Exempel 1

Lös ekvationerna

1. $10^x = 537 \quad \quad$ som har lösningen $x = \lg 537$.
   
   
2. $10^{5x} = 537 \quad \quad$ ger att $5x= \lg 537$ , d.v.s. $x= \displaystyle \frac{1}{5} \lg 537$
   
   
3. $\displaystyle \frac{3}{e^x} = 5 \quad \quad$

   Lösning:

   Multiplicerar båda led med $e^x$

   $$3=5e^x \; \mbox{.}$$

   Dividera båda led med $5$

   $$\frac{3}{5} = e^x$$

   vilket ger att $x=\ln \frac{3}{5}$.
   
   

4. $(\sqrt{10})^x = 25 \quad $

   Lösning:

   Eftersom $\sqrt{10} = 10^{1/2}$ är vänsterledet lika med $(\sqrt{10})^x = (10^{1/2})^x = 10^{x/2}$ och ekvationen lyder

   $$10^{x/2} = 25$$

   Lösningen är $\displaystyle \frac{x}{2} = \lg 25, $ d.v.s. $x= 2 \lg 25$.
   
   

5. $\lg x = 3 \quad \quad \quad$ Definitionen ger direkt att $x=10^3 = 1000$.
   
   
6. $\lg(2x-4) = 2 \quad$

   Lösning:

   Från definitionen har vi att.

   $$2x-4 = 10^2 = 100$$

   och då följer att $x = 52$.
   
   

7. $\displaystyle \frac{3 \ln 2x}{2} + 1 = \displaystyle \frac{1}{2}\quad$

   Lösning:

   Multiplicerar båda led med $2$ och subtrahera sedan $2$ från båda led

   $$ 3 \ln 2x = -1$$

   Dividera båda led med $3$

   $$ \ln 2x = -\displaystyle \frac{1}{3} $$

   Nu ger definitionen direkt att $2x = e^{-1/3}$, vilket betyder att

   $$ x = \displaystyle \frac{1}{2} e^{-1/3} = \displaystyle \frac{1}{2e^{1/3}} $$

Exempel 2

Lös ekvationen

1. $ 3^x = 20$

   Lösning:

   Logaritmera båda led

   $$\lg 3^x = \lg 20$$

   Vänsterledet kan skrivas som $+lg 3^x = x \cdot \lg 3$

   och då får vi att

   $$x = \displaystyle \frac{\lg 20}{\lg 3} \;\;\;\;\; (\approx 2,727)$$
   
   
2. $ 5000 \cdot 1,05^x = 10 \: 000$

   Lösning:

   Dividera båda led med 5000

   $$1,05^x = \displaystyle \frac{ 10 \: 000}{5000} = 2$$

   Denna ekvation löser vi genom att logaritmera båda led med $\lg$ och skriva om vänsterledet som $\lg 1,05^x = x \cdot \lg 1,05$

   $$x = \displaystyle \frac{\lg 2}{\lg 1,05} \;\;\;\;\; (\approx 14,2)$$
   
   
3. $ 2^x \cdot 3^x = 5$

   Lösning:

   Vänsterledet kan skriva om med potenslagarna till $(2 \cdot 3)^x = 5$ och ekvationen blir

   $$6^x = 5$$

   Denna grundekvation löser vi på vanligt sätt med logaritmering och får

   $$x = \displaystyle \frac{\lg 5}{\lg 6}$$
   
   
4. $ 5^{2x + 1} = 3^{5x}$

   Lösning:

   Logaritmera båda led och använd logaritmlagen $\lg a^b = b \cdot \lg a$

   $$(2x+1)\lg 5 = 5x \cdot \lg 3$$ $$2x \cdot \lg 5 + \lg 5 = 5x \cdot \lg 3$$

   Samla $x$ i ena ledet

   $$\lg 5 = 5x \cdot \lg 3 -2x \cdot \lg 5$$ $$\lg 5 = x (5 \lg 3 -2 \lg 5)$$

   Lösningen är

   $$x = \displaystyle \frac{\lg 5}{5 \lg 3 -2 \lg 5}$$

Exempel 3

Lös ekvationen $\displaystyle \displaystyle \frac{6e^x}{3e^x+1}=\displaystyle \displaystyle \frac{5}{e^{-x}+2}$

Multiplicera båda led med $3e^x+1$ och $e^{-x}+2$ för att få bort nämnarna

$$6e^x(e^{-x}+2) = 5(3e^x+1)$$

Notera att eftersom $e^x$ och $e^{-x}$ alltid är postiva oavsett värdet på $x$ så multiplicera vi alltså ekvationen med faktorer $3e^x+1$ och $e^{-x} +2$ som är skilda från noll, så detta steg introducerar inga nya falska rötter till ekvationen.

