4.3 Övningar

Sommarmatte 1

(Skillnad mellan versioner)

Hoppa till: navigering, sök

Nuvarande version

Innehåll

1 Övning 4.3:1
2 Övning 4.3:2
3 Övning 4.3:3
4 Övning 4.3:4
5 Övning 4.3:5
6 Övning 4.3:6
7 Övning 4.3:7
8 Övning 4.3:8
9 Övning 4.3:9

[redigera] Övning 4.3:1

Bestäm de vinklar $\,v\,$ mellan $\,\displaystyle \frac{\pi}{2}\,$ och $\,2\pi\,$ som uppfyller

$\cos{v}=\cos{\displaystyle \frac{\pi}{5}}$

$\sin{v}=\sin{\displaystyle \frac{\pi}{7}}$

$\tan{v}=\tan{\displaystyle \frac{2\pi}{7}}$

Facit

Facit till alla delfrågor

$v = \displaystyle \frac{9\pi}{5}$

$v = \displaystyle \frac{6\pi}{7}$

$v = \displaystyle \frac{9\pi}{7}$

Lösning a)

Lösning till delfråga a)

Lösning b)

Lösning till delfråga b)

Lösning c)

Lösning till delfråga c)

[redigera] Övning 4.3:2

Bestäm de vinklar $\,v\,$ mellan 0 och $\,\pi\,$ som uppfyller

a)	$\cos{v} = \cos{\displaystyle \frac{3\pi}{2}}$	b)	$\cos{v} = \cos{ \displaystyle \frac{7\pi}{5}}$

Facit

Facit till alla delfrågor

a)	$v=\displaystyle \frac{\pi}{2}$	b)	$v=\displaystyle \frac{3\pi}{5}$

Lösning a)

Lösning till delfråga a)

Lösning b)

Lösning till delfråga b)

[redigera] Övning 4.3:3

Antag att $\,-\displaystyle \frac{\pi}{2} \leq v \leq \displaystyle \frac{\pi}{2}\,$ och att $\,\sin{v} = a\,$. Uttryck med hjälp av $\,a$

a)	$\sin{(-v)}$	b)	$\sin{(\pi-v)}$
c)	$\cos{v}$	d)	$\sin{\left(\displaystyle \frac{\pi}{2}-v\right)}$
e)	$\cos{\left( \displaystyle \frac{\pi}{2} + v\right)}$	f)	$\sin{\left( \displaystyle \frac{\pi}{3} + v \right)}$

Facit

Facit till alla delfrågor

a)	$-a$	b)	$a$
c)	$\sqrt{1-a^2}$	d)	$\sqrt{1-a^2}$
e)	$-a$	f)	$\displaystyle \frac{\sqrt{3}}{2}\sqrt{1-a^2}+\displaystyle \frac{1}{2}\cdot a $

Lösning a)

Lösning till delfråga a)

Lösning b)

Lösning till delfråga b)

Lösning c)

Lösning till delfråga c)

Lösning d)

Lösning till delfråga d)

Lösning e)

Lösning till delfråga e)

Lösning f)

Lösning till delfråga f)

[redigera] Övning 4.3:4

Antag att $\,0 \leq v \leq \pi\,$ och att $\,\cos{v}=b\,$. Uttryck med hjälp av $\,b\,$

a)	$\sin^2{v}$	b)	$\sin{v}$
c)	$\sin{2v}$	d)	$\cos{2v}$
e)	$\sin{\left( v+\displaystyle \frac{\pi}{4} \right)}$	f)	$\cos{\left( v-\displaystyle \frac{\pi}{3} \right)}$

Facit

Facit till alla delfrågor

a)	$1-b^2$	b)	$\sqrt{1-b^2}$
c)	$2b\sqrt{1-b^2}$	d)	$2b^2-1$
e)	$\sqrt{1-b^2}\cdot\displaystyle \frac{1}{\sqrt{2}} + b\cdot \displaystyle \frac{1}{\sqrt{2}} $	f)	$b\cdot\displaystyle \frac{1}{2}+\sqrt{1-b^2}\cdot\displaystyle \frac{\sqrt{3}}{2}$

Lösning a)

Lösning till delfråga a)

Lösning b)

Lösning till delfråga b)

Lösning c)

Lösning till delfråga c)

Lösning d)

Lösning till delfråga d)

Lösning e)

Lösning till delfråga e)

Lösning f)

Lösning till delfråga f)

[redigera] Övning 4.3:5

För en spetsig vinkel $\,v\,$ i en triangel gäller att $\,\sin{v}=\displaystyle \frac{5}{7}\,$. Bestäm $\,\cos{v}\,$ och $\,\tan{v}\,$.

Facit

$\cos{v}=\displaystyle \frac{2\sqrt{6}}{7}\quad$ och $\quad\tan{v}=\displaystyle \frac{5}{2\sqrt{6}}\,$.

Lösning

[redigera] Övning 4.3:6

a)	Bestäm $\ \sin{v}\ $ och $\ \tan{v}\ $ om $\ \cos{v}=\displaystyle \frac{3}{4}\ $ och $\ \displaystyle \frac{3\pi}{2} \leq v \leq 2\pi\,$.
b)	Bestäm $\ \cos{v}\ $ och $\ \tan{v}\ $ om $\ \sin{v}=\displaystyle \frac{3}{10}\ $ och $\,v\,$ ligger i den andra kvadranten.
c)	Bestäm $\ \sin{v}\ $ och $\ \cos{v}\ $ om $\ \tan{v}=3\ $ och $\ \pi \leq v \leq \displaystyle \frac{3\pi}{2}\,$.

