 7 från båda led

$$-3 -7 = 3x +7-7$$

och får $3x$ ensamt kvar i högerledet

$$-10=3x \; \mbox{.}$$

Det sista steget är att dividera båda led med $3$

$$\frac{-10}{3} = \frac{3x}{3}$$

och detta ger att

$$x=-10/3 \; \mbox{.}$$

Exempel 3 Lös ut $x$ från ekvationen $ax+7=3x-b$.

Genom att subtrahera båda led med $3x$

$$ax+7-3x=3x-b-3x$$ $$ax+7-3x=b$$

och sedan med $7$

$$ax+7-3x -7=b-7$$ $$ax-3x=b-7$$

har vi samlat alla termer som innehåller $x$ i vänsterledet och övriga termer i högerledet.

Eftersom termerna i vänsterledet har $x$ som en gemensam faktor kan $x$ brytas ut

$$(3-a)x = 7+b\; \mbox{.}$$

Dividera båda led med $a-3$

$$x= \displaystyle \frac{7+b}{3-a}\; \mbox{.}$$

Exempel 4 Lös ekvationen $(x-3)^2+3x^2=(2x+7)^2$.

Utveckla kvadratuttrycken i båda leden

$$x^2-6x+9+3x^2=4x^2+28x+49$$ $$4x^2-6x+9=4x^2+28x+49$$

Subtrahera med $4x^2$ från båda leden

$$-6x +9 = 28x +49\; \mbox{.}$$

Addera $6x$ till båda led

$$9 = 43x +49\; \mbox{.}$$

Subtrahera $49$ från båda led

$$-40=34x\; \mbox{.}$$

Dividera båda led med $34$

$$x=\displaystyle \frac{-40}{34}= -\displaystyle \frac{20}{17}\; \mbox{.}$$

Exempel 5

Lös ekvationen $\displaystyle \frac{x+2}{x^2+x}=\displaystyle \frac{3}{2+3x}$.

Flytta över båda termerna i ena ledet

$$\displaystyle \frac{x+2}{x^2+x}-\displaystyle \frac{3}{2+3x}= 0\; \mbox{.}$$

Förläng termerna så att de får samma nämnare

$$\displaystyle \frac{x+2(2+3x)}{x^2+x(2+3x)}-\displaystyle \frac{3(x^2+x)}{2+3x(x^2+x)}= 0$$

och förenkla täljaren

$$\displaystyle \frac{x+2(2+3x)-3(x^2+x)}{x^2+x(2+3x)} = 0$$

$$\displaystyle \frac{3x^2+8x+4-(3x^2+3x)}{x^2+x(2+3x)} = 0$$

$$\displaystyle \frac{5x +4}{x^2+x(2+3x)} = 0$$

Denna ekvation är uppfylld bara när täljaren är lika med noll

$$5x+4=0$$

vilket ger att $x=-\displaystyle \frac{5}{4}$.

Exempel 6

1. Skissera linjen $y=2x-1$.
   Jämför vi linjens ekvation med $y=kx+m$ så ser vi att $k=2$ och $m=-1$. Detta betyder att linjens riktningskoefficient är $2$ och att den skär $y$-axeln i punkten $(0,1)$. Se figuren till vänster nedan.
   
2. Skissera linjen $y=2-\displaystyle \frac{1}{2}x$.
   Linjens ekvation kan skrivas som $y= -\frac{1}{2}x + 2$ och då ser vi att dess riktningskoefficient är $k= -\frac{1}{2}$ och att $m=2$. Se figur nedan till höger.

Bild: figur 3.1.3a och figur 3.1.4a

Exempel 7

Vilken riktningskoefficient har den räta linje som går genom punkterna $(2,1)$ och $(5,3)$?

Ritar vi upp punkterna och linjen i ett koordinatsystem så ser vi att $5-2=3$ steg i $x$-led motsvarar $3-1=2$ steg i $y$-led på linjen. Det betyder att $1$ steg i $x$-led måste motsvara $k=\frac{3-1}{5-2}= \frac{2}{3}$ steg i $y$-led. Alltså är linjens riktningskoeffivient $k= \frac{2}{3}$.

Bild: figur 3.1.5a och 3.1.6a

Exempel 8

1. Linjerna $y=3x-1$ och $y=3x+5$ är parallella
2. Linjerna $y=x+1$ och $y=2-x$ är vinkelräta

Exempel 9

1. Skriv linjen $y=5x+7$ i formen $ax+by=c$.
   Flytta över $x$-termen till vänsterledet $$-5x+y=7\;\mbox{.}$$
2. Skriv linjen $2x+3y=-1$ i formen $y=kx+m$.
   Flytta över $x$-termen i högerledet $$3y=5x+7$$ och dela båda led med $3$ $$y=\frac{5}{3}x + \frac{7}{3} \; \mbox{.}$$

Exempel 10

1. Skissera området i $x,y$-planet som uppfyller $y\ge2$.
   Området ges av alla punkter $(x,y)$ vars $y$-koordinat är $2$ eller större, d.v.s. alla punkter på eller ovanför linjen $y=2$
   
2. Skissera området i $x,y$-planet som uppfyller $y<x$.
   En punkt $(x,y)$ som uppfyller olikheten $y<x$ har en $x$-koordinat som är större än dess $y$-koordinat. Området består alltså av alla punkter till höger om linjen $y=x$.
   Bild: figur 3.1.4c
   Bildtext: Att linjen $y=x$ är streckad betyder att punkterna på linjen inte tillhör det grågrönfärgade området.

Exempel 11

Skissera området i $x,y$-planet som uppfyller $2 \le 3x+2y\le 4$.

Den dubbla olikheten kan delas upp i två olikheter

$$3x+2y \ge 2 \quad \mbox{och} \quad 3x+2y\le4 \;\mbox{.}$$

Flyttar vi över $x$-termerna till högerledet och delar båda led med $2$ får vi

$$y \ge 1-\frac{3}{2}x \quad \mbox{och} \quad y\le 2-\frac{3}{2}x \;\mbox{.}$$

De punkter som uppfyller den första olikheten ligger på och ovanför linjen $y \ge 1-\frac{3}{2}x$ medan de punkter som uppfyller den andra olikheten ligger på eller under linjen $y\le 2-\frac{3}{2}x$.

Bild: figur 3.1.1c och 3.1.2c

Punkter som uppfyller båda olikheterna tillhör den bandformade område som de gråa områdena ovan har gemensamt.

Bild: figur 3.1.3c

Exempel 12

Om vi ritar upp linjerna $ y=x, y=-x \mbox{ och } y=2 $ så begränsar dessa linjer en triangel, i koordinatsystemet.

Vi upptäcker att för att en punkt skall ligga i denna triangel så måste vi sätta en del krav på den.

Vi ser att dess $y$-koordinat måste vara mindre än $2$. Samtidigt ser vi att triangeln nedåt begränas av $ y=0$.

$y$-koordinaten måste således ligga i intervallet $ 0\le y\le2$.

För $x$-koordinaten blir det lite mer komplicerat. Vi ser att $x$-koordinaten måste ligga ovanför linjerna $y=-x \mbox{ och } y=x$. Vi ser att detta är uppfyllt då $-y\le x\le y$.

Eftersom vi redan har begränsningar för $y$-koordinaten så ser vi att $x$ inte kan vara större än $2$ och mindre än $-2$ automatiskt.

Vi ser att basen i triangeln blir $4$ längdenheter och höjden $2$ längdenheter.

Arean av denna triangel blir alltså $ 4\cdot 2/2=4$areaenheter.