3.4 Logaritmekvationer

Sommarmatte 1

(Skillnad mellan versioner)
Hoppa till: navigering, sök
Versionen från 20 april 2007 kl. 12.47 (redigera)
Lina (Diskussion | bidrag)

← Gå till föregående ändring		 Versionen från 20 april 2007 kl. 12.58 (redigera) (ogör)
Lina (Diskussion | bidrag)

Gå till nästa ändring →
Rad 88: Rad 88:
 +I många praktiska tillämpningar rörande exponentiell tillväxt eller avtagande dyker det upp
 +ekvationer av typen
 +<div class="regel">
 +$$a^x = b$$
 +</div>
 +där $a$ och $b$ är positiva tal. Dessa l&ouml;ses enklast genom att ta logaritmen av b&aring;da led
-Ibland m&aring;ste man anv&auml;nda logaritmlagarna f&ouml;r att f&ouml;renkla ett +$$\lg a^x = \lg b$$
-ekvationsuttryck, vilket f&ouml;ljande exempel visar:+ 
 +och anv&aring;nda logaritmlagen för potenser
 + 
 +$$x \cdot \lg a = \lg b$$
 + 
 +Vilket ger l&ouml;sningen $x = \displaystyle \frac{\lg b}{\lg a} $.
Rad 106: Rad 117:
$ $
-\mbox{ a) } \lg x + \lg 2 = 2+\mbox{ a) } 3^x = 20
$ $
Rad 114: Rad 125:
$ $
-\lg 2x = 2+\lg 3^x = \lg 20
$ $
$ $
-2x = 10^2 = 100+x \cdot \lg 3 = \lg 20
$ $
$ $
-x = 50+x = \displaystyle \frac{\lg 20}{\lg 3} \;\;\;\;\; (\approx 2,727)
$ $
Rad 130: Rad 141:
$ $
-\mbox{ b) } 2 \ln x - \ln 2x = 4+\mbox{ b) } 5000 \cdot 1,05^x = 10 \: 000
$ $
Rad 138: Rad 149:
$ $
-\ln x^2 - \ln 2x = 4+1,05^x = \displaystyle \frac{ 10 \: 000}{5000} = 2
$ $
$ $
-\ln \displaystyle \frac{x^2}{2x} = \ln \displaystyle \frac{x}{2} = 4+\lg 1,05^x = \lg 2
$ $
$ $
-\displaystyle \frac{x}{2} = e^4+x \cdot \lg 1,05 = \lg 2
$ $
$ $
-x = 2 \cdot e^4+x = \displaystyle \frac{\lg 2}{\lg 1,05} \;\;\;\;\; (\approx 14,2)
$ $
Rad 159: Rad 170:
$ $
-\mbox{ c) } \lg x + 3 \lg 2 = 2 \lg 12+\mbox{ c) } 2^x \cdot 3^x = 5
$ $
Rad 167: Rad 178:
$ $
-\lg x = 2 \lg 12 - 3 \lg 2 = \lg 12^2 - \lg 2^3 = \lg \displaystyle \frac{12^2}{2^3} = \lg \displaystyle \frac{144}{8} = \lg 18+(2 \cdot 3)^x = 5
$ $
$ $
-x = 18+6^x = 5
$ $
- +
- +
$ $
-\mbox{ d) } 3 \ln 2 - 2 \ln 5 + \ln 2x = 0+\lg 6^x = \lg 5
$ $
-'''L&ouml;sning:'''+$
 +x \cdot \lg 6 = \lg 5
 +$
$ $
-\ln 2x = 2 \ln 5 - 3 \ln 2 = \ln 5^2 - \ln 2^3 = \ln \displaystyle \frac{5^2}{2^3} = \ln \displaystyle \frac{25}{8}+x = \displaystyle \frac{\lg 5}{\lg 6}
$ $
- + 
 +
$ $
-2x = \displaystyle \frac{25}{8}+\mbox{ d) } 5^{2x + 1} = 3^{5x}
$ $
 +
 +
 +'''L&ouml;sning:'''
$ $
-x = \displaystyle \frac{25}{16}+\lg 5^{2x + 1} = \lg 3^{5x}
$ $
- 
-</div> 
- 
-===Ekvationen $a^x = b$ === 