Facit

Facit till alla delfrågor

a)	$\sin{v}=-\displaystyle \frac{\sqrt{7}}{4}\quad$ och $\quad\tan{v}=-\displaystyle \frac{\sqrt{7}}{3}\,$.

b)	$\cos{v}=-\displaystyle \frac{\sqrt{91}}{10}\quad$ och $\quad\tan{v}=-\displaystyle \frac{3}{\sqrt{91}}\,$.

c)	$\sin{v}=-\displaystyle \frac{3}{\sqrt{10}}\quad$ och $\quad\cos{v}=-\displaystyle \frac{1}{\sqrt{10}}\,$.

Lösning a)

Lösning till delfråga a)

Lösning b)

Lösning till delfråga b)

Lösning c)

Lösning till delfråga c)

[redigera] Övning 4.3:7

Bestäm $\ \sin{(x+y)}\ $ om

a)	$\sin{x}=\displaystyle \frac{2}{3}\,$, $\ \sin{y}=\displaystyle \frac{1}{3}\ $ och $\,x\,$, $\,y\,$ är vinklar i första kvadranten.
b)	$\cos{x}=\displaystyle \frac{2}{5}\,$, $\ \cos{y}=\displaystyle \frac{3}{5}\ $ och $\,x\,$, $\,y\,$ är vinklar i första kvadranten.

Facit

Facit till alla delfrågor

a)	$\sin{(x+y)}=\displaystyle \frac{4\sqrt{2}+\sqrt{5}}{9}$
b)	$\sin{(x+y)}=\displaystyle \frac{3\sqrt{21}+8}{25}$

Lösning a)

Lösning till delfråga a)

Lösning b)

Lösning till delfråga b)

[redigera] Övning 4.3:8

Visa följande trigonometriska samband

a)	$\tan^2v=\displaystyle\frac{\sin^2v}{1-\sin^2v}$
b)	$\displaystyle \frac{1}{\cos v}-\tan v=\frac{\cos v}{1+\sin v}$
c)	$\tan\displaystyle\frac{u}{2}=\frac{\sin u}{1+\cos u}$
d)	$\displaystyle\frac{\cos (u+v)}{\cos u \cos v}= 1- \tan u \tan v$

Lösning a)

Lösning till delfråga a)

Lösning b)

Lösning till delfråga b)

Lösning c)

Lösning till delfråga c)

Lösning d)

Lösning till delfråga a)

[redigera] Övning 4.3:9

Visa "Feynmans likhet" $$\cos 20^\circ \cdot \cos 40^\circ \cdot \cos 80^\circ = \displaystyle\frac{1}{8}\,\mbox{.}$$ (Ledtråd: Använd formeln för dubbla vinkeln på $\,\sin 160^\circ\,$.)

Lösning

Den här artikeln är hämtad från http://wiki.math.se/wikis/sf0600_0701/index.php/4.3_%C3%96vningar

