4.1 Vinklar och cirklar
Sommarmatte 1
Versionen från 7 maj 2007 kl. 14.03 (redigera) Lina (Diskussion | bidrag) ← Gå till föregående ändring |
Versionen från 8 maj 2007 kl. 12.40 (redigera) (ogör) Tek (Diskussion | bidrag) (En del ändringar) Gå till nästa ändring → |
||
Rad 1: | Rad 1: | ||
+ | __NOTOC__ | ||
<table><tr><td width="600"> | <table><tr><td width="600"> | ||
- | |||
- | =4.1 Vinklar och cirklar= | ||
<div class="inforuta"> | <div class="inforuta"> | ||
Rad 11: | Rad 10: | ||
<div class="inforuta"> | <div class="inforuta"> | ||
- | '''Läromål:''' | + | '''Lärandemål:''' |
Efter detta avsnitt ska du ha lärt dig att: | Efter detta avsnitt ska du ha lärt dig att: | ||
- | *Omvandla mellan grader, radianer och varv | + | *Omvandla mellan grader, radianer och varv. |
- | *Beräkna arean och omkretsen av en cirkelsektor | + | *Beräkna arean och omkretsen av en cirkelsektor. |
- | *Beräkna avståndet mellan två punkter i planet | + | *Beräkna avståndet mellan två punkter i planet. |
- | *Skissera cirklar med hjälp av att kvadratkomplettera deras ekvationer | + | *Skissera cirklar med hjälp av att kvadratkomplettera deras ekvationer. |
*Använda begreppen enhetscirkel, tangent, radie, diameter, pereferi, korda och cirkelbåge. | *Använda begreppen enhetscirkel, tangent, radie, diameter, pereferi, korda och cirkelbåge. | ||
- | *Lösa geometriska problem som innehåller cirklar | + | *Lösa geometriska problem som innehåller cirklar. |
</div> | </div> | ||
Rad 38: | Rad 37: | ||
Det finns flera olika enheter för att mäta vinklar, som är praktiska i olika sammanhang. De två vanligaste vinkelmåtten i matematiken är grader och radianer. | Det finns flera olika enheter för att mäta vinklar, som är praktiska i olika sammanhang. De två vanligaste vinkelmåtten i matematiken är grader och radianer. | ||
- | *'''Grader.''' Om ett helt varv delas in i 360 delar, så kallas varje del $1$ grad. Beteckningen för grader är ^\circ. | + | *'''Grader.''' Om ett helt varv delas in i 360 delar, så kallas varje del 1 grad. Beteckningen för grader är ^\circ. |
Bild: figur 3.2.1 | Bild: figur 3.2.1 | ||
- | *'''Radianer.''' Ett annat sätt att mäta vinklar är att omvända längden av vinkelns cirkelbåge i förhållandet till radien som mått på vinkeln. Detta vinkelmått kallas för radian. Ett varv är alltså 2\pi radianer eftersom cirkelns omkrets är 2\pi r, där r är cirkelns radie. | + | *'''Radianer.''' Ett annat sätt att mäta vinklar är att använda längden av vinkelns cirkelbåge i förhållande till radien som mått på vinkeln. Detta vinkelmått kallas för radian. Ett varv är alltså $\,2\pi\, radianer eftersom cirkelns omkrets är \,2\pi r\,, där \,r\,$ är cirkelns radie. |
Bild: figurer 3.2.2 och figurer 3.2.3 | Bild: figurer 3.2.2 och figurer 3.2.3 | ||
- | Ett helt varv är 360^\circ eller 2\pi radianer och det gör att | + | Ett helt varv är $\,360^\circ\, eller \,2\pi\,$ radianer och det gör att |
