3.4 Logaritmekvationer
Sommarmatte 1
|
Innehåll:
Lärandemål: Efter detta avsnitt ska du ha lärt dig att:
|
|
[redigera] GrundekvationerEkvationer där logaritmer behövs eller är inblandade förekommer i många olika fall. Först ges några exempel där lösningen ges nästan direkt genom definitionen av logaritm, dvs. \eqalign{10^x = y\quad&\Leftrightarrow\quad x = \lg y\cr e^x = y\quad&\Leftrightarrow\quad x = \ln y\cr}
(Vi använder oss här enbart av 10-logaritmer eller naturliga logaritmer.) Exempel 1 Lös ekvationerna
Exempel 2
I många praktiska tillämpningar rörande exponentiell tillväxt eller avtagande dyker det upp ekvationer av typen a^x = b\,\mbox{,}
där \,a\, och \,b\, är positiva tal. Dessa ekvationer löses enklast genom att ta logaritmen för båda led
\lg a^x = \lg b
och använda logaritmlagen för potenser x \cdot \lg a = \lg b
vilket ger lösningen \ x = \displaystyle \frac{\lg b}{\lg a}\,.
Exempel 3
Exempel 4
[redigera] Några mer komplicerade ekvationerEkvationer som innehåller exponential- eller logaritmuttryck kan ibland behandlas som förstagrads- eller andragradsekvationer genom att betrakta "\ln x" eller "e^x" som obekant.
Exempel 5 Lös ekvationen \ \displaystyle \frac{6e^x}{3e^x+1}=\frac{5}{e^{-x}+2}\,.
6e^x(e^{-x}+2) = 5(3e^x+1)\,\mbox{.}
Notera att eftersom \,e^x\, och \,e^{-x}\, alltid är positiva oavsett värdet på \,x\, så multiplicerar vi alltså ekvationen med faktorer \,3e^x+1\, och \,e^{-x} +2\, som är skilda från noll, så detta steg riskerar inte att introducera nya (falska) rötter till ekvationen. Förenkla båda led 6+12e^x = 15e^x+5\,\mbox{,}
där vi använt att \,e^{-x} \cdot e^x = e^{-x + x} = e^0 = 1\,. Betraktar vi nu \,e^x\, som obekant är ekvationen väsentligen en förstagradsekvation som har lösningen
e^x=\frac{1}{3}\,\mbox{.}
En logaritmering ger sedan svaret x=\ln\frac{1}{3}= \ln 3^{-1} = -1 \cdot \ln 3 = -\ln 3\,\mbox{.}
Exempel 6 Lös ekvationen \ \displaystyle \frac{1}{\ln x} + \ln\frac{1}{x} = 1\,.
\frac{1}{\ln x} - \ln x = 1\,\mbox{,}
där vi kan betrakta \,\ln x\, som en ny obekant. Multiplicerar vi båda led med \,\ln x\, (som är skild från noll när \,x \neq 1\,) får vi en andragradsekvation i \,\ln x
1 - (\ln x)^2 = \ln x\,\mbox{,}
(\ln x)^2 + \ln x - 1 = 0\,\mbox{.}
Kvadratkomplettering av vänsterledet \eqalign{\textstyle (\ln x)^2 + \ln x -1 &= \bigl( \ln x + \frac{1}{2} \bigr)^2 - \bigl(\frac{1}{2} \bigr)^2 - 1\cr &= \bigl( \ln x + \frac{1}{2} \bigr)^2 - \frac{5}{4}\cr}
följt av rotutdragning ger att \ln x = -\frac{1}{2} \pm \frac{\sqrt{5}}{2} \,\mbox{.}
Detta betyder att ekvationen har två lösningar x= e^{(-1 + \sqrt{5})/2} \quad \mbox{och} \quad x= e^{-(1+\sqrt{5})/2}\,\mbox{.} [redigera] Falska rötterNär man löser ekvationer gäller det också att tänka på att argument till logaritmer måste vara positiva och att uttryck av typen \,e^{(\ldots)}\, bara kan anta positiva värden. Risken är annars att man får med falska rötter.
Exempel 7 Lös ekvationen \ \ln(4x^2 -2x) = \ln (1-2x)\,.
4x^2 - 2x = 1 - 2x , \quad \quad \quad \quad (*)
och dessutom positiva. Vi löser ekvationen (*) genom att flytta över alla termer i ena ledet 4x^2 - 1= 0
och använder rotutdragning. Detta ger att \textstyle x= -\frac{1}{2} \quad \mbox{och} \quad x= \frac{1}{2} \; \mbox{.}
Vi kontrollerar nu om båda led i (*) är positiva
Alltså har logaritmekvationen bara en lösning \,x= -\frac{1}{2}\,. Exempel 8 Lös ekvationen \ e^{2x} - e^{x} = \frac{1}{2}\,.
(e^x)^2 - e^x = \textstyle\frac{1}{2}\,\mbox{.}
Ekvationen kan vara lite enklare att hantera om vi skriver \,t\, istället för \,e^x\,, t^2 -t = \textstyle\frac{1}{2}\,\mbox{.}
Kvadratkomplettera vänsterledet \eqalign{\textstyle \bigl(t-\frac{1}{2}\bigr)^2 - \bigl(\frac{1}{2}\bigr)^2 &= \frac{1}{2}\,\mbox{,}\cr \bigl(t-\frac{1}{2}\bigr)^2 &= \frac{3}{4}\,\mbox{,}\cr}
vilket ger lösningarna t=\frac{1}{2} - \frac{\sqrt{3}}{2} \quad \mbox{och} \quad t=\frac{1}{2} + \frac{\sqrt{3}}{2} \, \mbox{.}
Eftersom \,\sqrt3 > 1\, så är \,\frac{1}{2}-\frac{1}{2}\sqrt3 <0\, och det är bara \,t= \frac{1}{2}+\frac{1}{2}\sqrt3\, som ger en lösning till den ursprungliga ekvationen eftersom \,e^x\, alltid är positiv. Logaritmering ger slutligen att x = \ln \Bigl(\,\frac{1}{2}+\frac{\sqrt3}{2}\,\Bigr)
är den enda lösningen till ekvationen.
Råd för inläsning Grund- och slutprov Efter att du har läst texten och arbetat med övningarna ska du göra grund- och slutprovet för att bli godkänd på detta avsnitt. Du hittar länken till proven i din student lounge.
Du kan behöva lägga ner mycket tid på logaritmer. Logaritmer brukar behandlas översiktligt i gymnasiet. Därför brukar många högskolestudenter stöta på problem när det gäller att räkna med logaritmer.
|
|
