4.3 Trigonometriska samband

Sommarmatte 1

(Skillnad mellan versioner)

Hoppa till: navigering, sök

Nuvarande version

Innehåll:

Trigonometriska ettan
Formeln för dubbla och halva vinkeln
Additions- och subtraktionsformlerna

Lärandemål:

Efter detta avsnitt ska du ha lärt dig att:

Härleda trigonometriska samband från symmetrier i enhetscirkeln.
Förenkla trigonometriska uttryck med hjälp av de trigonometriska sambanden.

Övningar

[redigera] Teori

Det finns en mängd trigonometriska samband, med vilka man kan översätta mellan sinus-, cosinus- och tangensvärden för en vinkel eller multiplar av en vinkel. Dessa brukar också kallas trigonometriska identiteter, eftersom de endast är olika sätt att beskriva ett och samma uttryck med hjälp av olika trigonometriska funktioner. Här kommer vi att beskriva några av dessa trigonometriska samband. Det finns många fler än vi kan behandla här. De flesta kan härledas utifrån den s k trigonometriska ettan och additionsformlerna (se nedan), vilka är viktiga att kunna utantill.

[redigera] Trigonometriska ettan

Detta samband är det mest grundläggande, men är i själva verket ingenting annat än Pythagoras sats, tillämpad i enhetscirkeln. Den rätvinkliga triangeln till höger visar att

$$(\sin v)^2 + (\cos v)^2 = 1\,\mbox{,}$$

vilket brukar skrivas $\,\sin^2\!v + \cos^2\!v = 1\,$.

[redigera] Symmetrier

Med hjälp av enhetscirkeln och spegling kan man tack vare de trigonometriska funktionernas symmetrier hitta en stor mängd samband mellan cosinus och sinus.

$$\eqalign{\cos (-v) &= \cos v\vphantom{\Bigl(}\cr \sin (-v) &= - \sin v\vphantom{\Bigl(}\cr \cos (\pi-v) &= - \cos v\vphantom{\Bigl(}\cr \sin (\pi-v) &= \sin v\vphantom{\Bigl(}\cr}\qquad\quad \eqalign{\cos \Bigl(\displaystyle \frac{\pi}{2} -v \Bigr) &= \sin v\cr \sin \Bigl(\displaystyle \frac{\pi}{2} -v \Bigr) &= \cos v\cr \cos \Bigl(v + \displaystyle \frac{\pi}{2} \Bigr) &= - \sin v\cr \sin \Bigl( v + \displaystyle \frac{\pi}{2} \Bigr) &= \cos v\cr}$$

Istället för att försöka lära sig alla dessa samband utantill kan det vara bättre att lära sig härleda dem i enhetscirkeln.

Spegling i x-axeln

När en vinkel $\,v\,$ speglas i x-axeln blir den $\,-v\,$.

Speglingen påverkar inte x-koordinaten medan y-koordinaten byter tecken $$\eqalign{\cos(-v) &= \cos v\,\mbox{,}\cr \sin (-v) &= - \sin v\,\mbox{.}\cr}$$

Spegling i y-axeln

Vid spegling i y-axeln ändras vinkeln $\,v\,$ till $\,\pi-v\,$ (spegelbilden bildar vinkeln $\,v\,$ mot den negativa x-axeln).

Speglingen påverkar inte y-koordinaten medan x-koordinaten byter tecken $$\eqalign{\cos(\pi-v) &= -\cos v\,\mbox{,}\cr \sin (\pi-v) &= \sin v\,\mbox{.}\cr}$$

Spegling i linjen y = x

Vinkeln $\,v\,$ ändras till vinkeln $\,\pi/2 - v\,$ (spegelbilden bildar vinkeln $\,v\,$ mot den positiva y-axeln).

Speglingen gör att x- och y-koordinaterna byter plats $$\eqalign{\cos \Bigl(\frac{\pi}{2} - v \Bigr) &= \sin v\,\mbox{.}\cr \sin \Bigl(\frac{\pi}{2} - v \Bigr) &= \cos v\,\mbox{.}\cr}$$

Vridning med vinkeln $\,\mathbf{\pi/2}\,$

En vridning $\,\pi/2\,$ av vinkeln $\,v\,$ betyder att vinkeln blir $\,v+ \pi/2\,$.