-I m&aring;nga praktiska till&auml;mpningar r&ouml;rande exponentiell tillv&auml;xt eller avtagande dyker det upp  
-ekvationer av typen $ a^x = b$ (där ''a'' och ''b'' är positiva tal)$.  
-Den l&ouml;ses enklast genom att ta logaritmen av b&aring;da leden och utnyttja en potenslag: 
-  
$ $
- a^x = b+(2x+1)\lg 5 = 5x \cdot \lg 3
$ $
-$\lg a^x = \lg b \;\;\;\;\; $ (logaritmera båda leden) +$
 +2x \cdot \lg 5 + \lg 5 = 5x \cdot \lg 3
 +$
-$x \cdot \lg a = \lg b \;\;\;\;\; $ (potenslag) +$\lg 5 = x (5 \lg 3 -2 \lg 5)$
-$x = \displaystyle \frac{\lg b}{\lg a} $+$x = \displaystyle \frac{\lg 5}{5 \lg 3 -2 \lg 5}$
 + 
 +</div>
 + 
 + 
 +Ibland m&aring;ste man anv&auml;nda logaritmlagarna f&ouml;r att f&ouml;renkla ett
 +ekvationsuttryck, vilket f&ouml;ljande exempel visar:
Rad 235: Rad 251:
$ $
-\mbox{ a) } 3^x = 20+\mbox{ a) } \lg x + \lg 2 = 2
$ $
Rad 243: Rad 259:
$ $
-\lg 3^x = \lg 20+\lg 2x = 2
$ $
$ $
-x \cdot \lg 3 = \lg 20+2x = 10^2 = 100
$ $
$ $
-x = \displaystyle \frac{\lg 20}{\lg 3} \;\;\;\;\; (\approx 2,727)+x = 50
$ $
Rad 259: Rad 275:
$ $
-\mbox{ b) } 5000 \cdot 1,05^x = 10 \: 000+\mbox{ b) } 2 \ln x - \ln 2x = 4
$ $
Rad 267: Rad 283:
$ $
-1,05^x = \displaystyle \frac{ 10 \: 000}{5000} = 2+\ln x^2 - \ln 2x = 4
$ $
$ $
-\lg 1,05^x = \lg 2+\ln \displaystyle \frac{x^2}{2x} = \ln \displaystyle \frac{x}{2} = 4
$ $
$ $
-x \cdot \lg 1,05 = \lg 2+\displaystyle \frac{x}{2} = e^4
$ $
$ $
-x = \displaystyle \frac{\lg 2}{\lg 1,05} \;\;\;\;\; (\approx 14,2)+x = 2 \cdot e^4
$ $
Rad 288: Rad 304:
$ $
-\mbox{ c) } 2^x \cdot 3^x = 5+\mbox{ c) } \lg x + 3 \lg 2 = 2 \lg 12
$ $
Rad 296: Rad 312:
$ $
-(2 \cdot 3)^x = 5+\lg x = 2 \lg 12 - 3 \lg 2 = \lg 12^2 - \lg 2^3 = \lg \displaystyle \frac{12^2}{2^3} = \lg \displaystyle \frac{144}{8} = \lg 18
$ $
$ $
-6^x = 5+x = 18
-$+
- +
- +
-$+
-\lg 6^x = \lg 5+
-$+
- +
- +
-$+
-x \cdot \lg 6 = \lg 5+
-$+
- +
- +
-$+
-x = \displaystyle \frac{\lg 5}{\lg 6}+
$ $
Rad 322: Rad 323:
$ $
-\mbox{ d) } 5^{2x + 1} = 3^{5x}+\mbox{ d) } 3 \ln 2 - 2 \ln 5 + \ln 2x = 0
$ $
Rad 330: Rad 331:
$ $
-\lg 5^{2x + 1} = \lg 3^{5x}+\ln 2x = 2 \ln 5 - 3 \ln 2 = \ln 5^2 - \ln 2^3 = \ln \displaystyle \frac{5^2}{2^3} = \ln \displaystyle \frac{25}{8}
$ $
$ $
-(2x+1)\lg 5 = 5x \cdot \lg 3+2x = \displaystyle \frac{25}{8}
$ $
$ $
-2x \cdot \lg 5 + \lg 5 = 5x \cdot \lg 3+x = \displaystyle \frac{25}{16}
$ $
- +</div>
-$\lg 5 = x (5 \lg 3 -2 \lg 5)$+
-  
-$x = \displaystyle \frac{\lg 5}{5 \lg 3 -2 \lg 5}$ 
- 
-</div> 

