2.3 Övningar
Sommarmatte 1
(Skillnad mellan versioner)
| Versionen från 28 april 2007 kl. 18.30 (redigera) Ossiang (Diskussion | bidrag) (→Övning 2.2:1) ← Gå till föregående ändring |
Nuvarande version (31 maj 2007 kl. 07.01) (redigera) (ogör) KTH.SE:u1rp004j (Diskussion | bidrag) |
||
| (35 mellanliggande versioner visas inte.) | |||
| Rad 1: | Rad 1: | ||
| + | |||
| ==Övning 2.3:1== | ==Övning 2.3:1== | ||
| Rad 4: | Rad 5: | ||
| Kvadratkomplettera följande uttryck | Kvadratkomplettera följande uttryck | ||
| <table width="100%" cellspacing="10px"> | <table width="100%" cellspacing="10px"> | ||
| - | <tr><td height="5px"/></tr> | ||
| <tr align="left"> | <tr align="left"> | ||
| <td class="ntext">a)</td> | <td class="ntext">a)</td> | ||
| - | <td class="ntext">$x^2-2x$</td> | + | <td class="ntext" width="25%">$x^2-2x$</td> |
| <td class="ntext">b)</td> | <td class="ntext">b)</td> | ||
| - | <td class="ntext">$x^2+2x-1$</td> | + | <td class="ntext" width="25%">$x^2+2x-1$</td> |
| <td class="ntext">c)</td> | <td class="ntext">c)</td> | ||
| - | <td class="ntext">$5+2x-x^2$</td> | + | <td class="ntext" width="25%">$5+2x-x^2$</td> |
| <td class="ntext">d)</td> | <td class="ntext">d)</td> | ||
| - | <td class="ntext">$x^2+5x+3$</td> | + | <td class="ntext" width="25%">$x^2+5x+3$</td> |
| </tr> | </tr> | ||
| <tr><td height="5px"/></tr> | <tr><td height="5px"/></tr> | ||
| Rad 22: | Rad 22: | ||
| <div class=NavHead>Facit </div> | <div class=NavHead>Facit </div> | ||
| <div class=NavContent> | <div class=NavContent> | ||
| - | Facit till alla delfrågorna<br \> | + | Facit till alla delfrågor<br \> |
| <table width="100%" cellspacing="10px"> | <table width="100%" cellspacing="10px"> | ||
| - | <tr><td height="5px"/></tr> | ||
| <tr align="left"> | <tr align="left"> | ||
| <td class="ntext">a)</td> | <td class="ntext">a)</td> | ||
| - | <td class="ntext">$(x-1)^2-1$</td> | + | <td class="ntext" width="25%">$(x-1)^2-1$</td> |
| <td class="ntext">b)</td> | <td class="ntext">b)</td> | ||
| - | <td class="ntext">$(x+1)^2-2$</td> | + | <td class="ntext" width="25%">$(x+1)^2-2$</td> |
| <td class="ntext">c)</td> | <td class="ntext">c)</td> | ||
| - | <td class="ntext">$-(x-1)^2+6$</td> | + | <td class="ntext" width="25%">$-(x-1)^2+6$</td> |
| <td class="ntext">d)</td> | <td class="ntext">d)</td> | ||
| - | <td class="ntext">$\left(x+\displaystyle \frac{5}{2}\right)^2-\displaystyle \frac{13}{4}$</td> | + | <td class="ntext" width="25%">$\bigl(x+\frac{5}{2}\bigr)^2-\frac{13}{4}$</td> |
| </tr> | </tr> | ||
| <tr><td height="5px"/></tr> | <tr><td height="5px"/></tr> | ||
| Rad 41: | Rad 40: | ||
| <div class=NavFrame style="CLEAR: both"> | <div class=NavFrame style="CLEAR: both"> | ||
| - | <div class=NavHead>Lösning a </div> | + | <div class=NavHead>Lösning a) </div> |
| <div class=NavContent> | <div class=NavContent> | ||
| - | Lösning till delfråga a<br \>[[Bild:2_3_1a.gif]] | + | Lösning till delfråga a) |
| + | <table width="100%" cellspacing="10px"> | ||
| + | <tr> | ||
| + | <td align="center"> | ||
| + | [[Bild:2_3_1a.gif]] | ||
| + | </td> | ||
| + | </tr> | ||
| + | </table> | ||
| </div> | </div> | ||
| </div> | </div> | ||
| <div class=NavFrame style="CLEAR: both"> | <div class=NavFrame style="CLEAR: both"> | ||
| - | <div class=NavHead>Lösning b </div> | + | <div class=NavHead>Lösning b) </div> |
| <div class=NavContent> | <div class=NavContent> | ||
| - | Lösning till delfråga b<br \>[[Bild:2_3_1b.gif]] | + | Lösning till delfråga b) |
| + | <table width="100%" cellspacing="10px"> | ||
| + | <tr> | ||
| + | <td align="center"> | ||
| + | [[Bild:2_3_1b.gif]] | ||
| + | </td> | ||
| + | </tr> | ||
| + | </table> | ||
| </div> | </div> | ||
| </div> | </div> | ||
| <div class=NavFrame style="CLEAR: both"> | <div class=NavFrame style="CLEAR: both"> | ||
| - | <div class=NavHead>Lösning c </div> | + | <div class=NavHead>Lösning c) </div> |
| <div class=NavContent> | <div class=NavContent> | ||
| - | Lösning till delfråga c<br \>[[Bild:2_3_1c.gif]] | + | Lösning till delfråga c) |
| + | <table width="100%" cellspacing="10px"> | ||
| + | <tr> | ||
| + | <td align="center"> | ||
| + | [[Bild:2_3_1c.gif]] | ||
| + | </td> | ||
| + | </tr> | ||
| + | </table> | ||
| </div> | </div> | ||
| </div> | </div> | ||
| <div class=NavFrame style="CLEAR: both"> | <div class=NavFrame style="CLEAR: both"> | ||
| - | <div class=NavHead>Lösning d </div> | + | <div class=NavHead>Lösning d) </div> |
| <div class=NavContent> | <div class=NavContent> | ||
| - | Lösning till delfråga d<br \>[[Bild:2_3_1d.gif]] | + | Lösning till delfråga d) |
| + | <table width="100%" cellspacing="10px"> | ||
| + | <tr> | ||
| + | <td align="center"> | ||
| + | [[Bild:2_3_1d.gif]] | ||
| + | </td> | ||
| + | </tr> | ||
| + | </table> | ||
| </div> | </div> | ||
| </div> | </div> | ||
| - | ==Övning 2.2:2== | + | ==Övning 2.3:2== |