Vridningen gör att x-koordinaten blir ny y-koordinat och y-koordinaten blir ny x-koordinat fast med omvänt tecken $$\eqalign{\cos \Bigl(v+\frac{\pi}{2}\Bigr) &= -\sin v\,\mbox{,}\cr \sin \Bigl(v+\frac{\pi}{2} \Bigr) &= \cos v\,\mbox{.}}$$

Alternativt kan man få fram dessa samband genom att spegla och/eller förskjuta graferna. Om man exempelvis vill ha ett samband där $\,\cos v\,$ uttrycks med hjälp av sinus så kan man förskjuta grafen för cosinus så att den passar med sinuskurvan. Detta kan göras på flera olika sätt, men mest naturligt faller det sig att skriva $\,\cos v = \sin (v + \pi / 2)\,$. För att undvika misstag kan man kontrollera att det stämmer för några olika värden på $\,v\,$.

Kontroll: $\ \cos 0 = \sin (0 + \pi / 2)=1\,$.

[redigera] Additions- och subtraktionsformlerna och formler för dubbla vinkeln

Ofta behöver man behandla uttryck där två eller flera vinklar är inblandade, t.ex. $\,\sin(u+v)\,$. Man behöver då de s.k. additionsformlerna. För sinus och cosinus har formlerna utseendet

$$\eqalign{\sin(u + v) &= \sin u\,\cos v + \cos u\,\sin v\,\mbox{,}\cr \sin(u – v) &= \sin u\,\cos v – \cos u\,\sin v\,\mbox{,}\cr \cos(u + v) &= \cos u\,\cos v – \sin u\,\sin v\,\mbox{,}\cr \cos(u – v) &= \cos u\,\cos v + \sin u\,\sin v\,\mbox{.}\cr}$$

Om man vill veta sinus eller cosinus för dubbla vinkeln, dvs $\,\sin 2v\,$ eller $\,\cos 2v\,$, så kan man skriva uttrycken som $\,\sin(v + v)\,$ eller $\,\cos(v + v)\,$ och använda additionsformlerna ovan och få

$$\eqalign{\sin 2v &= 2 \sin v \cos v\,\mbox{,}\cr \cos 2v &= \cos^2\!v – \sin^2\!v \,\mbox{.}\cr}$$

Ur dessa samband kan vi sedan få fram formler för halva vinkeln. Genom att byta ut $\,2v\,$ mot $\,v\,$, och följdaktligen $\,v\,$ mot $\,v/2\,$, i formeln för $\,\cos 2v\,$ får vi att $$\cos v = \cos^2\!\frac{v}{2} – \sin^2\!\frac{v}{2}\,\mbox{.}$$

Vill vi ha en formel för $\,\sin(v/2)\,$ så använder vi därefter den trigonometriska ettan för att bli av med $\,\cos^2(v/2)$ $$\cos v = 1 – \sin^2\!\frac{v}{2}\, – \sin^2\!\frac{v}{2} = 1 – 2\sin^2\!\frac{v}{2}$$

dvs.

$$ \sin^2\!\frac{v}{2} = \frac{1 – \cos v}{2}\,\mbox{.}$$

På motsvarande sätt kan vi med den trigonometriska ettan göra oss av med $\,\sin^2(v/2)\,$. Då får vi istället

$$\cos^2\!\frac{v}{2}= \frac{1 + \cos v}{2}\,\mbox{.}$$

Övningar

Råd för inläsning

Grund- och slutprov

Efter att du har läst texten och arbetat med övningarna ska du göra grund- och slutprovet för att bli godkänd på detta avsnitt. Du hittar länken till proven i din student lounge.

Tänk på att:

Enhetscirkeln är ett ovärderligt hjälpmedel för att hitta trigonometriska samband. Sådana finns det gott om och det är ingen idé att försöka lära sig alla utantill. Det är också tidsödande att behöva slå upp och leta fram dem hela tiden. Därför är det mycket bättre att du lär dig använda enhetscirkeln.

Den allra mest kända trigonometriska formeln är den s k trigonometriska ettan. Den gäller för alla vinklar, inte bara för spetsiga. Den hänger ihop med Pythagoras sats.