Förenkla båda led $$6+12e^x = 15e^x+5$$

där vi använt att $e^{-x} \cdot e^x = e^{-x + x} = e^0 = 1$. Betraktar vi nu $e^x$ som obekant är ekvationen väsentligen en förstagradsekvation som har lösningen

$$e^x=\displaystyle \displaystyle \frac{1}{3}$$

En logaritmering ger svaret

$$x=\ln{\displaystyle \displaystyle \frac{1}{3}}= \ln 3^{-} = -1 \cdot \ln 3 = -\ln(3)$$

Exempel 4

Lös ekvationen $\displaystyle \frac{1}{\ln x} + \ln \displaystyle \frac{1}{x} = 1$.

Termen $\ln \displaystyle \frac{1}{x}$ kan skrivas som $\ln \displaystyle \frac{1}{x} = \ln x^{-1} = -1 \cdot \ln x = - \ln x$

och då blir ekvationen

$$\frac{1}{\ln x} - \ln x = 1$$

där vi kan betrakta $\ln x$ som en ny obekant. Multiplicerar vi båda led med $\ln x$ (som är skild från noll när $x \ne 1$) får vi en andragradsekvation i $\ln x$

$$1 - (\ln x)^2 = \ln x$$ $$ (\ln x)^2 + \ln x - 1 = 0$$

Kvadratkomplettering i vänsterledet

$$ (\ln x)^2 + \ln x -1 = \left( \ln x + \frac{1}{2} \right)^2 - \left(\frac{1}{2} \right)^2 - 1$$ $$ = \left( \ln x + \frac{1}{2} \right)^2 - \frac{5}{4}$$

följt av rotutdragning ger att

$$\ln x = -\frac{1}{2} \pm \frac{\sqrt{5}}{2} \; \mbox{.}$$

Detta betyder att ekvationen har två lösningar

$$ x= e^{-\frac{1}{2} + \frac{\sqrt{5}}{2}} \quad \mbox{och} \quad x= e^{-\frac{1}{2} - \frac{\sqrt{5}}{2}} \; \mbox{.}$$

Exempel 5

Lös ekvationen $ \ln(4x^2 -2x) = \ln (1-2x)$.

För att ekvationen ska vara uppfylld måste argumenten $4x^2-2x$ och $1-2x$ vara lika,

$$4x^2 - 2x = 1 - 2x , \quad \quad \quad \quad (*)$$

och dessutom positiva. Vi löser ekvationen $(*)$ genom att flytta över alla termer i ena ledet.

$$4x^2 - 1= 0 $$

och använder rotutdragning. Detta ger att

$$x= -\frac{1}{2} \quad och \quad x= \frac{1}{2} \; \mbox{.}$$

Vi kontrollera nu om båda led i $(*)$ är positiva

$x= -\displaystyle \frac{1}{2}: \quad \quad 4x^2 - 2x = 1-2x = 1-2 \cdot \left(-\displaystyle \frac{1}{2} \right) = 1+1 = 2 > 0$

$x= \displaystyle\frac{1}{2}: \quad \quad 4x^2 - 2x = 1-2x = 1-2 \cdot \displaystyle \frac{1}{2} = 1+1 = 2 \not{>} 0$

Alltså har logaritmekvationen bara en lösning $x= -\displaystyle \frac{1}{2}$.

Exempel 6

Lös ekvationen $e^{2x} - e^{x} = \displaystyle\frac{1}{2}$.

Den första termen kan vi skriva som $e^{2x} = (e^x)^2$. Hela ekvationen är alltså en andragradsekvationen med $e^x$ som obekant.

$$(e^x)^2 - e^x = \frac{1}{2} \; \mbox{.}$$

Ekvationen kan vara lite enklare att hantera om vi skriver $t$ istället för $e^x$,

$$t^2 -t = \frac{1}{2}$$

Kvadratkomplettera vänsterledet

$$\left(t-\frac{1}{2}\right)^2 - \left(\frac{1}{2}\right)^2 = \frac{1}{2}$$ $$\left(t-\frac{1}{2}\right)^2 = \frac{3}{4}$$

vilket ger lösningarna

$$t=\frac{1}{2} - \frac{\sqrt{3}}{2} \quad \mbox{och} \quad t=\frac{1}{2} + \frac{\sqrt{3}}{2} \, \mbox{.}$$

Eftersom $\sqrt3 > 1$ så är $\displaystyle \frac{1}{2}-\displaystyle\frac{1}{2}\sqrt3 <0$ och det är bara $t= \displaystyle \frac{1}{2}+\displaystyle\frac{1}{2}\sqrt3$ som ger en lösning till den ursprungliga ekvationen eftersom $e^x$ alltid är positiv. Logaritmering ger att

$$x = \ln \left(\displaystyle \frac{1}{2}+\displaystyle\frac{\sqrt3}{2}\right)$$

är den enda lösningen till ekvationen.