| <div class="ovning"> | <div class="ovning"> | ||
| Lös följande andragradsekvationer med kvadratkomplettering | Lös följande andragradsekvationer med kvadratkomplettering | ||
| + | <table width="100%" cellspacing="10px"> | ||
| + | <tr align="left"> | ||
| + | <td class="ntext">a)</td> | ||
| + | <td class="ntext" width="33%">$x^2-4x+3=0$</td> | ||
| + | <td class="ntext">b)</td> | ||
| + | <td class="ntext" width="33%">$y^2+2y-15=0$</td> | ||
| + | <td class="ntext">c)</td> | ||
| + | <td class="ntext" width="33%">$y^2+3y+4=0$</td> | ||
| + | </tr> | ||
| + | <tr align="left"> | ||
| + | <td class="ntext">d)</td> | ||
| + | <td class="ntext" width="33%">$4x^2-28x+13=0$</td> | ||
| + | <td class="ntext">e)</td> | ||
| + | <td class="ntext" width="33%">$5x^2+2x-3=0$</td> | ||
| + | <td class="ntext">f)</td> | ||
| + | <td class="ntext" width="33%">$3x^2-10x+8=0$</td> | ||
| + | </tr> | ||
| + | <tr><td height="5px"/></tr> | ||
| + | </table> | ||
| + | </div> | ||
| + | |||
| + | <div class=NavFrame style="CLEAR: both"> | ||
| + | <div class=NavHead>Facit </div> | ||
| + | <div class=NavContent> | ||
| + | Facit till alla delfrågor<br \> | ||
| <table width="100%" cellspacing="10px"> | <table width="100%" cellspacing="10px"> | ||
| <tr><td height="5px"/></tr> | <tr><td height="5px"/></tr> | ||
| <tr align="left"> | <tr align="left"> | ||
| <td class="ntext">a)</td> | <td class="ntext">a)</td> | ||
| - | <td class="ntext">$x^2-4x+3=0$</td> | + | <td class="ntext" width="33%">$\left\{ \eqalign{ x_1 &= 1 \cr x_2 &= 3\cr }\right.$</td> |
| <td class="ntext">b)</td> | <td class="ntext">b)</td> | ||
| - | <td class="ntext">$y^2+2y-15=0$</td> | + | <td class="ntext" width="33%">$\left\{ \eqalign{ y_1 &= -5 \cr y_2 &= 3\cr }\right.$</td> |
| <td class="ntext">c)</td> | <td class="ntext">c)</td> | ||
| - | <td class="ntext">$y^2+3y+4=0$</td> | + | <td class="ntext" width="33%"> saknar (reella) lösning</td> |
| + | </tr> | ||
| + | <tr align="left"> | ||
| + | <td class="ntext">d)</td> | ||
| + | <td class="ntext" width="33%">$ \left\{ \eqalign{ x_1 &= \textstyle\frac{1}{2}\cr x_2 &= \textstyle\frac{13}{2}\cr }\right.$</td> | ||
| + | <td class="ntext">e)</td> | ||
| + | <td class="ntext" width="33%">$\left\{ \eqalign{ x_1 &= -1 \cr x_2 &= \textstyle\frac{3}{5}\cr }\right.$</td> | ||
| + | <td class="ntext">f)</td> | ||
| + | <td class="ntext" width="33%">$ \left\{ \eqalign{ x_1 &= \textstyle\frac{4}{3}\cr x_2 &= 2\cr }\right.$</td> | ||
| </tr> | </tr> | ||
| <tr><td height="5px"/></tr> | <tr><td height="5px"/></tr> | ||
| + | </table> | ||
| + | </div> | ||
| + | </div> | ||
| + | |||
| + | <div class=NavFrame style="CLEAR: both"> | ||
| + | <div class=NavHead>Lösning a) </div> | ||
| + | <div class=NavContent> | ||
| + | Lösning till delfråga a) | ||
| + | <table width="100%" cellspacing="10px"> | ||
| + | <tr> | ||
| + | <td align="center"> | ||
| + | [[Bild:2_3_2a.gif]] | ||
| + | </td> | ||
| + | </tr> | ||
| + | </table> | ||
| + | </div> | ||
| + | |||
| + | </div> | ||
| + | <div class=NavFrame style="CLEAR: both"> | ||
| + | <div class=NavHead>Lösning b) </div> | ||
| + | <div class=NavContent> | ||
| + | Lösning till delfråga b) | ||
| + | <table width="100%" cellspacing="10px"> | ||
| + | <tr> | ||
| + | <td align="center"> | ||
| + | [[Bild:2_3_2b.gif]] | ||
| + | </td> | ||
| + | </tr> | ||
| + | </table> | ||
| + | </div> | ||
| + | |||
| + | </div> | ||
| + | <div class=NavFrame style="CLEAR: both"> | ||
| + | <div class=NavHead>Lösning c) </div> | ||
| + | <div class=NavContent> | ||
| + | Lösning till delfråga c) | ||
| + | <table width="100%" cellspacing="10px"> | ||
| + | <tr> | ||
| + | <td align="center"> | ||
| + | [[Bild:2_3_2c.gif]] | ||
| + | </td> | ||
| + | </tr> | ||
| + | </table> | ||
| + | </div> | ||
| + | </div> | ||
| + | |||
| + | <div class=NavFrame style="CLEAR: both"> | ||
| + | <div class=NavHead>Lösning d) </div> | ||
| + | <div class=NavContent> | ||
| + | Lösning till delfråga d) | ||
| + | <table width="100%" cellspacing="10px"> | ||
| + | <tr> | ||
| + | <td align="center"> | ||
| + | [[Bild:2_3_2d.gif]] | ||
| + | </td> | ||
| + | </tr> | ||
| + | </table> | ||
| + | </div> | ||
| + | </div> | ||
| + | |||
| + | <div class=NavFrame style="CLEAR: both"> | ||
| + | <div class=NavHead>Lösning e) </div> | ||
| + | <div class=NavContent> | ||
| + | Lösning till delfråga e) | ||
| + | <table width="100%" cellspacing="10px"> | ||
| + | <tr> | ||
| + | <td align="center"> | ||
| + | [[Bild:2_3_2e.gif]] | ||
| + | </td> | ||
| + | </tr> | ||
| + | </table> | ||
| + | </div> | ||
| + | </div> | ||
| + | |||
| + | <div class=NavFrame style="CLEAR: both"> | ||
| + | <div class=NavHead>Lösning f) </div> | ||
| + | <div class=NavContent> | ||
| + | Lösning till delfråga f) | ||
| + | <table width="100%" cellspacing="10px"> | ||