Lästips

för dig som vill fördjupa dig ytterligare eller behöver en längre förklaring vill vi tipsa om:

Läs mer om trigonometriska formler i Theducations gymnasielexikon

Läs mer om area-, sinus och cosinussatserna i Theducations gymnasielexikon

Läs mer om trigonometri i Bruno Kevius matematiska ordlista

Länktips

Experimentera med cosinus "lådan"

Testa dig själv i trigonometri - slå ditt eget ekord

Den här artikeln är hämtad från http://wiki.math.se/wikis/sf0600_0701/index.php/4.3_Trigonometriska_samband

4.3 Trigonometriska samband

Sommarmatte 1

Nuvarande version

[redigera] Teori

[redigera] Trigonometriska ettan

[redigera] Symmetrier

[redigera] Additions- och subtraktionsformlerna och formler för dubbla vinkeln

Visningar

Personliga verktyg

Navigering

Sök

Verktygslåda

+__NOTOC__
 <table><tr><td width="600">
-=4.3 Trigonometriska samband=
 <div class="inforuta">
 '''Innehåll:'''
-*Trigonometriska samband
+*Trigonometriska ettan
+*Formeln för dubbla och halva vinkeln
+*Additions- och subtraktionsformlerna
 </div>
 <div class="inforuta">
-'''Läromål:'''
+'''Lärandemål:'''
 Efter detta avsnitt ska du ha lärt dig att:
-*Härleda trigonometriska samband från symmetrier i enhetscirkeln
+*Härleda trigonometriska samband från symmetrier i enhetscirkeln.
-*Skriva upp (utantill) och använda följande trigonometriska samband; trigonometriska ettan, additions- och subtraktionsformler,  dubbla och halva vinkeln
+*Förenkla trigonometriska uttryck med hjälp av de trigonometriska sambanden.
 </div>
 =Teori=
-Det finns en mängd trigonometriska samband, med vilka man kan översätta mellan sinus-, cosinus- och tangens-värden för en vinkel eller multiplar av en vinkel. Dessa brukar också kallas trigonometriska identiteter, eftersom de endast är olika sätt att beskriva ett och samma uttryck med hjälp av olika trigonometriska funktioner. Här kommer vi att beskriva några av dessa trigonometriskan samband. Det finns många fler än vi kan behandla här. De flesta kan härledas utifrån den s k '''trigonometriska ettan''' och additionsformlerna (se nedan), vilka är viktiga att kunna utantill.
+Det finns en mängd trigonometriska samband, med vilka man kan översätta mellan sinus-, cosinus- och tangensvärden för en vinkel eller multiplar av en vinkel. Dessa brukar också kallas trigonometriska identiteter, eftersom de endast är olika sätt att beskriva ett och samma uttryck med hjälp av olika trigonometriska funktioner. Här kommer vi att beskriva några av dessa trigonometriska samband. Det finns många fler än vi kan behandla här. De flesta kan härledas utifrån den s k '''trigonometriska ettan''' och additionsformlerna (se nedan), vilka är viktiga att kunna utantill.
 [[Bild:3_4_01.gif|right]]
-===Trigometriska ettan===
+===Trigonometriska ettan===
-Detta samband är det mest grundläggande, men är i själva verket ingenting annat än Pythagoras sats, tillämpad i enhetscirkeln. Den rätvinkliga triangeln (blå) nedan visar att
+Detta samband är det mest grundläggande, men är i själva verket ingenting annat än Pythagoras sats, tillämpad i enhetscirkeln. Den rätvinkliga triangeln till höger visar att