- | $$1^\circ = \frac{1}{360} \cdot 2\pi \mbox{ radianer } = \frac{\pi}{180} \mbox{ radianer }$$ | + | $$\eqalign{&1^\circ = \frac{1}{360} \cdot 2\pi\ \mbox{ radianer } = \frac{\pi}{180}\ \mbox{ radianer,}\cr &1\ \mbox{ radian } = \frac{1}{2\pi} \cdot 360^\circ = \frac{180^\circ}{\pi}\,\mbox{.}}$$ |
- | $$1 \mbox{ radianer } = \frac{1}{2\pi} \cdot 360^\circ = \frac{180^\circ}{\pi}$$ | + | |
Dessa omvandlingsfaktorer kan användas för att konvertera mellan grader och radianer. | Dessa omvandlingsfaktorer kan användas för att konvertera mellan grader och radianer. | ||
Rad 56: | Rad 54: | ||
<ol type="a"> | <ol type="a"> | ||
- | <li>30^\circ = 30 \cdot 1^\circ = 30 \cdot \displaystyle \frac{\pi}{180} \mbox{ radianer } = \displaystyle \frac{\pi}{6} \mbox{ radianer } <br><br> | + | <li>$30^\circ = 30 \cdot 1^\circ = 30 \cdot \displaystyle \frac{\pi}{180}\ \mbox{ radianer } = \displaystyle \frac{\pi}{6}\ \mbox{ radianer }$ <br><br> |
- | <li> \displaystyle \frac{\pi}{8} \mbox {radianer } = \displaystyle \frac{\pi}{8} \cdot (1 \; \mbox{radian }) = \displaystyle \frac{\pi}{8} \cdot \displaystyle \frac{180^\circ}{\pi} = 22,5^\circ | + | <li>$ \displaystyle \frac{\pi}{8}\ \mbox { radianer } = \displaystyle \frac{\pi}{8} \cdot (1 \; \mbox{radian}\,) = \displaystyle \frac{\pi}{8} \cdot \displaystyle \frac{180^\circ}{\pi} = 22{,}5^\circ$ |
</ol> | </ol> | ||
</div> | </div> | ||
- | I en del sammanhang kan det vara meningsfullt att tala om negativa vinklar eller vinklar som är större än 360^\circ. Då kan man använda att man kan ange samma riktning med flera olika vinklar som skiljer sig från varandra med ett helt antal varv. | + | I en del sammanhang kan det vara meningsfullt att tala om negativa vinklar eller vinklar som är större än 360°. Då kan man använda att man kan ange samma riktning med flera olika vinklar som skiljer sig från varandra med ett helt antal varv. |
Bild: Figur 3.2.4 | Bild: Figur 3.2.4 | ||
Rad 70: | Rad 68: | ||
<ol type="a"> | <ol type="a"> | ||
- | <li>Vinklar -55^\circ och 665^\circ anger samma riktning eftersom $$-55^\circ + 2 \cdot 360^\circ = 665^\circ \; \mbox{.}$$ | + | <li>Vinklarna $\,-55^\circ\, och \,665^\circ\,$ anger samma riktning eftersom |
- | <li>Vinklarna \frac{3\pi}{7} och -\frac{11\pi}{7} anger samma riktning eftersom $$\frac{3\pi}{7} - 2\pi = -\frac{11\pi}{7} \; \mbox{.}$$ | + | $$-55^\circ + 2 \cdot 360^\circ = 665^\circ\,\mbox{.}$$ |
- | <li> Vinklarna 36^\circ och 216^\circ anger inte samma riktning utan motsatta riktningar eftersom $$36^\circ + 180^\circ = 216^\circ \; \mbox{.}$$ | + | |
+ | <li>Vinklarna $\,\displaystyle\frac{3\pi}{7}\, och \,-\displaystyle\frac{11\pi}{7}\,$ anger samma riktning eftersom | ||
+ | $$\frac{3\pi}{7} - 2\pi = -\frac{11\pi}{7}\,\mbox{.}$$ | ||
+ | |||
+ | <li> Vinklarna $\,36^\circ\, och \,216^\circ\,$ anger inte samma riktning utan motsatta riktningar eftersom | ||