| + | <tr> | ||
| + | <td align="center"> | ||
| + | [[Bild:2_3_2f.gif]] | ||
| + | </td> | ||
| + | </tr> | ||
| + | </table> | ||
| + | </div> | ||
| + | </div> | ||
| + | |||
| + | ==Övning 2.3:3== | ||
| + | |||
| + | <div class="ovning"> | ||
| + | Lös följande ekvationer direkt | ||
| + | <table width="100%" cellspacing="10px"> | ||
| <tr align="left"> | <tr align="left"> | ||
| + | <td class="ntext">a)</td> | ||
| + | <td class="ntext" width="50%">$x(x+3)=0$</td> | ||
| + | <td class="ntext">b)</td> | ||
| + | <td class="ntext" width="50%">$(x-3)(x+5)=0$</td> | ||
| + | </tr> | ||
| + | <tr align="left"> | ||
| + | <td class="ntext">c)</td> | ||
| + | <td class="ntext" width="50%">$5(3x-2)(x+8)=0$</td> | ||
| <td class="ntext">d)</td> | <td class="ntext">d)</td> | ||
| - | <td class="ntext">$4x^2-28x+13=0$</td> | + | <td class="ntext" width="50%">$x(x+3)-x(2x-9)=0$</td> |
| + | </tr> | ||
| + | <tr align="left"> | ||
| <td class="ntext">e)</td> | <td class="ntext">e)</td> | ||
| - | <td class="ntext">$5x^2+2x-3=0$</td> | + | <td class="ntext" width="50%">$(x+3)(x-1)-(x+3)(2x-9)=0$</td> |
| <td class="ntext">f)</td> | <td class="ntext">f)</td> | ||
| - | <td class="ntext">$3x^2-10x+8=0$</td> | + | <td class="ntext" width="50%">$x(x^2-2x)+x(2-x)=0$</td> |
| </tr> | </tr> | ||
| <tr><td height="5px"/></tr> | <tr><td height="5px"/></tr> | ||
| Rad 98: | Rad 261: | ||
| <div class=NavHead>Facit </div> | <div class=NavHead>Facit </div> | ||
| <div class=NavContent> | <div class=NavContent> | ||
| - | Facit till alla delfrågorna<br \> | + | Facit till alla delfrågor<br \> |
| + | <table width="100%" cellspacing="10px"> | ||
| + | <tr align="left"> | ||
| + | <td class="ntext">a)</td> | ||
| + | <td class="ntext" width="50%">$\left\{ \eqalign{ x_1 &= 0 \cr x_2 & = -3\cr }\right.$</td> | ||
| + | <td class="ntext">b)</td> | ||
| + | <td class="ntext" width="50%">$\left\{ \eqalign{ x_1 &= 3 \cr x_2 & = -5\cr }\right. $</td> | ||
| + | </tr> | ||
| + | <tr align="left"> | ||
| + | <td class="ntext">c)</td> | ||
| + | <td class="ntext" width="50%">$\left\{ \eqalign{ x_1 & = \textstyle\frac{2}{3} \cr x_2 & = -8\cr }\right. $</td> | ||
| + | <td class="ntext">d)</td> | ||
| + | <td class="ntext" width="50%">$\left\{ \eqalign{ x_1 & = 0\cr x_2 & = 12\cr }\right. $</td> | ||
| + | </tr> | ||
| + | <tr align="left"> | ||
| + | <td class="ntext">e)</td> | ||
| + | <td class="ntext" width="50%">$\left\{ \eqalign{ x_1 & = -3 \cr x_2 & = 8\cr }\right. $</td> | ||
| + | <td class="ntext">f)</td> | ||
| + | <td class="ntext" width="50%">$\left\{ \eqalign{ x_1 & = 0 \cr x_2 & = 1 \cr x_3 & = 2 }\right. $</td> | ||
| + | </tr> | ||
| + | <tr><td height="5px"/></tr> | ||
| + | </table> | ||
| + | </div> | ||
| + | </div> | ||
| + | <div class=NavFrame style="CLEAR: both"> | ||
| + | <div class=NavHead>Lösning a) </div> | ||
| + | <div class=NavContent> | ||
| + | Lösning till delfråga a) | ||
| + | <table width="100%" cellspacing="10px"> | ||
| + | <tr> | ||
| + | <td align="center"> | ||
| + | [[Bild:2_3_3a.gif]] | ||
| + | </td> | ||
| + | </tr> | ||
| + | </table> | ||
| </div> | </div> | ||
| </div> | </div> | ||
| <div class=NavFrame style="CLEAR: both"> | <div class=NavFrame style="CLEAR: both"> | ||
| - | <div class=NavHead>Lösning </div> | + | <div class=NavHead>Lösning b) </div> |
| <div class=NavContent> | <div class=NavContent> | ||
| - | Lösning till delfråga <br \>[[Bild:]] | + | Lösning till delfråga b) |
| + | <table width="100%" cellspacing="10px"> | ||
| + | <tr> | ||
| + | <td align="center"> | ||
| + | [[Bild:2_3_3b.gif]] | ||
| + | </td> | ||
| + | </tr> | ||
| + | </table> | ||
| + | </div> | ||
| + | </div> | ||
| + | |||
| + | <div class=NavFrame style="CLEAR: both"> | ||
| + | <div class=NavHead>Lösning c) </div> | ||
| + | <div class=NavContent> | ||
| + | Lösning till delfråga c) | ||
| + | <table width="100%" cellspacing="10px"> | ||
| + | <tr> | ||
| + | <td align="center"> | ||
| + | [[Bild:2_3_3c.gif]] | ||
| + | </td> | ||
| + | </tr> | ||
| + | </table> | ||
| + | </div> | ||
| + | </div> | ||
| + | |||
| + | <div class=NavFrame style="CLEAR: both"> | ||
| + | <div class=NavHead>Lösning d) </div> | ||
| + | <div class=NavContent> | ||
| + | Lösning till delfråga d) | ||
| + | <table width="100%" cellspacing="10px"> | ||
| + | <tr> | ||
| + | <td align="center"> | ||
| + | [[Bild:2_3_3d.gif]] | ||
| + | </td> | ||
| + | </tr> | ||
| + | </table> | ||
| + | </div> | ||
| + | </div> | ||
| + | |||
| + | <div class=NavFrame style="CLEAR: both"> | ||
| + | <div class=NavHead>Lösning e) </div> | ||
| + | <div class=NavContent> | ||
| + | Lösning till delfråga e) | ||
| + | <table width="100%" cellspacing="10px"> | ||
| + | <tr> | ||
| + | <td align="center"> | ||
| + | [[Bild:2_3_3e.gif]] | ||
| + | </td> | ||
| + | </tr> | ||
| + | </table> | ||
| + | </div> | ||