-$(\sin v)^2 + (\cos v)^2 = 1$,
+$$(\sin v)^2 + (\cos v)^2 = 1\,\mbox{,}$$
-vilket brukar skrivas $ \sin^2 v + \cos^2 v = 1$.
+vilket brukar skrivas $\,\sin^2\!v + \cos^2\!v = 1\,$.
 ===Symmetrier===
 Med hjälp av enhetscirkeln och spegling kan man tack vare de trigonometriska funktionernas symmetrier hitta en stor mängd samband mellan cosinus och sinus.
 <div class="regel">
-{| class="wikitable" STYLE="background:#E0D1DE;"
+$$\eqalign{\cos (-v) &= \cos v\vphantom{\Bigl(}\cr \sin (-v) &= - \sin v\vphantom{\Bigl(}\cr \cos (\pi-v) &= - \cos v\vphantom{\Bigl(}\cr \sin (\pi-v) &= \sin v\vphantom{\Bigl(}\cr}\qquad\quad \eqalign{\cos \Bigl(\displaystyle \frac{\pi}{2} -v \Bigr) &= \sin v\cr \sin \Bigl(\displaystyle \frac{\pi}{2} -v \Bigr) &= \cos v\cr \cos \Bigl(v + \displaystyle \frac{\pi}{2} \Bigr) &= - \sin v\cr \sin \Bigl( v + \displaystyle \frac{\pi}{2} \Bigr) &= \cos v\cr}$$
-| $\cos (-v) = \cos v$  ||$\quad \quad \quad \quad \quad \quad$ || $\cos \left(\displaystyle \frac{\pi}{2} -v \right) = \sin v$
-|-
-| $\sin (-v) = - \sin v$  || || $\sin \left(\displaystyle \frac{\pi}{2} -v \right) = \cos v$
-|-
-|
-|-
-|
-|-
-| $\cos (\pi-v) = - \cos v$  ||  || $\cos \left(v + \displaystyle \frac{\pi}{2} \right) = - \sin v$
-|-
-| $\sin (\pi-v) = \sin v$  || || $\sin \left( v + \displaystyle \frac{\pi}{2} \right) = \cos v$
-|}
 </div>
 Istället för att försöka lära sig alla dessa samband utantill kan det vara bättre att lära sig härleda dem i enhetscirkeln.
-<u> Spegling i $x$-axeln </u>
+'''Spegling i ''x''-axeln'''
 {|
 |-
 | width=50% valign=top |
 [[Bild:3_4_03.gif]]
-| width=50% valign=top |
+| width=45% valign=top |
 <br>
-När en vinkel $v$ speglas i $x$-axeln blir den $-v$.
+När en vinkel $\,v\,$ speglas i ''x''-axeln blir den $\,-v\,$.
+Speglingen påverkar inte ''x''-koordinaten medan ''y''-koordinaten byter tecken
+$$\eqalign{\cos(-v) &= \cos v\,\mbox{,}\cr \sin (-v) &= - \sin v\,\mbox{.}\cr}$$
+| width=5% valign=top |
-Speglingen påverkar inte $x$-koordinaten medan $y$-koordinaten byter tecken
-$$\cos(-v) = \cos v$$
-$$\sin (-v) = - \sin v$$
 |}
-<u> Spegling i $y$-axeln </u>
+'''Spegling i ''y''-axeln'''
 {|
 |-
 | width=50% valign=top |
-Bild: figur 3.4.1
+[[Bild:t_3_4_1.gif]]
-| width=50% valign=top |
+| width=45% valign=top |
 <br>
-Vid spegling i $y$-axeln ändras vinkeln $v$ till $\pi-v$ (spegelbilden bildar vinkeln $v$ mot den negativa $x$-axeln).
+Vid spegling i ''y''-axeln ändras vinkeln $\,v\,$ till $\,\pi-v\,$ (spegelbilden bildar vinkeln $\,v\,$ mot den negativa ''x''-axeln).
-Speglingen påverkar inte $y$-koordinaten medan $x$-koordinaten byter tecken
+Speglingen påverkar inte ''y''-koordinaten medan ''x''-koordinaten byter tecken
-$$\cos(\pi-v) = -\cos v$$
+$$\eqalign{\cos(\pi-v) &= -\cos v\,\mbox{,}\cr \sin (\pi-v) &= \sin v\,\mbox{.}\cr}$$
-$$\sin (\pi-v) = \sin v$$
+| width=5% valign=top |
 |}
-<u> Spegling i linjen $y=x$ </u>
+'''Spegling i linjen ''y = x'' '''
 {|
 |-
 | width=50% valign=top |
 [[Bild:3_4_05.gif‎]]