4.3 Övningar

Sommarmatte 1

Nuvarande version

Innehåll

[redigera] Övning 4.3:1

[redigera] Övning 4.3:2

[redigera] Övning 4.3:3

[redigera] Övning 4.3:4

[redigera] Övning 4.3:5

[redigera] Övning 4.3:6

[redigera] Övning 4.3:7

[redigera] Övning 4.3:8

[redigera] Övning 4.3:9

Visningar

Personliga verktyg

Navigering

Sök

Verktygslåda

 ==Övning 4.3:1==
 <div class="ovning">
-Bestäm de vinklar $v$ mellan $\displaystyle \frac{\pi}{2}$ och $2\pi$ som uppfyller
+Bestäm de vinklar $\,v\,$ mellan $\,\displaystyle \frac{\pi}{2}\,$ och $\,2\pi\,$ som uppfyller
 <table width="100%" cellspacing="10px">
 <tr align="left">
-<td class="ntext">$\textrm{a) }$</td>
+<td class="ntext">a)</td>
-<td class="ntext">$\cos{v}=\cos{\displaystyle \frac{\pi}{5}}$</td>
+<td class="ntext" width="33%">$\cos{v}=\cos{\displaystyle \frac{\pi}{5}}$</td>
-<td class="ntext">$\textrm{b) }$</td>
+<td class="ntext">b)</td>
-<td class="ntext">$\sin{v}=\sin{\displaystyle \frac{\pi}{7}}$</td>
+<td class="ntext" width="33%">$\sin{v}=\sin{\displaystyle \frac{\pi}{7}}$</td>
-<td class="ntext">$\textrm{c) }$</td>
+<td class="ntext">c)</td>
-<td class="ntext">$\tan{v}=\tan{\displaystyle \frac{2\pi}{7}}$</td>
+<td class="ntext" width="33%">$\tan{v}=\tan{\displaystyle \frac{2\pi}{7}}$</td>
 </tr>
 </table>
 <div class=NavHead>Facit&nbsp;</div>
 <div class=NavContent>
-Facit till alla delfrågorna<br \>
+Facit till alla delfrågor
 <table width="100%" cellspacing="10px">
 <tr align="left">
-<td class="ntext">$\textrm{a) }$</td>
+<td class="ntext">a)</td>
-<td class="ntext">$v = \displaystyle \frac{9\pi}{5}$</td>
+<td class="ntext" width="33%">$v = \displaystyle \frac{9\pi}{5}$</td>
-<td class="ntext">$\textrm{b) }$</td>
+<td class="ntext">b)</td>
-<td class="ntext">$v = \displaystyle \frac{6\pi}{7}$</td>
+<td class="ntext" width="33%">$v = \displaystyle \frac{6\pi}{7}$</td>
-<td class="ntext">$\textrm{c) }$</td>
+<td class="ntext">c)</td>
-<td class="ntext">$v = \displaystyle \frac{9\pi}{7}$</td>
+<td class="ntext" width="33%">$v = \displaystyle \frac{9\pi}{7}$</td>
 </tr>
 </table>
 <div class=NavFrame style="CLEAR: both">
-<div class=NavHead>L&ouml;sning a&nbsp;</div>
+<div class=NavHead>L&ouml;sning a)&nbsp;</div>
 <div class=NavContent>
-Lösning till delfråga a<br />[[Bild:4_3_1a.gif]]
+Lösning till delfråga a)
+<table width="100%">
+<tr>
+<td align="center">
+[[Bild:4_3_1a.gif]]
+</td>
+</tr>
+</table>
 </div>
 </div>
 <div class=NavFrame style="CLEAR: both">
-<div class=NavHead>L&ouml;sning b&nbsp;</DIV>
+<div class=NavHead>L&ouml;sning b)&nbsp;</DIV>
 <div class=NavContent>
-Lösning till delfråga b<br />[[Bild:4_3_1b.gif]]
+Lösning till delfråga b)
+<table width="100%">
+<tr>
+<td align="center">
+[[Bild:4_3_1b.gif]]
+</td>
+</tr>
+</table>
 </div>
 </div>
 <div class=NavFrame style="CLEAR: both">
-<div class=NavHead>L&ouml;sning c&nbsp;</div>
+<div class=NavHead>L&ouml;sning c)&nbsp;</div>
 <div class=NavContent>
-Lösning till delfråga c<br />[[Bild:4_3_1c.gif]]
+Lösning till delfråga c)
+<table width="100%">
+<tr>
+<td align="center">
+[[Bild:4_3_1c.gif]]
+</td>
+</tr>
+</table>
 </div>
 </div>
 ==Övning 4.3:2==
 <div class="ovning">
-Bestäm de vinklar $v$ mellan 0 och $\pi$ som uppfyller
+Bestäm de vinklar $\,v\,$ mellan 0 och $\,\pi\,$ som uppfyller
 <table width="100%" cellspacing="10px">
 <tr align="left">
-<td class="ntext">$\textrm{a) }$</td>
+<td class="ntext">a)</td>
-<td class="ntext">$\cos{v} = \cos{\displaystyle \frac{3\pi}{2}}$</td>
+<td class="ntext" width="50%">$\cos{v} = \cos{\displaystyle \frac{3\pi}{2}}$</td>
-<td class="ntext">$\textrm{b) }$</td>
+<td class="ntext">b)</td>
-<td class="ntext">$\cos{v} = \cos{ \displaystyle \frac{7\pi}{5}}$</td>
+<td class="ntext" width="50%">$\cos{v} = \cos{ \displaystyle \frac{7\pi}{5}}$</td>
 </tr>
 <tr><td height="5px"/></tr>
 <div class=NavHead>Facit&nbsp;</div>
 <div class=NavContent>
-Facit till alla delfrågorna<br \>
+Facit till alla delfrågor
 <table width="100%" cellspacing="10px">
 <tr align="left">
-<td class="ntext">$\textrm{a) }$</td>
+<td class="ntext">a)</td>
-<td class="ntext">$v=\displaystyle \frac{\pi}{2}$</td>
+<td class="ntext" width="50%">$v=\displaystyle \frac{\pi}{2}$</td>