| + | </div> | ||
| + | |||
| + | <div class=NavFrame style="CLEAR: both"> | ||
| + | <div class=NavHead>Lösning f) </div> | ||
| + | <div class=NavContent> | ||
| + | Lösning till delfråga f) | ||
| + | <table width="100%" cellspacing="10px"> | ||
| + | <tr> | ||
| + | <td align="center"> | ||
| + | [[Bild:2_3_3f.gif]] | ||
| + | </td> | ||
| + | </tr> | ||
| + | </table> | ||
| + | </div> | ||
| + | </div> | ||
| + | |||
| + | ==Övning 2.3:4== | ||
| + | |||
| + | <div class="ovning"> | ||
| + | Bestäm en andragradsekvation som har rötterna | ||
| + | <table width="100%" cellspacing="10px"> | ||
| + | <tr align="left"> | ||
| + | <td class="ntext">a)</td> | ||
| + | <td class="ntext" width="100%">$-1\ $ och $\ 2$</td> | ||
| + | </tr> | ||
| + | <tr align="left"> | ||
| + | <td class="ntext">b)</td> | ||
| + | <td class="ntext" width="100%">$1+\sqrt{3}\ $ och $\ 1-\sqrt{3}$</td> | ||
| + | </tr> | ||
| + | <tr align="left"> | ||
| + | <td class="ntext">c)</td> | ||
| + | <td class="ntext" width="100%">$3\ $ och $\ \sqrt{3}$</td> | ||
| + | </tr> | ||
| + | <tr><td height="5px"/></tr> | ||
| + | </table> | ||
| + | </div> | ||
| + | |||
| + | <div class=NavFrame style="CLEAR: both"> | ||
| + | <div class=NavHead>Facit </div> | ||
| + | <div class=NavContent> | ||
| + | Facit till alla delfrågor | ||
| + | <table width="100%" cellspacing="10px"> | ||
| + | <tr align="left"> | ||
| + | <td class="ntext">a)</td> | ||
| + | <td class="ntext" width="100%">$ax^2-ax-2a=0\,$, där $\,a\ne 0\,$ är en konstant.</td> | ||
| + | </tr> | ||
| + | <tr align="left"> | ||
| + | <td class="ntext">b)</td> | ||
| + | <td class="ntext" width="100%">$ax^2-2ax-2a=0\,$, där $\,a\ne 0\,$ är en konstant.</td> | ||
| + | </tr> | ||
| + | <tr align="left"> | ||
| + | <td class="ntext">c)</td> | ||
| + | <td class="ntext" width="100%">$ax^2-(3+\sqrt{3}\,)ax+3\sqrt{3}\,a=0\,$, där $\,a\ne 0\,$ är en konstant.</td> | ||
| + | </tr> | ||
| + | <tr><td height="5px"/></tr> | ||
| + | </table> | ||
| + | </div> | ||
| + | </div> | ||
| + | |||
| + | <div class=NavFrame style="CLEAR: both"> | ||
| + | <div class=NavHead>Lösning a) </div> | ||
| + | <div class=NavContent> | ||
| + | Lösning till delfråga a) | ||
| + | <table width="100%" cellspacing="10px"> | ||
| + | <tr> | ||
| + | <td align="center"> | ||
| + | [[Bild:2_3_4a-1(2).gif]] | ||
| + | </td> | ||
| + | </tr> | ||
| + | <tr> | ||
| + | <td align="center"> | ||
| + | [[Bild:2_3_4a-2(2).gif]] | ||
| + | </td> | ||
| + | </tr> | ||
| + | </table> | ||
| + | </div> | ||
| + | </div> | ||
| + | |||
| + | <div class=NavFrame style="CLEAR: both"> | ||
| + | <div class=NavHead>Lösning b) </div> | ||
| + | <div class=NavContent> | ||
| + | Lösning till delfråga b) | ||
| + | <table width="100%" cellspacing="10px"> | ||
| + | <tr> | ||
| + | <td align="center"> | ||
| + | [[Bild:2_3_4b-1(2).gif]] | ||
| + | </td> | ||
| + | </tr> | ||
| + | <tr> | ||
| + | <td align="center"> | ||
| + | [[Bild:2_3_4b-2(2).gif]] | ||
| + | </td> | ||
| + | </tr> | ||
| + | </table> | ||
| + | </div> | ||
| + | </div> | ||
| + | |||
| + | <div class=NavFrame style="CLEAR: both"> | ||
| + | <div class=NavHead>Lösning c) </div> | ||
| + | <div class=NavContent> | ||
| + | Lösning till delfråga c) | ||
| + | <table width="100%" cellspacing="10px"> | ||
| + | <tr> | ||
| + | <td align="center"> | ||
| + | [[Bild:2_3_4c.gif]] | ||
| + | </td> | ||
| + | </tr> | ||
| + | </table> | ||
| + | </div> | ||
| + | </div> | ||
| + | |||
| + | ==Övning 2.3:5== | ||
| + | |||
| + | <div class="ovning"> | ||
| + | <table width="100%" cellspacing="10px"> | ||
| + | <tr align="left"> | ||
| + | <td class="ntext">a)</td> | ||
| + | <td class="ntext" width="100%">Bestäm en andragradsekvation som bara har $\,-7\,$ som rot.</td> | ||
| + | </tr> | ||
| + | <tr> | ||
| + | <td class="ntext">b)</td> | ||
| + | <td class="ntext" width="100%">Bestäm ett värde på $\,x\,$ som gör att uttrycket $\,4x^2-28x+48\,$ är negativt.</td> | ||
| + | </tr> | ||
| + | <tr> | ||
| + | <td class="ntext">c)</td> | ||
| + | <td class="ntext" width="100%">Ekvationen $\,x^2+4x+b=0\,$ har en rot $\,x=1\,$. Bestäm värdet på konstanten $\,b\,$.</td> | ||
| + | </tr> | ||
| + | <tr><td height="5px"/></tr> | ||
| + | </table> | ||
| + | </div> | ||
| + | |||
| + | <div class=NavFrame style="CLEAR: both"> | ||
| + | <div class=NavHead>Facit </div> | ||
| + | <div class=NavContent> | ||
| + | Facit till alla delfrågor | ||
| + | <table width="100%" cellspacing="10px"> | ||
| + | <tr align="left"> | ||
| + | <td class="ntext">a)</td> | ||
| + | <td class="ntext" width="100%">Exempelvis $\ x^2+14x+49=0\,$.</td> | ||
| + | </tr> | ||
| + | <tr align="left"> | ||
| + | <td class="ntext">b)</td> | ||
| + | <td class="ntext" width="100%">$3< x<4$</td> | ||
| + | </tr> | ||
| + | <tr align="left"> | ||
| + | <td class="ntext">c)</td> | ||