-| width=50% valign=top |
+| width=45% valign=top |
 <br>
-Vinkeln $v$ ändras till vinkeln $\displaystyle \frac{\pi}{2} - v$
+Vinkeln $\,v\,$ ändras till vinkeln $\,\pi/2 - v\,$ (spegelbilden bildar vinkeln $\,v\,$ mot den positiva ''y''-axeln).
-(spegelbilden bildar vinkeln $v$ mot den postiva $y$-axeln).
+Speglingen gör att ''x''- och ''y''-koordinaterna byter plats
+$$\eqalign{\cos \Bigl(\frac{\pi}{2} - v \Bigr) &= \sin v\,\mbox{.}\cr \sin \Bigl(\frac{\pi}{2} - v \Bigr) &= \cos v\,\mbox{.}\cr}$$
+| width=5% valign=top |
-Speglingen gör att $x$-koordinaterna byter plats
-$$\cos \left(\frac{\pi}{2} - v \right) = \sin v$$
-$$\sin \left(\frac{\pi}{2} - v \right) = \cos v$$
 |}
-<u> Spegling i $x$-axeln </u>
+'''Vridning med vinkeln $\,\mathbf{\pi/2}\,$'''
 {|
 |-
 | width=50% valign=top |
-Bild: figur 3.4.2
+[[Bild:t_3_4_2.gif]]
-| width=50% valign=top |
+| width=40% valign=top |
 <br>
-En vridning $\displaystyle \frac{\pi}{2}$ av vinkeln $v$ betyder att vinkeln blir $v+ \displaystyle\frac{\pi}{2}$.
+En vridning $\,\pi/2\,$ av vinkeln $\,v\,$ betyder att vinkeln blir $\,v+ \pi/2\,$.
+Vridningen gör att ''x''-koordinaten blir ny ''y''-koordinat och ''y''-koordinaten blir ny ''x''-koordinat fast med omvänt tecken
+$$\eqalign{\cos \Bigl(v+\frac{\pi}{2}\Bigr) &= -\sin v\,\mbox{,}\cr \sin \Bigl(v+\frac{\pi}{2} \Bigr) &= \cos v\,\mbox{.}}$$
+| width=10% valign=top |
-Vridningen gör att $x$-koordinaten blir ny $y$-koordinat och $y$-koordinaten blir ny $x$-koordinat fast med omvänt tecken
-$$\cos \left(v+ \frac{\pi}{2}\right) = -\sin v$$
-$$\sin \left(v+ \frac{\pi}{2} \right) = \cos v$$
 |}
-Alternativt kan man få dessa samband genom att spegla och/eller förskjuta graferna. Om man exempelvis vill ha ett samband där $\cos v$ uttrycks med hjälp av sinus så kan man förskjuta grafen så att sinuskurvan passar. Detta kan göras på flera olika sätt, men mest naturligt faller sig att skriva $\cos v = \sin (v + \pi / 2)$. För att undvika misstag kan man kontrollera att det stämmer för några olika värden på ''v''.
-[[Bild:766669.gif‎ |center]]
+Alternativt kan man få fram dessa samband genom att spegla och/eller förskjuta graferna. Om man exempelvis vill ha ett samband där $\,\cos v\,$ uttrycks med hjälp av sinus så kan man förskjuta grafen för cosinus så att den passar med sinuskurvan. Detta kan göras på flera olika sätt, men mest naturligt faller det sig att skriva $\,\cos v = \sin (v + \pi / 2)\,$. För att undvika misstag kan man kontrollera att det stämmer för några olika värden på $\,v\,$.
+[[Bild:766669.gif‎||center]]
-Kontroll: $\cos 0 = \sin (0 + \pi / 2)$
+Kontroll: $\ \cos 0 = \sin (0 + \pi / 2)=1\,$.
 ==Additions- och subtraktionsformlerna och formler för dubbla vinkeln==
-Ofta behöver man behandla uttryck där två eller flera vinklar är inblandade, t.ex. $\sin(u+v)$. Man behöver då de s.k. additionsformlerna. För sinus och cosinus ser de ut så här:
+Ofta behöver man behandla uttryck där två eller flera vinklar är inblandade, t.ex. $\,\sin(u+v)\,$. Man behöver då de s.k. additionsformlerna. För sinus och cosinus har formlerna utseendet