-<td class="ntext">$\textrm{b) }$</td>
+<td class="ntext">b)</td>
-<td class="ntext">$v=\displaystyle \frac{3\pi}{5}$</td>
+<td class="ntext" width="50%">$v=\displaystyle \frac{3\pi}{5}$</td>
 </tr>
 <tr><td height="5px"/></tr>
 <div class=NavFrame style="CLEAR: both">
-<div class=NavHead>L&ouml;sning a&nbsp;</div>
+<div class=NavHead>L&ouml;sning a)&nbsp;</div>
 <div class=NavContent>
-Lösning till delfråga a<br />[[Bild:4_3_2a.gif]]
+Lösning till delfråga a)
+<table width="100%">
+<tr>
+<td align="center">
+[[Bild:4_3_2a.gif]]
+</td>
+</tr>
+</table>
 </div>
 </div>
 <div class=NavFrame style="CLEAR: both">
-<div class=NavHead>L&ouml;sning b&nbsp;</DIV>
+<div class=NavHead>L&ouml;sning b)&nbsp;</DIV>
 <div class=NavContent>
-Lösning till delfråga b<br />[[Bild:4_3_2b.gif]]
+Lösning till delfråga b)
+<table width="100%">
+<tr>
+<td align="center">
+[[Bild:4_3_2b.gif]]
+</td>
+</tr>
+</table>
 </div>
 </div>
 ==Övning 4.3:3==
 <div class="ovning">
-Antag att $-\displaystyle \frac{\pi}{2} \leq v \leq \displaystyle \frac{\pi}{2}$ och att $\sin{v} = a$. Uttryck med hjälp av $a$
+Antag att $\,-\displaystyle \frac{\pi}{2} \leq v \leq \displaystyle \frac{\pi}{2}\,$ och att $\,\sin{v} = a\,$. Uttryck med hjälp av $\,a$
 <table width="100%" cellspacing="10px">
 <tr align="left">
-<td class="ntext">$\textrm{a) }$</td>
+<td class="ntext">a)</td>
-<td class="ntext">$\sin{(-v)}$</td>
+<td class="ntext" width="50%">$\sin{(-v)}$</td>
-<td class="ntext">$\textrm{b) }$</td>
+<td class="ntext">b)</td>
-<td class="ntext">$\sin{(\pi-v)}$</td>
+<td class="ntext" width="50%">$\sin{(\pi-v)}$</td>
-<td class="ntext">$\textrm{c) }$</td>
-<td class="ntext">$\cos{v}$</td>
 </tr>
-<tr><td height="5px"/></tr>
 <tr align="left">
-<td class="ntext">$\textrm{d) }$</td>
+<td class="ntext">c)</td>
-<td class="ntext">$\sin{\left(\displaystyle \frac{\pi}{2}-v\right)}$</td>
+<td class="ntext" width="50%">$\cos{v}$</td>
-<td class="ntext">$\textrm{e) }$</td>
+<td class="ntext">d)</td>
-<td class="ntext">$\cos{\left( \displaystyle \frac{\pi}{2} + v\right)}$</td>
+<td class="ntext" width="50%">$\sin{\left(\displaystyle \frac{\pi}{2}-v\right)}$</td>
-<td class="ntext">$\textrm{f) }$</td>
+</tr>
-<td class="ntext">$\sin{\left( \displaystyle \frac{\pi}{3} + v \right)}$</td>
+<tr align="left">
+<td class="ntext">e)</td>
+<td class="ntext" width="50%">$\cos{\left( \displaystyle \frac{\pi}{2} + v\right)}$</td>
+<td class="ntext">f)</td>
+<td class="ntext" width="50%">$\sin{\left( \displaystyle \frac{\pi}{3} + v \right)}$</td>
 </tr>
 <tr><td height="5px"/></tr>
 <div class=NavHead>Facit&nbsp;</div>
 <div class=NavContent>
-Facit till alla delfrågorna<br \>
+Facit till alla delfrågor
 <table width="100%" cellspacing="10px">
 <tr align="left">
-<td class="ntext">$\textrm{a) }$</td>
+<td class="ntext">a)</td>
-<td class="ntext">$-a$</td>
+<td class="ntext" width="50%">$-a$</td>
-<td class="ntext">$\textrm{b) }$</td>
+<td class="ntext">b)</td>
-<td class="ntext">$a$</td>
+<td class="ntext" width="50%">$a$</td>
-<td class="ntext">$\textrm{c) }$</td>
-<td class="ntext">$\sqrt{1-a^2}$</td>
 </tr>
-<tr><td height="5px"/></tr>
 <tr align="left">
-<td class="ntext">$\textrm{d) }$</td>
+<td class="ntext">c)</td>
-<td class="ntext">$\sqrt{1-a^2}$</td>
+<td class="ntext" width="50%">$\sqrt{1-a^2}$</td>
-<td class="ntext">$\textrm{e) }$</td>
+<td class="ntext">d)</td>
-<td class="ntext">$-a$</td>
+<td class="ntext" width="50%">$\sqrt{1-a^2}$</td>
-<td class="ntext">$\textrm{f) }$</td>
+</tr>
-<td class="ntext">$\displaystyle \frac{\sqrt{3}}{2}\sqrt{1-a^2}+\displaystyle \frac{1}{2}\cdot a $</td>
+<tr align="left">
+<td class="ntext">e)</td>
+<td class="ntext" width="50%">$-a$</td>
+<td class="ntext">f)</td>
+<td class="ntext" width="50%">$\displaystyle \frac{\sqrt{3}}{2}\sqrt{1-a^2}+\displaystyle \frac{1}{2}\cdot a $</td>
 </tr>
 <tr><td height="5px"/></tr>
 <div class=NavFrame style="CLEAR: both">
-<div class=NavHead>L&ouml;sning a&nbsp;</div>
+<div class=NavHead>L&ouml;sning a)&nbsp;</div>
 <div class=NavContent>
-Lösning till delfråga a<br />[[Bild:4_3_3a.gif]]
+Lösning till delfråga a)
+<table width="100%">
+<tr>