Versionen från 20 april 2007 kl. 12.58

3.4 Logaritmekvationer

Innehåll:

  • alt 1
  • alt 2

Övningar


$$ fristående formel dubbla dollar $$

teori igen

Viktig regel: $$dubbeldollar$$

Exempel 1

Exempeltext, använd nedanstående numrering

  1. $matte$
  2. text

Grundekvationer

Ekvationer där logaritmer behövs eller är inblandade förekommer i många olika fall. Först ges några exempel där lösningen ges nästan direkt genom definitionen av logaritm, dvs.

$$10^x = y \Leftrightarrow x = \lg y$$ $$e^x = y \Leftrightarrow x = \ln y$$


(Vi använder oss här enbart av 10-logaritmer eller naturliga logaritmer)


Exempel 1

Lös ekvationerna

  1. $10^x = 537 \quad \quad$ som har lösningen $x = \lg 537$.

  2. $10^{5x} = 537 \quad \quad$ ger att $5x= \lg 537$ , d.v.s. $x= \displaystyle \frac{1}{5} \lg 537$

  3. $\displaystyle \frac{3}{e^x} = 5 \quad \quad$ Lösning:
    Multiplicerar båda led med $e^x$
    $$3=5e^x \; \mbox{.}$$
    Dividera båda led med $5$
    $$\frac{3}{5} = e^x$$
    vilket ger att $x=\ln \frac{3}{5}$.

  4. $(\sqrt{10})^x = 25 \quad $ Lösning:
    Eftersom $\sqrt{10} = 10^{1/2}$ är vänsterledet lika med $(\sqrt{10})^x = (10^{1/2})^x = 10^{x/2}$ och ekvationen lyder
    $$10^{x/2} = 25$$
    Lösningen är $\displaystyle \frac{x}{2} = \lg 25, $ d.v.s. $x= 2 \lg 25$.

  5. $\lg x = 3 \quad \quad \quad$ Definitionen ger direkt att $x=10^3 = 1000$.

  6. $\lg(2x-4) = 2 \quad$ Lösning:
    Från definitionen har vi att.
    $$2x-4 = 10^2 = 100$$
    och då följer att $x = 52$.

  7. $\displaystyle \frac{3 \ln 2x}{2} + 1 = \displaystyle \frac{1}{2}\quad$ Lösning:
    Multiplicerar båda led med $2$ och subtrahera sedan $2$ från båda led
    $$ 3 \ln 2x = -1$$
    Dividera båda led med $3$
    $$ \ln 2x = -\displaystyle \frac{1}{3} $$
    Nu ger definitionen direkt att $2x = e^{-1/3}$, vilket betyder att
    $$ x = \displaystyle \frac{1}{2} e^{-1/3} = \displaystyle \frac{1}{2e^{1/3}} $$


I många praktiska tillämpningar rörande exponentiell tillväxt eller avtagande dyker det upp ekvationer av typen

$$a^x = b$$

där $a$ och $b$ är positiva tal. Dessa löses enklast genom att ta logaritmen av båda led

$$\lg a^x = \lg b$$

och anvånda logaritmlagen för potenser

$$x \cdot \lg a = \lg b$$

Vilket ger lösningen $x = \displaystyle \frac{\lg b}{\lg a} $.


Exempel 1

Exempeltext, använd nedanstående numrering

  1. $matte$
  2. text

Lös ekvationen


$ \mbox{ a) } 3^x = 20 $


Lösning:


$ \lg 3^x = \lg 20 $


$ x \cdot \lg 3 = \lg 20 $


$ x = \displaystyle \frac{\lg 20}{\lg 3} \;\;\;\;\; (\approx 2,727) $


$ \mbox{ b) } 5000 \cdot 1,05^x = 10 \: 000 $


Lösning:


$ 1,05^x = \displaystyle \frac{ 10 \: 000}{5000} = 2 $


$ \lg 1,05^x = \lg 2 $


$ x \cdot \lg 1,05 = \lg 2 $


$ x = \displaystyle \frac{\lg 2}{\lg 1,05} \;\;\;\;\; (\approx 14,2) $


$ \mbox{ c) } 2^x \cdot 3^x = 5 $


Lösning:


$ (2 \cdot 3)^x = 5 $


$ 6^x = 5 $


$ \lg 6^x = \lg 5 $


$ x \cdot \lg 6 = \lg 5 $


$ x = \displaystyle \frac{\lg 5}{\lg 6} $


$ \mbox{ d) } 5^{2x + 1} = 3^{5x} $


Lösning:


$ \lg 5^{2x + 1} = \lg 3^{5x} $


$ (2x+1)\lg 5 = 5x \cdot \lg 3 $


$ 2x \cdot \lg 5 + \lg 5 = 5x \cdot \lg 3 $


$\lg 5 = x (5 \lg 3 -2 \lg 5)$


$x = \displaystyle \frac{\lg 5}{5 \lg 3 -2 \lg 5}$


Ibland måste man använda logaritmlagarna för att förenkla ett ekvationsuttryck, vilket följande exempel visar:


Exempel 1

Exempeltext, använd nedanstående numrering

  1. $matte$
  2. text

Lös ekvationen


$ \mbox{ a) } \lg x + \lg 2 = 2 $


Lösning:


$ \lg 2x = 2 $


$ 2x = 10^2 = 100 $


$ x = 50 $


$ \mbox{ b) } 2 \ln x - \ln 2x = 4 $


Lösning:


$ \ln x^2 - \ln 2x = 4 $


$ \ln \displaystyle \frac{x^2}{2x} = \ln \displaystyle \frac{x}{2} = 4 $


$ \displaystyle \frac{x}{2} = e^4 $


$ x = 2 \cdot e^4 $


$ \mbox{ c) } \lg x + 3 \lg 2 = 2 \lg 12 $


Lösning:


$ \lg x = 2 \lg 12 - 3 \lg 2 = \lg 12^2 - \lg 2^3 = \lg \displaystyle \frac{12^2}{2^3} = \lg \displaystyle \frac{144}{8} = \lg 18 $


$ x = 18 $


$ \mbox{ d) } 3 \ln 2 - 2 \ln 5 + \ln 2x = 0 $


Lösning:


$ \ln 2x = 2 \ln 5 - 3 \ln 2 = \ln 5^2 - \ln 2^3 = \ln \displaystyle \frac{5^2}{2^3} = \ln \displaystyle \frac{25}{8} $


$ 2x = \displaystyle \frac{25}{8} $


$ x = \displaystyle \frac{25}{16} $


Även ekvationer som innehåller exponential- eller logaritmuttryck kan ibland behandlas som förstagradsekvationer, genom att betrakta "$\ln{(x)}$" eller "$e^x$" som en variabel. Man kan också om man vill substituera genom att sätta $\ln(x)=t$ eller $e^x=t$. (Man måste dock kolla så att inte detta värde gör att någon nämnare i den ursprungliga ekvationen blir 0.)

Exempel 1

Lös ekvationen $\ln(x^3) + 2 \ln\left( \displaystyle \displaystyle \frac{1}{x}\right) = 3$

$ 3\ln(x) + 2\cdot(-1)\ln(x)=3 $

$ \ln(x) = 3 $

vilket ger

$ x=e^3 $

Exempel 1

Lös ekvationen $ \displaystyle \displaystyle \frac{6e^x}{3e^x+1}=\displaystyle \displaystyle \frac{5}{e^{-x}+2}$

$ 6e^x(e^{-x}+2) = 5(3e^x+1) $

$ 6+12e^x = 15e^x+5 $

$ 1=3e^x $

$ e^x=\displaystyle \displaystyle \frac{1}{3} $

$ x=\ln{\displaystyle \displaystyle \frac{1}{3}}=-\ln(3) $




I följande exempel kan man få en förstagradsekvation genom att logaritmera bägge leden i ekvationen. När vi logaritmerar blir exponenter faktorer, enligt logaritmlagen $ \ln (a^b) = b \ln (a) $.

Exempel 1

Lös ekvationen $ 3 \cdot 2^x=e^x $

$ \ln(3) + \ln(2^x) = \ln(e^x) $

$ \ln(3) + x \ln(2) =x \ln(e) $

$ \ln(3) + x \ln(2) = x $

$ \ln(3) = (1-\ln(2))x $

$ x=\displaystyle \displaystyle \frac{\ln(3)}{1-\ln(2)} $


Råd för inläsning


Tänk på att:

Du kan behöva lägga ner mycket tid på logaritmer.

Logaritmer brukar behandlas översiktligt i gymnasiet. Därför brukar många högskolestudenter stöta på problem när det gäller att räkna med logaritmer.


Lästips

för dig som vill fördjupa dig ytterligare eller behöver en längre förklaring

Läs mer om logaritmer på engelska Wikipedia

Läs mer om Talet e i The MacTutor History of Mathematics archive


Länktips

Experimentera med logaritmer och potenser

Spela logaritm Memory

Hjälp grodan hoppa till sitt näckrosblad i "log"-spelet



Råd för inläsning


Tänk på att:

Det är speciellt viktigt att kunna använda de fyra räknesätten, parenteser och potenser korrekt när man räknar med symboler (x, y, a, b, ...).

Det är också viktigt att kunna förenkla symboluttryck och skriva dessa i olika former. Speciellt rationella uttryck, dvs. uttryck med variabler där man har en täljare och en nämnare.


Lästips

för dig som vill fördjupa dig ytterligare eller behöver en längre förklaring

Understanding Algebra - engelsk bok på nätet för högskoleförberedande studier


Länktips

Träna mer på ekvationer, blandade exempel från Theducation

Träna på och läs om ekvationer i Theducations gymnasielexikon

© Copyright 2006, KTH Matematik




Den här artikeln är hämtad från http://wiki.math.se/wikis/sf0600_0701/index.php/3.4_Logaritmekvationer
Personliga verktyg