-$$\sin(u + v) = \sin u\,\cos v + \cos u\,\sin v$$
+<div class="regel">
-$$\sin(u – v) = \sin u\,\cos v – \cos u\,\sin v$$
+$$\eqalign{\sin(u + v) &= \sin u\,\cos v + \cos u\,\sin v\,\mbox{,}\cr \sin(u – v) &= \sin u\,\cos v – \cos u\,\sin v\,\mbox{,}\cr \cos(u + v) &= \cos u\,\cos v – \sin u\,\sin v\,\mbox{,}\cr \cos(u – v) &= \cos u\,\cos v + \sin u\,\sin v\,\mbox{.}\cr}$$
-$$\cos(u + v) = \cos u\,\cos v – \sin u\,\sin v$$
+</div>
-$$\cos(u – v) = \cos u\,\cos v + \sin u\,\sin v$$
+Om man vill veta sinus eller cosinus för dubbla vinkeln, dvs $\,\sin 2v\,$ eller $\,\cos 2v\,$, så kan man skriva uttrycken som $\,\sin(v + v)\,$ eller $\,\cos(v + v)\,$ och använda additionsformlerna ovan och få
-Om man vill veta sinus eller cosinus för dubbla vinkeln, dvs $\sin 2v$ eller $\cos 2v$, så kan man genom att skriva $\sin(v + v)$ eller $\cos(v + v)$ och använda additionsformlerna ovan få följande formler för dubbla vinkeln:
+<div class="regel">
+$$\eqalign{\sin 2v &= 2 \sin v \cos v\,\mbox{,}\cr \cos 2v &= \cos^2\!v – \sin^2\!v \,\mbox{.}\cr}$$
+</div>
-$$\sin 2v = 2 \sin v \cos v \; \mbox{,}$$
+Ur dessa samband kan vi sedan få fram formler för halva vinkeln. Genom att byta ut $\,2v\,$ mot $\,v\,$, och följdaktligen $\,v\,$ mot $\,v/2\,$, i formeln för $\,\cos 2v\,$ får vi att
-$$\cos 2v = \cos^2 v – \sin^2 v \; \mbox{.}$$
+$$\cos v = \cos^2\!\frac{v}{2} – \sin^2\!\frac{v}{2}\,\mbox{.}$$
+Vill vi ha en formel för $\,\sin(v/2)\,$ så använder vi därefter den trigonometriska ettan för att bli av med $\,\cos^2(v/2)$
+$$\cos v = 1 – \sin^2\!\frac{v}{2}\, – \sin^2\!\frac{v}{2} = 1 – 2\sin^2\!\frac{v}{2}$$
-Ur detta kan vi få formler för halva vinkeln. Genom att byta ut $2v$ mot $v$, och följdaktligen $v$ mot $v/2$, i formeln för $\cos 2v$ får vi
+dvs.
-$$\cos v = \cos^2 \frac{v}{2} – \sin^2 \frac{v}{2}\; \mbox{.}$$
+<div class="regel">
+$$ \sin^2\!\frac{v}{2} = \frac{1 – \cos v}{2}\,\mbox{.}$$
+</div>
+På motsvarande sätt kan vi med den trigonometriska ettan göra oss av med $\,\sin^2(v/2)\,$. Då får vi istället
-Vill vi ha en formel för $\displaystyle\sin\frac{v}{2}$ så använder vi sedan den trigonometriska ettan för att bli av med $\displaystyle\cos^2\frac{v}{2}$
+<div class="regel">
+$$\cos^2\!\frac{v}{2}= \frac{1 + \cos v}{2}\,\mbox{.}$$
+</div>
-$$\cos v = 1 – \sin^2 \frac{v}{2} – \sin^2\frac{v}{2} = 1 – 2\sin^2 \frac{v}{2}$$
+[[4.3 Övningar|Övningar]]
-d.v.s.
-$$ \sin^2\frac{v}{2} = \frac{1 – \cos v}{2}\; \mbox{.}$$
+<div class="inforuta">
+'''Råd för inläsning'''
+'''Grund- och slutprov'''
-På motsvarande sätt kan vi med trigonometriska ettan göra oss av med $\displaystyle\sin^2\frac{v}{2}$. Då får vi istället
+Efter att du har läst texten och arbetat med övningarna ska du göra grund- och slutprovet för att bli godkänd på detta avsnitt. Du hittar länken till proven i din student lounge.
-$$\cos^2\frac{v}{2}= \frac{1 + \cos v}{2}\; \mbox{.}$$
-<div class="inforuta">
-'''Råd för inläsning'''
 '''Tänk på att:'''
 </div>
-'''© Copyright 2006, KTH Matematik'''
 <!-- slut teori -->