+<td align="center">
+[[Bild:4_3_3a.gif]]
+</td>
+</tr>
+</table>
 </div>
 </div>
 <div class=NavFrame style="CLEAR: both">
-<div class=NavHead>L&ouml;sning b&nbsp;</DIV>
+<div class=NavHead>L&ouml;sning b)&nbsp;</DIV>
 <div class=NavContent>
-Lösning till delfråga b<br />[[Bild:4_3_3b.gif]]
+Lösning till delfråga b)
+<table width="100%">
+<tr>
+<td align="center">
+[[Bild:4_3_3b.gif]]
+</td>
+</tr>
+</table>
 </div>
 </div>
 <div class=NavFrame style="CLEAR: both">
-<div class=NavHead>L&ouml;sning c&nbsp;</div>
+<div class=NavHead>L&ouml;sning c)&nbsp;</div>
 <div class=NavContent>
-Lösning till delfråga c<br />[[Bild:4_3_3c.gif]]
+Lösning till delfråga c)
+<table width="100%">
+<tr>
+<td align="center">
+[[Bild:4_3_3c.gif]]
+</td>
+</tr>
+</table>
 </div>
 </div>
 <div class=NavFrame style="CLEAR: both">
-<div class=NavHead>L&ouml;sning d&nbsp;</DIV>
+<div class=NavHead>L&ouml;sning d)&nbsp;</DIV>
 <div class=NavContent>
-Lösning till delfråga d<br />[[Bild:4_3_3d.gif]]
+Lösning till delfråga d)
+<table width="100%">
+<tr>
+<td align="center">
+[[Bild:4_3_3d.gif]]
+</td>
+</tr>
+</table>
 </div>
 </div>
 <div class=NavFrame style="CLEAR: both">
-<div class=NavHead>L&ouml;sning e&nbsp;</div>
+<div class=NavHead>L&ouml;sning e)&nbsp;</div>
 <div class=NavContent>
-Lösning till delfråga e<br />[[Bild:4_3_3e.gif]]
+Lösning till delfråga e)
+<table width="100%">
+<tr>
+<td align="center">
+[[Bild:4_3_3e.gif]]
+</td>
+</tr>
+</table>
 </div>
 </div>
 <div class=NavFrame style="CLEAR: both">
-<div class=NavHead>L&ouml;sning f&nbsp;</DIV>
+<div class=NavHead>L&ouml;sning f)&nbsp;</DIV>
 <div class=NavContent>
-Lösning till delfråga f<br />[[Bild:4_3_3f.gif]]
+Lösning till delfråga f)
+<table width="100%">
+<tr>
+<td align="center">
+[[Bild:4_3_3f.gif]]
+</td>
+</tr>
+</table>
 </div>
 </div>
 ==Övning 4.3:4==
 <div class="ovning">
-Antag att $0 \leq v \leq \pi$ och att $\cos{v}=b$. Uttryck med hjälp av $b$
+Antag att $\,0 \leq v \leq \pi\,$ och att $\,\cos{v}=b\,$. Uttryck med hjälp av $\,b\,$
 <table width="100%" cellspacing="10px">
 <tr align="left">
-<td class="ntext">$\textrm{a) }$</td>
+<td class="ntext">a)</td>
-<td class="ntext">$\sin^2{v}$</td>
+<td class="ntext" width="50%">$\sin^2{v}$</td>
-<td class="ntext">$\textrm{b) }$</td>
+<td class="ntext">b)</td>
-<td class="ntext">$\sin{v}$</td>
+<td class="ntext" width="50%">$\sin{v}$</td>
-<td class="ntext">$\textrm{c) }$</td>
-<td class="ntext">$\sin{2v}$</td>
 </tr>
-<tr><td height="5px"/></tr>
 <tr align="left">
-<td class="ntext">$\textrm{d) }$</td>
+<td class="ntext">c)</td>
-<td class="ntext">$\cos{2v}$</td>
+<td class="ntext" width="50%">$\sin{2v}$</td>
-<td class="ntext">$\textrm{e) }$</td>
+<td class="ntext">d)</td>
-<td class="ntext">$\sin{\left( v+\displaystyle \frac{\pi}{4} \right)}$</td>
+<td class="ntext" width="50%">$\cos{2v}$</td>
-<td class="ntext">$\textrm{f) }$</td>
+</tr>
-<td class="ntext">$\cos{\left( v-\displaystyle \frac{\pi}{3} \right)}$</td>
+<tr align="left">
+<td class="ntext">e)</td>
+<td class="ntext" width="50%">$\sin{\left( v+\displaystyle \frac{\pi}{4} \right)}$</td>
+<td class="ntext">f)</td>
+<td class="ntext" width="50%">$\cos{\left( v-\displaystyle \frac{\pi}{3} \right)}$</td>
 </tr>
 <tr><td height="5px"/></tr>
 <div class=NavHead>Facit&nbsp;</div>
 <div class=NavContent>
-Facit till alla delfrågorna<br \>
+Facit till alla delfrågor
 <table width="100%" cellspacing="10px">
 <tr align="left">
-<td class="ntext">$\textrm{a) }$</td>
+<td class="ntext">a)</td>
-<td class="ntext">$1-b^2$</td>
+<td class="ntext" width="50%">$1-b^2$</td>
-<td class="ntext">$\textrm{b) }$</td>
+<td class="ntext">b)</td>
-<td class="ntext">$\sqrt{1-b^2}$</td>
+<td class="ntext" width="50%">$\sqrt{1-b^2}$</td>
-<td class="ntext">$\textrm{c) }$</td>
-<td class="ntext">$2b\sqrt{1-b^2}$</td>
 </tr>
-<tr><td height="5px"/></tr>
 <tr align="left">
-<td class="ntext">$\textrm{d) }$</td>
+<td class="ntext">c)</td>
-<td class="ntext">$2b^2-1$</td>
+<td class="ntext" width="50%">$2b\sqrt{1-b^2}$</td>
-<td class="ntext">$\textrm{e) }$</td>
+<td class="ntext">d)</td>
-<td class="ntext">$\sqrt{1-b^2}\cdot\displaystyle \frac{1}{\sqrt{2}} + b\cdot \displaystyle \frac{1}{\sqrt{2}} $</td>