| + | <td class="ntext" width="100%">$b=-5$</td> | ||
| + | </tr> | ||
| + | <tr><td height="5px"/></tr> | ||
| + | </table> | ||
| + | </div> | ||
| + | </div> | ||
| + | |||
| + | <div class=NavFrame style="CLEAR: both"> | ||
| + | <div class=NavHead>Lösning a </div> | ||
| + | <div class=NavContent> | ||
| + | Lösning till delfråga a) | ||
| + | <table width="100%" cellspacing="10px"> | ||
| + | <tr> | ||
| + | <td align="center"> | ||
| + | [[Bild:2_3_5a.gif]] | ||
| + | </td> | ||
| + | </tr> | ||
| + | </table> | ||
| + | </div> | ||
| + | </div> | ||
| + | |||
| + | <div class=NavFrame style="CLEAR: both"> | ||
| + | <div class=NavHead>Lösning b) </div> | ||
| + | <div class=NavContent> | ||
| + | Lösning till delfråga b) | ||
| + | <table width="100%" cellspacing="10px"> | ||
| + | <tr> | ||
| + | <td align="center"> | ||
| + | [[Bild:2_3_5b.gif]] | ||
| + | </td> | ||
| + | </tr> | ||
| + | </table> | ||
| + | </div> | ||
| + | </div> | ||
| + | |||
| + | <div class=NavFrame style="CLEAR: both"> | ||
| + | <div class=NavHead>Lösning c) </div> | ||
| + | <div class=NavContent> | ||
| + | Lösning till delfråga c) | ||
| + | <table width="100%" cellspacing="10px"> | ||
| + | <tr> | ||
| + | <td align="center"> | ||
| + | [[Bild:2_3_5c.gif]] | ||
| + | </td> | ||
| + | </tr> | ||
| + | </table> | ||
| + | </div> | ||
| + | </div> | ||
| + | |||
| + | ==Övning 2.3:6== | ||
| + | |||
| + | <div class="ovning"> | ||
| + | Bestäm det minsta värde som följande polynom antar | ||
| + | <table width="100%" cellspacing="10px"> | ||
| + | <tr align="left"> | ||
| + | <td class="ntext">a)</td> | ||
| + | <td class="ntext" width="33%">$x^2-2x+1$</td> | ||
| + | <td class="ntext">b)</td> | ||
| + | <td class="ntext" width="33%">$x^2-4x+2$</td> | ||
| + | <td class="ntext">c)</td> | ||
| + | <td class="ntext" width="33%">$x^2-5x+7$</td> | ||
| + | </tr> | ||
| + | <tr><td height="5px"/></tr> | ||
| + | </table> | ||
| + | |||
| + | </div> | ||
| + | |||
| + | <div class=NavFrame style="CLEAR: both"> | ||
| + | <div class=NavHead>Facit </div> | ||
| + | <div class=NavContent> | ||
| + | Facit till alla delfrågor | ||
| + | <table width="100%" cellspacing="10px"> | ||
| + | <tr align="left"> | ||
| + | <td class="ntext">a)</td> | ||
| + | <td class="ntext" width="33%">$0$</td> | ||
| + | <td class="ntext">b)</td> | ||
| + | <td class="ntext" width="33%">$-2$</td> | ||
| + | <td class="ntext">c)</td> | ||
| + | <td class="ntext" width="33%">$\displaystyle \frac{3}{4}$</td> | ||
| + | </tr> | ||
| + | <tr><td height="5px"/></tr> | ||
| + | </table> | ||
| + | </div> | ||
| + | </div> | ||
| + | |||
| + | <div class=NavFrame style="CLEAR: both"> | ||
| + | <div class=NavHead>Lösning a) </div> | ||
| + | <div class=NavContent> | ||
| + | Lösning till delfråga a) | ||
| + | <table width="100%" cellspacing="10px"> | ||
| + | <tr> | ||
| + | <td align="center"> | ||
| + | [[Bild:2_3_6a.gif]] | ||
| + | </td> | ||
| + | </tr> | ||
| + | </table> | ||
| + | </div> | ||
| + | </div> | ||
| + | |||
| + | <div class=NavFrame style="CLEAR: both"> | ||
| + | <div class=NavHead>Lösning b) </div> | ||
| + | <div class=NavContent> | ||
| + | Lösning till delfråga b) | ||
| + | <table width="100%" cellspacing="10px"> | ||
| + | <tr> | ||
| + | <td align="center"> | ||
| + | [[Bild:2_3_6b.gif]] | ||
| + | </td> | ||
| + | </tr> | ||
| + | </table> | ||
| + | </div> | ||
| + | </div> | ||
| + | |||
| + | <div class=NavFrame style="CLEAR: both"> | ||
| + | <div class=NavHead>Lösning c) </div> | ||
| + | <div class=NavContent> | ||
| + | Lösning till delfråga c) | ||
| + | <table width="100%" cellspacing="10px"> | ||
| + | <tr> | ||
| + | <td align="center"> | ||
| + | [[Bild:2_3_6c.gif]] | ||
| + | </td> | ||
| + | </tr> | ||
| + | </table> | ||
| + | </div> | ||
| + | </div> | ||
| + | |||
| + | ==Övning 2.3:7== | ||
| + | |||
| + | <div class="ovning"> | ||
| + | Bestäm det största värde som följande polynom antar | ||
| + | <table width="100%" cellspacing="10px"> | ||
| + | <tr align="left"> | ||
| + | <td class="ntext">a)</td> | ||
| + | <td class="ntext" width="33%">$1-x^2$</td> | ||
| + | <td class="ntext">b)</td> | ||
| + | <td class="ntext" width="33%">$-x^2+3x-4$</td> | ||
| + | <td class="ntext">c)</td> | ||
| + | <td class="ntext" width="33%">$x^2+x+1$</td> | ||
| + | </tr> | ||
| + | <tr><td height="5px"/></tr> | ||
| + | </table> | ||
| + | </div> | ||
| + | |||
| + | <div class=NavFrame style="CLEAR: both"> | ||
| + | <div class=NavHead>Facit </div> | ||
| + | <div class=NavContent> | ||
| + | Facit till alla delfrågor<br \> | ||
| + | <table width="100%" cellspacing="10px"> | ||
| + | <tr align="left"> | ||
| + | <td class="ntext">a)</td> | ||
| + | <td class="ntext" width="33%">$1$</td> | ||
| + | <td class="ntext">b)</td> | ||
| + | <td class="ntext" width="33%">$\displaystyle -\frac{7}{4}$</td> | ||