+<td class="ntext" width="50%">$2b^2-1$</td>
-<td class="ntext">$\textrm{f) }$</td>
+</tr>
-<td class="ntext">$b\cdot\displaystyle \frac{1}{2}+\sqrt{1-b^2}\cdot\displaystyle \frac{\sqrt{3}}{2}$</td>
+<tr align="left">
+<td class="ntext">e)</td>
+<td class="ntext" width="50%">$\sqrt{1-b^2}\cdot\displaystyle \frac{1}{\sqrt{2}} + b\cdot \displaystyle \frac{1}{\sqrt{2}} $</td>
+<td class="ntext">f)</td>
+<td class="ntext" width="50%">$b\cdot\displaystyle \frac{1}{2}+\sqrt{1-b^2}\cdot\displaystyle \frac{\sqrt{3}}{2}$</td>
 </tr>
 <tr><td height="5px"/></tr>
 <div class=NavFrame style="CLEAR: both">
-<div class=NavHead>L&ouml;sning a&nbsp;</div>
+<div class=NavHead>L&ouml;sning a)&nbsp;</div>
 <div class=NavContent>
-Lösning till delfråga a<br />[[Bild:4_3_4a.gif]]
+Lösning till delfråga a)
+<table width="100%">
+<tr>
+<td align="center">
+[[Bild:4_3_4a.gif]]
+</td>
+</tr>
+</table>
 </div>
 </div>
 <div class=NavFrame style="CLEAR: both">
-<div class=NavHead>L&ouml;sning b&nbsp;</DIV>
+<div class=NavHead>L&ouml;sning b)&nbsp;</DIV>
 <div class=NavContent>
-Lösning till delfråga b<br />[[Bild:4_3_4b.gif]]
+Lösning till delfråga b)
+<table width="100%">
+<tr>
+<td align="center">
+[[Bild:4_3_4b.gif]]
+</td>
+</tr>
+</table>
 </div>
 </div>
 <div class=NavFrame style="CLEAR: both">
-<div class=NavHead>L&ouml;sning c&nbsp;</div>
+<div class=NavHead>L&ouml;sning c)&nbsp;</div>
 <div class=NavContent>
-Lösning till delfråga c<br />[[Bild:4_3_4c.gif]]
+Lösning till delfråga c)
+<table width="100%">
+<tr>
+<td align="center">
+[[Bild:4_3_4c.gif]]
+</td>
+</tr>
+</table>
 </div>
 </div>
 <div class=NavFrame style="CLEAR: both">
-<div class=NavHead>L&ouml;sning d&nbsp;</DIV>
+<div class=NavHead>L&ouml;sning d)&nbsp;</DIV>
 <div class=NavContent>
-Lösning till delfråga d<br />[[Bild:4_3_4d.gif]]
+Lösning till delfråga d)
+<table width="100%">
+<tr>
+<td align="center">
+[[Bild:4_3_4d.gif]]
+</td>
+</tr>
+</table>
 </div>
 </div>
 <div class=NavFrame style="CLEAR: both">
-<div class=NavHead>L&ouml;sning e&nbsp;</div>
+<div class=NavHead>L&ouml;sning e)&nbsp;</div>
 <div class=NavContent>
-Lösning till delfråga e<br />[[Bild:4_3_4e.gif]]
+Lösning till delfråga e)
+<table width="100%">
+<tr>
+<td align="center">
+[[Bild:4_3_4e.gif]]
+</td>
+</tr>
+</table>
 </div>
 </div>
 <div class=NavFrame style="CLEAR: both">
-<div class=NavHead>L&ouml;sning f&nbsp;</DIV>
+<div class=NavHead>L&ouml;sning f)&nbsp;</DIV>
 <div class=NavContent>
-Lösning till delfråga f<br />[[Bild:4_3_4f.gif]]
+Lösning till delfråga f)
+<table width="100%">
+<tr>
+<td align="center">
+[[Bild:4_3_4f.gif]]
+</td>
+</tr>
+</table>
 </div>
 </div>
 ==Övning 4.3:5==
 <div class="ovning">
-För en spetsig vinkel $v$ i en triangel gäller att $\sin{v}=\displaystyle \frac{5}{7}$. Bestäm $\cos{v}$ och $\tan{v}$.
+För en spetsig vinkel $\,v\,$ i en triangel gäller att $\,\sin{v}=\displaystyle \frac{5}{7}\,$. Bestäm $\,\cos{v}\,$ och $\,\tan{v}\,$.
 </div>
 <table width="100%" cellspacing="10px">
 <tr align="left">
-<td class="ntext">$\cos{v}=\displaystyle \frac{2\sqrt{6}}{7}$</td>
+<td class="ntext" width="100%">$\cos{v}=\displaystyle \frac{2\sqrt{6}}{7}\quad$ och $\quad\tan{v}=\displaystyle \frac{5}{2\sqrt{6}}\,$.</td>
-<td class="ntext">$\tan{v}=\displaystyle \frac{5}{2\sqrt{6}}$</td>
 </tr>
 <tr><td height="5px"/></tr>
 <div class=NavHead>L&ouml;sning&nbsp;</div>
 <div class=NavContent>
-[[Bild:4_3_5.gif]]
+<table width="100%">
+<tr>
+<td align="center">
+[[Bild:4_3_5-1(2).gif]]
+</td>
+</tr>
+<tr>
+<td align="center">
+[[Bild:4_3_5-2(2).gif]]
+</td>
+</tr>
+</table>
 </div>
 </div>
 <div class="ovning">
 <table width="100%" cellspacing="10px">
-<tr align="left">
+<tr align="left" valign="top">
-<td class="ntext">$\textrm{a) }$</td>
+<td class="ntext">a)</td>
-<td class="ntext">Bestäm $\sin{v}$ och $\tan{v}$ om $\cos{v}=\displaystyle \frac{3}{4}$ och $\displaystyle \frac{3\pi}{2} \leq v \leq 2\pi$.</td>
+<td class="ntext" width="100%">Bestäm $\ \sin{v}\ $ och $\ \tan{v}\ $ om $\ \cos{v}=\displaystyle \frac{3}{4}\ $ och $\ \displaystyle \frac{3\pi}{2} \leq v \leq 2\pi\,$.</td>
 </tr>
-<tr><td height="5px"/></tr>