| + | <td class="ntext">c)</td> | ||
| + | <td class="ntext" width="33%">saknar max</td> | ||
| + | </tr> | ||
| + | <tr><td height="5px"/></tr> | ||
| + | </table> | ||
| + | </div> | ||
| + | </div> | ||
| + | |||
| + | <div class=NavFrame style="CLEAR: both"> | ||
| + | <div class=NavHead>Lösning a) </div> | ||
| + | <div class=NavContent> | ||
| + | Lösning till delfråga a) | ||
| + | <table width="100%" cellspacing="10px"> | ||
| + | <tr> | ||
| + | <td align="center"> | ||
| + | [[Bild:2_3_7a.gif]] | ||
| + | </td> | ||
| + | </tr> | ||
| + | </table> | ||
| + | </div> | ||
| + | </div> | ||
| + | |||
| + | <div class=NavFrame style="CLEAR: both"> | ||
| + | <div class=NavHead>Lösning b) </div> | ||
| + | <div class=NavContent> | ||
| + | Lösning till delfråga b) | ||
| + | <table width="100%" cellspacing="10px"> | ||
| + | <tr> | ||
| + | <td align="center"> | ||
| + | [[Bild:2_3_7b.gif]] | ||
| + | </td> | ||
| + | </tr> | ||
| + | </table> | ||
| + | </div> | ||
| + | </div> | ||
| + | |||
| + | <div class=NavFrame style="CLEAR: both"> | ||
| + | <div class=NavHead>Lösning c) </div> | ||
| + | <div class=NavContent> | ||
| + | Lösning till delfråga c) | ||
| + | <table width="100%" cellspacing="10px"> | ||
| + | <tr> | ||
| + | <td align="center"> | ||
| + | [[Bild:2_3_7c.gif]] | ||
| + | </td> | ||
| + | </tr> | ||
| + | </table> | ||
| + | </div> | ||
| + | </div> | ||
| + | |||
| + | ==Övning 2.3:8== | ||
| + | |||
| + | <div class="ovning"> | ||
| + | Skissera grafen till följande funktioner | ||
| + | <table width="100%" cellspacing="10px"> | ||
| + | <tr align="left"> | ||
| + | <td class="ntext">a)</td> | ||
| + | <td class="ntext" width="33%">$f(x)=x^2+1$</td> | ||
| + | <td class="ntext">b)</td> | ||
| + | <td class="ntext" width="33%">$f(x)=(x-1)^2+2$</td> | ||
| + | <td class="ntext">c)</td> | ||
| + | <td class="ntext" width="33%">$f(x)=x^2-6x+11$</td> | ||
| + | </tr> | ||
| + | <tr><td height="5px"/></tr> | ||
| + | </table> | ||
| + | </div> | ||
| + | |||
| + | <div class=NavFrame style="CLEAR: both"> | ||
| + | <div class=NavHead>Facit </div> | ||
| + | <div class=NavContent> | ||
| + | Facit till alla delfrågor<br \> | ||
| + | <table width="100%" cellspacing="10px"> | ||
| + | <tr align="left"> | ||
| + | <td>Se lösningarna.</td> | ||
| + | </tr> | ||
| + | </table> | ||
| + | </div> | ||
| + | </div> | ||
| + | |||
| + | <div class=NavFrame style="CLEAR: both"> | ||
| + | <div class=NavHead>Lösning a) </div> | ||
| + | <div class=NavContent> | ||
| + | Lösning till delfråga a) | ||
| + | <table width="100%" cellspacing="10px"> | ||
| + | <tr> | ||
| + | <td align="center"> | ||
| + | [[Bild:2_3_8a.gif]] | ||
| + | </td> | ||
| + | </tr> | ||
| + | </table> | ||
| + | </div> | ||
| + | </div> | ||
| + | |||
| + | |||
| + | <div class=NavFrame style="CLEAR: both"> | ||
| + | <div class=NavHead>Lösning b) </div> | ||
| + | <div class=NavContent> | ||
| + | Lösning till delfråga b) | ||
| + | <table width="100%" cellspacing="10px"> | ||
| + | <tr> | ||
| + | <td align="center"> | ||
| + | [[Bild:2_3_8b.gif]] | ||
| + | </td> | ||
| + | </tr> | ||
| + | </table> | ||
| + | </div> | ||
| + | </div> | ||
| + | |||
| + | |||
| + | <div class=NavFrame style="CLEAR: both"> | ||
| + | <div class=NavHead>Lösning c) </div> | ||
| + | <div class=NavContent> | ||
| + | Lösning till delfråga c) | ||
| + | <table width="100%" cellspacing="10px"> | ||
| + | <tr> | ||
| + | <td align="center"> | ||
| + | [[Bild:2_3_8c.gif]] | ||
| + | </td> | ||
| + | </tr> | ||
| + | </table> | ||
| + | </div> | ||
| + | </div> | ||
| + | |||
| + | ==Övning 2.3:9== | ||
| + | |||
| + | <div class="ovning"> | ||
| + | Hitta alla skärningspunkter mellan x-axeln och kurvan | ||
| + | <table width="100%" cellspacing="10px"> | ||
| + | <tr align="left"> | ||
| + | <td class="ntext">a)</td> | ||
| + | <td class="ntext" width="33%">$y=x^2-1$</td> | ||
| + | <td class="ntext">b)</td> | ||
| + | <td class="ntext" width="33%">$y=x^2-5x+6$</td> | ||
| + | <td class="ntext">c)</td> | ||
| + | <td class="ntext" width="33%">$y=3x^2-12x+9$</td> | ||
| + | </tr> | ||
| + | <tr><td height="5px"/></tr> | ||
| + | </table> | ||
| + | </div> | ||
| + | |||
| + | <div class=NavFrame style="CLEAR: both"> | ||
| + | <div class=NavHead>Facit </div> | ||
| + | <div class=NavContent> | ||
| + | Facit till alla delfrågor | ||
| + | <table width="100%" cellspacing="10px"> | ||
| + | <tr align="left"> | ||
| + | <td class="ntext">a)</td> | ||
| + | <td class="ntext" width="33%">$(-1,0)\ $ och $\ (1,0)$</td> | ||
| + | <td class="ntext">b)</td> | ||
| + | <td class="ntext" width="33%">$(2,0)\ $ och $\ (3,0)$</td> | ||
| + | <td class="ntext">c)</td> | ||
| + | <td class="ntext" width="33%">$(1,0)\ $ och $\ (3,0)$</td> | ||
| + | </tr> | ||
| + | <tr><td height="5px"/></tr> | ||