+<tr align="left" valign="top">
-<tr align="left">
+<td class="ntext">b)</td>
-<td class="ntext">$\textrm{b) }$</td>
+<td class="ntext" width="100%">Bestäm $\ \cos{v}\ $ och $\ \tan{v}\ $ om $\ \sin{v}=\displaystyle \frac{3}{10}\ $ och $\,v\,$ ligger i den andra kvadranten.</td>
-<td class="ntext">Bestäm $\cos{v}$ och $\tan{v}$ om $\sin{v}=\displaystyle \frac{3}{10}$ och $v$ ligger i den andra kvadranten.</td>
 </tr>
-<tr><td height="5px"/></tr>
+<tr align="left" valign="top">
-<tr align="left">
+<td class="ntext">c)</td>
-<td class="ntext">$\textrm{c) }$</td>
+<td class="ntext" width="100%">Bestäm $\ \sin{v}\ $ och $\ \cos{v}\ $ om $\ \tan{v}=3\ $ och $\ \pi \leq v \leq \displaystyle \frac{3\pi}{2}\,$.</td>
-<td class="ntext">Bestäm $\sin{v}$ och $\cos{v}$ om $\tan{v}=3$ och $\pi \leq v \leq \displaystyle \frac{3\pi}{2}$</td>
 </tr>
 <tr><td height="5px"/></tr>
 <div class=NavHead>Facit&nbsp;</div>
 <div class=NavContent>
-Facit till alla delfrågorna<br \>
+Facit till alla delfrågor
 <table width="100%" cellspacing="10px">
 <tr align="left">
-<td class="ntext">$\textrm{a) }$</td>
+<td class="ntext">a)</td>
-<td class="ntext">$\sin{v}=-\displaystyle \frac{\sqrt{7}}{4}$ och $\tan{v}=-\displaystyle \frac{\sqrt{7}}{3}$</td>
+<td class="ntext" width="100%">$\sin{v}=-\displaystyle \frac{\sqrt{7}}{4}\quad$ och $\quad\tan{v}=-\displaystyle \frac{\sqrt{7}}{3}\,$.</td>
 </tr>
 <tr><td height="5px"/></tr>
 <tr align="left">
-<td class="ntext">$\textrm{b) }$</td>
+<td class="ntext">b)</td>
-<td class="ntext">$\cos{v}=-\displaystyle \frac{\sqrt{91}}{10}$ och $\tan{v}=-\displaystyle \frac{3}{\sqrt{91}}$</td>
+<td class="ntext" width="100%">$\cos{v}=-\displaystyle \frac{\sqrt{91}}{10}\quad$ och $\quad\tan{v}=-\displaystyle \frac{3}{\sqrt{91}}\,$.</td>
 </tr>
 <tr><td height="5px"/></tr>
 <tr align="left">
-<td class="ntext">$\textrm{c) }$</td>
+<td class="ntext">c)</td>
-<td class="ntext">$\sin{v}=-\displaystyle \frac{3}{\sqrt{10}}$ och $\cos{v}=-\displaystyle \frac{1}{\sqrt{10}}$</td>
+<td class="ntext" width="50%">$\sin{v}=-\displaystyle \frac{3}{\sqrt{10}}\quad$ och $\quad\cos{v}=-\displaystyle \frac{1}{\sqrt{10}}\,$.</td>
 </tr>
 <tr><td height="5px"/></tr>
 <div class=NavFrame style="CLEAR: both">
-<div class=NavHead>L&ouml;sning a&nbsp;</div>
+<div class=NavHead>L&ouml;sning a)&nbsp;</div>
 <div class=NavContent>
-Lösning till delfråga a<br />[[Bild:4_3_6a.gif]]
+Lösning till delfråga a)
+<table width="100%">
+<tr>
+<td align="center">
+[[Bild:4_3_6a-1(2).gif]]
+</td>
+</tr>
+<tr>
+<td align="center">
+[[Bild:4_3_6a-2(2).gif]]
+</td>
+</tr>
+</table>
 </div>
 </div>
 <div class=NavFrame style="CLEAR: both">
-<div class=NavHead>L&ouml;sning b&nbsp;</div>
+<div class=NavHead>L&ouml;sning b)&nbsp;</div>
 <div class=NavContent>
-Lösning till delfråga b<br />[[Bild:4_3_6b.gif]]
+Lösning till delfråga b)
+<table width="100%">
+<tr>
+<td align="center">
+[[Bild:4_3_6b-1(2).gif]]
+</td>
+</tr>
+<tr>
+<td align="center">
+[[Bild:4_3_6b-2(2).gif]]
+</td>
+</tr>
+</table>
 </div>
 </div>
 <div class=NavFrame style="CLEAR: both">
-<div class=NavHead>L&ouml;sning c&nbsp;</div>
+<div class=NavHead>L&ouml;sning c)&nbsp;</div>
 <div class=NavContent>
-Lösning till delfråga c<br />[[Bild:4_3_6c.gif]]
+Lösning till delfråga c)
+<table width="100%">
+<tr>
+<td align="center">
+[[Bild:4_3_6c-1(2).gif]]
+</td>
+</tr>
+<tr>
+<td align="center">
+[[Bild:4_3_6c-2(2).gif]]
+</td>
+</tr>
+</table>
 </div>
 </div>
 ==Övning 4.3:7==
 <div class="ovning">
-Bestäm $\sin{(x+y)}$ om
+Bestäm $\ \sin{(x+y)}\ $ om
 <table width="100%" cellspacing="10px">
 <tr align="left">
-<td class="ntext">$\textrm{a) }$</td>
+<td class="ntext">a)</td>
-<td class="ntext">$\sin{x}=\displaystyle \frac{2}{3}, \sin{y}=\displaystyle \frac{1}{3}$ och $x,y$ är vinklar i första kvadranten.</td>
+<td class="ntext" width="100%">$\sin{x}=\displaystyle \frac{2}{3}\,$, $\ \sin{y}=\displaystyle \frac{1}{3}\ $ och $\,x\,$, $\,y\,$ är vinklar i första kvadranten.</td>
 </tr>
-<tr><td height="5px"/></tr>
 <tr align="left">
-<td class="ntext">$\textrm{b) }$</td>
+<td class="ntext">b)</td>