| + | </table> | ||
| + | </div> | ||
| + | </div> | ||
| + | |||
| + | <div class=NavFrame style="CLEAR: both"> | ||
| + | <div class=NavHead>Lösning a) </div> | ||
| + | <div class=NavContent> | ||
| + | Lösning till delfråga a) | ||
| + | <table width="100%" cellspacing="10px"> | ||
| + | <tr> | ||
| + | <td align="center"> | ||
| + | [[Bild:2_3_9a.gif]] | ||
| + | </td> | ||
| + | </tr> | ||
| + | </table> | ||
| + | </div> | ||
| + | </div> | ||
| + | |||
| + | <div class=NavFrame style="CLEAR: both"> | ||
| + | <div class=NavHead>Lösning b) </div> | ||
| + | <div class=NavContent> | ||
| + | Lösning till delfråga b) | ||
| + | <table width="100%" cellspacing="10px"> | ||
| + | <tr> | ||
| + | <td align="center"> | ||
| + | [[Bild:2_3_9b-1(2).gif]] | ||
| + | </td> | ||
| + | </tr> | ||
| + | <tr> | ||
| + | <td align="center"> | ||
| + | [[Bild:2_3_9b-2(2).gif]] | ||
| + | </td> | ||
| + | </tr> | ||
| + | </table> | ||
| + | </div> | ||
| + | </div> | ||
| + | |||
| + | <div class=NavFrame style="CLEAR: both"> | ||
| + | <div class=NavHead>Lösning c) </div> | ||
| + | <div class=NavContent> | ||
| + | Lösning till delfråga c) | ||
| + | <table width="100%" cellspacing="10px"> | ||
| + | <tr> | ||
| + | <td align="center"> | ||
| + | [[Bild:2_3_9c.gif]] | ||
| + | </td> | ||
| + | </tr> | ||
| + | </table> | ||
| + | </div> | ||
| + | </div> | ||
| + | |||
| + | ==Övning 2.3:10== | ||
| + | |||
| + | <div class="ovning"> | ||
| + | Rita in i ett ''xy''-plan alla punkter vars koordinater $\,(x,y)\,$ uppfyller | ||
| + | <table width="100%" cellspacing="10px"> | ||
| + | <tr align="left"> | ||
| + | <td class="ntext">a)</td> | ||
| + | <td class="ntext" width="50%">$y \geq x^2\ $ och $\ y \leq 1 $</td> | ||
| + | <td class="ntext">b)</td> | ||
| + | <td class="ntext" width="50%">$y \leq 1-x^2\ $ och $\ x \geq 2y-3 $</td> | ||
| + | </tr> | ||
| + | <tr align="left"> | ||
| + | <td class="ntext">c)</td> | ||
| + | <td class="ntext" width="50%">$1 \geq x \geq y^2 $</td> | ||
| + | <td class="ntext">d)</td> | ||
| + | <td class="ntext" width="50%">$x^2 \leq y \leq x $</td> | ||
| + | </tr> | ||
| + | <tr><td height="5px"/></tr> | ||
| + | </table> | ||
| + | </div> | ||
| + | |||
| + | <div class=NavFrame style="CLEAR: both"> | ||
| + | <div class=NavHead>Facit </div> | ||
| + | <div class=NavContent> | ||
| + | Facit till alla delfrågor | ||
| + | <table width="100%" cellspacing="10px"> | ||
| + | <tr align="left"> | ||
| + | <td>Se lösningarna.</td> | ||
| + | </tr> | ||
| + | </table> | ||
| + | </div> | ||
| + | </div> | ||
| + | |||
| + | <div class=NavFrame style="CLEAR: both"> | ||
| + | <div class=NavHead>Lösning a) </div> | ||
| + | <div class=NavContent> | ||
| + | Lösning till delfråga a) | ||
| + | <table width="100%" cellspacing="10px"> | ||
| + | <tr> | ||
| + | <td align="center"> | ||
| + | [[Bild:2_3_10a.gif]] | ||
| + | </td> | ||
| + | </tr> | ||
| + | </table> | ||
| + | </div> | ||
| + | </div> | ||
| + | |||
| + | <div class=NavFrame style="CLEAR: both"> | ||
| + | <div class=NavHead>Lösning b) </div> | ||
| + | <div class=NavContent> | ||
| + | Lösning till delfråga b) | ||
| + | <table width="100%" cellspacing="10px"> | ||
| + | <tr> | ||
| + | <td align="center"> | ||
| + | [[Bild:2_3_10b-1(3).gif]] | ||
| + | </td> | ||
| + | </tr> | ||
| + | <tr> | ||
| + | <td align="center"> | ||
| + | [[Bild:2_3_10b-2(3).gif]] | ||
| + | </td> | ||
| + | </tr> | ||
| + | <tr> | ||
| + | <td align="center"> | ||
| + | [[Bild:2_3_10b-3(3).gif]] | ||
| + | </td> | ||
| + | </tr> | ||
| + | </table> | ||
| + | </div> | ||
| + | </div> | ||
| + | |||
| + | <div class=NavFrame style="CLEAR: both"> | ||
| + | <div class=NavHead>Lösning c) </div> | ||
| + | <div class=NavContent> | ||
| + | Lösning till delfråga c) | ||
| + | <table width="100%" cellspacing="10px"> | ||
| + | <tr> | ||
| + | <td align="center"> | ||
| + | [[Bild:2_3_10c-1(2).gif]] | ||
| + | </td> | ||
| + | </tr> | ||
| + | <tr> | ||
| + | <td align="center"> | ||
| + | [[Bild:2_3_10c-2(2).gif]] | ||
| + | </td> | ||
| + | </tr> | ||
| + | </table> | ||
| + | </div> | ||
| + | </div> | ||
| + | |||
| + | <div class=NavFrame style="CLEAR: both"> | ||
| + | <div class=NavHead>Lösning d) </div> | ||
| + | <div class=NavContent> | ||
| + | Lösning till delfråga d) | ||
| + | <table width="100%" cellspacing="10px"> | ||
| + | <tr> | ||
| + | <td align="center"> | ||
| + | [[Bild:2_3_10d.gif]] | ||
| + | </td> | ||
| + | </tr> | ||
| + | </table> | ||
| </div> | </div> | ||
| </div> | </div> | ||
Nuvarande version
Innehåll |
[redigera] Övning 2.3:1
Kvadratkomplettera följande uttryck
| a) | $x^2-2x$ | b) | $x^2+2x-1$ | c) | $5+2x-x^2$ | d) | $x^2+5x+3$ |
Facit
Facit till alla delfrågor
| a) | $(x-1)^2-1$ | b) | $(x+1)^2-2$ | c) | $-(x-1)^2+6$ | d) | $\bigl(x+\frac{5}{2}\bigr)^2-\frac{13}{4}$ |
Lösning a)
Lösning till delfråga a)
|
|
Lösning b)
Lösning till delfråga b)
|
|
Lösning c)
Lösning till delfråga c)
|
|
Lösning d)
Lösning till delfråga d)
|
|
[redigera] Övning 2.3:2
Lös följande andragradsekvationer med kvadratkomplettering
| a) | $x^2-4x+3=0$ | b) | $y^2+2y-15=0$ | c) | $y^2+3y+4=0$ |
| d) | $4x^2-28x+13=0$ | e) | $5x^2+2x-3=0$ | f) | $3x^2-10x+8=0$ |
Facit
Facit till alla delfrågor
| a) | $\left\{ \eqalign{ x_1 &= 1 \cr x_2 &= 3\cr }\right.$ | b) | $\left\{ \eqalign{ y_1 &= -5 \cr y_2 &= 3\cr }\right.$ | c) | saknar (reella) lösning |
| d) | $ \left\{ \eqalign{ x_1 &= \textstyle\frac{1}{2}\cr x_2 &= \textstyle\frac{13}{2}\cr }\right.$ | e) | $\left\{ \eqalign{ x_1 &= -1 \cr x_2 &= \textstyle\frac{3}{5}\cr }\right.$ | f) | $ \left\{ \eqalign{ x_1 &= \textstyle\frac{4}{3}\cr x_2 &= 2\cr }\right.$ |
Lösning a)
Lösning till delfråga a)
|
|
Lösning b)
Lösning till delfråga b)
|
|
Lösning c)
Lösning till delfråga c)
|
|
Lösning d)
Lösning till delfråga d)
|
|
Lösning e)
Lösning till delfråga e)
|
|
Lösning f)
Lösning till delfråga f)
|
|
[redigera] Övning 2.3:3
Lös följande ekvationer direkt
| a) | $x(x+3)=0$ | b) | $(x-3)(x+5)=0$ |
| c) | $5(3x-2)(x+8)=0$ | d) | $x(x+3)-x(2x-9)=0$ |
| e) | $(x+3)(x-1)-(x+3)(2x-9)=0$ | f) | $x(x^2-2x)+x(2-x)=0$ |
Facit
Facit till alla delfrågor
| a) | $\left\{ \eqalign{ x_1 &= 0 \cr x_2 & = -3\cr }\right.$ | b) | $\left\{ \eqalign{ x_1 &= 3 \cr x_2 & = -5\cr }\right. $ |
| c) | $\left\{ \eqalign{ x_1 & = \textstyle\frac{2}{3} \cr x_2 & = -8\cr }\right. $ | d) | $\left\{ \eqalign{ x_1 & = 0\cr x_2 & = 12\cr }\right. $ |
| e) | $\left\{ \eqalign{ x_1 & = -3 \cr x_2 & = 8\cr }\right. $ | f) | $\left\{ \eqalign{ x_1 & = 0 \cr x_2 & = 1 \cr x_3 & = 2 }\right. $ |
Lösning a)
Lösning till delfråga a)
|
|
Lösning b)
Lösning till delfråga b)
|
|
Lösning c)
Lösning till delfråga c)
|
|
Lösning d)
Lösning till delfråga d)
|
|
Lösning e)
Lösning till delfråga e)
|
|
Lösning f)
Lösning till delfråga f)
|
|
[redigera] Övning 2.3:4
Bestäm en andragradsekvation som har rötterna
| a) | $-1\ $ och $\ 2$ |
| b) | $1+\sqrt{3}\ $ och $\ 1-\sqrt{3}$ |
| c) | $3\ $ och $\ \sqrt{3}$ |
Facit
Facit till alla delfrågor
| a) | $ax^2-ax-2a=0\,$, där $\,a\ne 0\,$ är en konstant. |
| b) | $ax^2-2ax-2a=0\,$, där $\,a\ne 0\,$ är en konstant. |
| c) | $ax^2-(3+\sqrt{3}\,)ax+3\sqrt{3}\,a=0\,$, där $\,a\ne 0\,$ är en konstant. |
Lösning a)
Lösning till delfråga a)
|
|
|
|
Lösning b)
Lösning till delfråga b)
|
|
|
|
Lösning c)
Lösning till delfråga c)
|
|
[redigera] Övning 2.3:5
| a) | Bestäm en andragradsekvation som bara har $\,-7\,$ som rot. |
| b) | Bestäm ett värde på $\,x\,$ som gör att uttrycket $\,4x^2-28x+48\,$ är negativt. |
| c) | Ekvationen $\,x^2+4x+b=0\,$ har en rot $\,x=1\,$. Bestäm värdet på konstanten $\,b\,$. |
Facit
Facit till alla delfrågor
| a) | Exempelvis $\ x^2+14x+49=0\,$. |
| b) | $3< x<4$ |
| c) | $b=-5$ |
Lösning a
Lösning till delfråga a)
|
|
Lösning b)
Lösning till delfråga b)
|
|
Lösning c)
Lösning till delfråga c)
|
|
[redigera] Övning 2.3:6
Bestäm det minsta värde som följande polynom antar
| a) | $x^2-2x+1$ | b) | $x^2-4x+2$ | c) | $x^2-5x+7$ |
Facit
Facit till alla delfrågor
| a) | $0$ | b) | $-2$ | c) | $\displaystyle \frac{3}{4}$ |
Lösning a)
Lösning till delfråga a)
|
|
Lösning b)
Lösning till delfråga b)
|
|
Lösning c)
Lösning till delfråga c)
|
|
[redigera] Övning 2.3:7
Bestäm det största värde som följande polynom antar
| a) | $1-x^2$ | b) | $-x^2+3x-4$ | c) | $x^2+x+1$ |
Facit
Facit till alla delfrågor
| a) | $1$ | b) | $\displaystyle -\frac{7}{4}$ | c) | saknar max |
Lösning a)
Lösning till delfråga a)
|
|
Lösning b)
Lösning till delfråga b)
|
|
Lösning c)
Lösning till delfråga c)
|
|
[redigera] Övning 2.3:8
Skissera grafen till följande funktioner
| a) | $f(x)=x^2+1$ | b) | $f(x)=(x-1)^2+2$ | c) | $f(x)=x^2-6x+11$ |
Facit
Facit till alla delfrågor
| Se lösningarna. |
Lösning a)
Lösning till delfråga a)
|
|
Lösning b)
Lösning till delfråga b)
|
|
Lösning c)
Lösning till delfråga c)
|
|
[redigera] Övning 2.3:9
Hitta alla skärningspunkter mellan x-axeln och kurvan
| a) | $y=x^2-1$ | b) | $y=x^2-5x+6$ | c) | $y=3x^2-12x+9$ |
Facit
Facit till alla delfrågor
| a) | $(-1,0)\ $ och $\ (1,0)$ | b) | $(2,0)\ $ och $\ (3,0)$ | c) | $(1,0)\ $ och $\ (3,0)$ |
Lösning a)
Lösning till delfråga a)
|
|
Lösning b)
Lösning till delfråga b)
|
|
|
|
Lösning c)
Lösning till delfråga c)
|
|
[redigera] Övning 2.3:10
Rita in i ett xy-plan alla punkter vars koordinater $\,(x,y)\,$ uppfyller
| a) | $y \geq x^2\ $ och $\ y \leq 1 $ | b) | $y \leq 1-x^2\ $ och $\ x \geq 2y-3 $ |
| c) | $1 \geq x \geq y^2 $ | d) | $x^2 \leq y \leq x $ |
Facit
Facit till alla delfrågor
| Se lösningarna. |
Lösning a)
Lösning till delfråga a)
|
|
Lösning b)
Lösning till delfråga b)
|
|
|
|
|
|
Lösning c)
Lösning till delfråga c)
|
|
|
|
Lösning d)
Lösning till delfråga d)
|
|