-<td class="ntext">$\cos{x}=\displaystyle \frac{2}{5}, \cos{y}=\displaystyle \frac{3}{5}$ och $x,y$ är vinklar i första kvadranten.</td>
+<td class="ntext" width="100%">$\cos{x}=\displaystyle \frac{2}{5}\,$, $\ \cos{y}=\displaystyle \frac{3}{5}\ $ och $\,x\,$, $\,y\,$ är vinklar i första kvadranten.</td>
 </tr>
 <tr><td height="5px"/></tr>
 <div class=NavHead>Facit&nbsp;</div>
 <div class=NavContent>
-Facit till alla delfrågorna<br \>
+Facit till alla delfrågor
 <table width="100%" cellspacing="10px">
 <tr align="left">
-<td class="ntext">$\textrm{a) }$</td>
+<td class="ntext">a)</td>
-<td class="ntext">$\sin{(x+y)}=\displaystyle \frac{4\sqrt{2}+\sqrt{5}}{9}$</td>
+<td class="ntext" width="100%">$\sin{(x+y)}=\displaystyle \frac{4\sqrt{2}+\sqrt{5}}{9}$</td>
 </tr>
-<tr><td height="5px"/></tr>
 <tr align="left">
-<td class="ntext">$\textrm{b) }$</td>
+<td class="ntext">b)</td>
-<td class="ntext">$\sin{(x+y)}=\displaystyle \frac{3\sqrt{21}+8}{25}$</td>
+<td class="ntext" width="100%">$\sin{(x+y)}=\displaystyle \frac{3\sqrt{21}+8}{25}$</td>
 </tr>
 <tr><td height="5px"/></tr>
 <div class=NavFrame style="CLEAR: both">
-<div class=NavHead>L&ouml;sning a&nbsp;</div>
+<div class=NavHead>L&ouml;sning a)&nbsp;</div>
 <div class=NavContent>
-Lösning till delfråga a<br />[[Bild:4_3_7a.gif]]
+Lösning till delfråga a)
+<table width="100%">
+<tr>
+<td align="center">
+[[Bild:4_3_7a.gif]]
+</td>
+</tr>
+</table>
 </div>
 </div>
 <div class=NavFrame style="CLEAR: both">
-<div class=NavHead>L&ouml;sning b&nbsp;</div>
+<div class=NavHead>L&ouml;sning b)&nbsp;</div>
 <div class=NavContent>
-Lösning till delfråga b<br />[[Bild:4_3_7b.gif]]
+Lösning till delfråga b)
+<table width="100%">
+<tr>
+<td align="center">
+[[Bild:4_3_7b.gif]]
+</td>
+</tr>
+</table>
+</div>
+</div>
+==Övning 4.3:8==
+<div class="ovning">
+Visa f&ouml;ljande trigonometriska samband
+<table width="100%" cellspacing="10px">
+<tr align="left">
+<td class="ntext>a)</td>
+<td class="ntext width="100%">$\tan^2v=\displaystyle\frac{\sin^2v}{1-\sin^2v}$</td>
+</tr>
+<tr align="left">
+<td class="ntext>b)</td>
+<td class="ntext width="100%">$\displaystyle \frac{1}{\cos v}-\tan v=\frac{\cos v}{1+\sin v}$</td>
+</tr>
+<tr align="left">
+<td class="ntext>c)</td>
+<td class="ntext width="100%">$\tan\displaystyle\frac{u}{2}=\frac{\sin u}{1+\cos u}$</td>
+</tr>
+<tr align="left">
+<td class="ntext>d)</td>
+<td class="ntext width="100%">$\displaystyle\frac{\cos (u+v)}{\cos u \cos v}= 1- \tan u \tan v$</td>
+</tr>
+</table>
+</div>
+<div class=NavFrame style="CLEAR: both">
+<div class=NavHead>L&ouml;sning a)&nbsp;</div>
+<div class=NavContent>
+Lösning till delfråga a)
+<table width="100%">
+<tr>
+<td align="center">
+[[Bild:4_3_8a.gif]]
+</td>
+</tr>
+</table>
+</div>
+</div>
+<div class=NavFrame style="CLEAR: both">
+<div class=NavHead>L&ouml;sning b)&nbsp;</div>
+<div class=NavContent>
+Lösning till delfråga b)
+<table width="100%">
+<tr>
+<td align="center">
+[[Bild:4_3_8b.gif]]
+</td>
+</tr>
+</table>
+</div>
+</div>
+<div class=NavFrame style="CLEAR: both">
+<div class=NavHead>L&ouml;sning c)&nbsp;</div>
+<div class=NavContent>
+Lösning till delfråga c)
+<table width="100%">
+<tr>
+<td align="center">
+[[Bild:4_3_8c-1(2).gif]]
+</td>
+</tr>
+<tr>
+<td align="center">
+[[Bild:4_3_8c-2(2).gif]]
+</td>
+</tr>
+</table>
+</div>
+</div>
+<div class=NavFrame style="CLEAR: both">
+<div class=NavHead>L&ouml;sning d)&nbsp;</div>
+<div class=NavContent>
+Lösning till delfråga a)
+<table width="100%">
+<tr>
+<td align="center">
+[[Bild:4_3_8d.gif]]
+</td>
+</tr>
+</table>
+</div>
+</div>
+==Övning 4.3:9==
+<div class="ovning">
+<table width="100%" cellspacing="10px">
+<tr align="left">
+<td class="ntext>
+Visa "Feynmans likhet"
+$$\cos 20^\circ \cdot \cos 40^\circ \cdot \cos 80^\circ = \displaystyle\frac{1}{8}\,\mbox{.}$$
+(Ledtr&aring;d: Anv&auml;nd formeln f&ouml;r dubbla vinkeln på $\,\sin 160^\circ\,$.)
+</td>
+</tr>
+</table>
+</div>
+<div class=NavFrame style="CLEAR: both">
+<div class=NavHead>L&ouml;sning&nbsp;</div>
+<div class=NavContent>
+<table width="100%">
+<tr>
+<td align="center">
+[[Bild:4_3_9-1(2).gif]]
+</td>
+</tr>
+<tr>
+<td align="center">
+[[Bild:4_3_9-2(2).gif]]
+</td>
+</tr>
+</table>
 </div>
 </div>