+ | $$36^\circ + 180^\circ = 216^\circ\,\mbox{.}$$ | ||
</ol> | </ol> | ||
</div> | </div> | ||
- | ==Avståndsformlen== | + | ==Avståndsformeln== |
- | Pythagoras sats är en av de mest kända satserna i matematiken och säger att i en rätvinklig triangel med kateter a och b , och hypotenusa c gäller att | + | Pythagoras sats är en av de mest kända satserna i matematiken och säger att i en rätvinklig triangel med kateter $\,a\, och \,b\,, och hypotenusa \,c\,$ gäller att |
<div class="regel"> | <div class="regel"> | ||
'''Pythagoras sats:''' | '''Pythagoras sats:''' | ||
- | $$c^2 = a^2 + b^2 \; \mbox{.}$$ | + | $$c^2 = a^2 + b^2\,\mbox{.}$$ |
</div> | </div> | ||
Rad 92: | Rad 95: | ||
Bild: figur 3.2.6 | Bild: figur 3.2.6 | ||
- | I triangel till höger är | + | I triangeln till höger är |
c^2= 3^2 + 4^2 = 9 +16 = 25 | c^2= 3^2 + 4^2 = 9 +16 = 25 | ||
- | och därför är hypotenusan c lika med | + | och därför är hypotenusan $\,c\,$ lika med |
- | $$c=\sqrt{25} = 5 \; \mbox{.}$$ | + | $$c=\sqrt{25} = 5\,\mbox{.}$$ |
</div> | </div> | ||
Rad 103: | Rad 106: | ||
'''Avståndsformeln:''' | '''Avståndsformeln:''' | ||
- | Avståndet d mellan två puntker med koordinater (x, y) och (a, b) är | + | Avståndet $\,d\,$ mellan två punkter med koordinater $\,(x, y)\, och \,(a, b)\,$ är |
- | d = \sqrt{(x – a)^2 + (y – b)^2} | + | $$d = \sqrt{(x – a)^2 + (y – b)^2}\,\mbox{.}$$ |
</div> | </div> | ||
- | Denna formel kallas för avståndsformeln. | ||
Linjestycket mellan punkterna är hypotenusan i en rätvinklig triangel vars kateter är parallella med koordinataxlarna. | Linjestycket mellan punkterna är hypotenusan i en rätvinklig triangel vars kateter är parallella med koordinataxlarna. | ||
Rad 112: | Rad 114: | ||
Bild: figur 3.2.7 | Bild: figur 3.2.7 | ||
- | Kateternas längd är lika med beloppet av skillnaden i $x$- och $y$-led mellan punkterna, d.v.s. |x-a| respektive |y-b|. Pythagoras sats ger sedan avståndsformeln. | + | Kateternas längd är lika med beloppet av skillnaden i ''x''- och ''y''-led mellan punkterna, dvs. |x-a| respektive |y-b|. Pythagoras sats ger sedan avståndsformeln. |
<div class="exempel"> | <div class="exempel"> | ||
Rad 118: | Rad 120: | ||
<ol type="a"> | <ol type="a"> | ||
- | <li>Avståndet mellan (1,2) och (3,1) är $$d=\sqrt{ (1-3)^2 + (2-1)^2} = \sqrt{(-2)^2 + 1^2} = \sqrt{ 4+1} = \sqrt{5} \; \mbox{.}$$ | + | <li>Avståndet mellan $\,(1,2)\, och \,(3,1)\,$ är |
- | <li>Avståndet mellan (-1,0) och (-2,-5) är $$d=\sqrt{ (-1-(-2))^2 + (0-(-5))^2} = \sqrt{1^2 + 5^2} = \sqrt{1+25} = \sqrt{26} \; \mbox{.}$$ | + | $$d=\sqrt{ (1-3)^2 + (2-1)^2} = \sqrt{(-2)^2 + 1^2} = \sqrt{ 4+1} = \sqrt{5}\,\mbox{.}$$ |
+ | |||
+ | <li>Avståndet mellan $\,(-1,0)\, och \,(-2,-5)\,$ är | ||
+ | $$d=\sqrt{ (-1-(-2))^2 + (0-(-5))^2} = \sqrt{1^2 + 5^2} = \sqrt{1+25} = \sqrt{26}\,\mbox{.}$$ | ||
</ol> | </ol> | ||
Rad 127: | Rad 132: | ||
==Cirklar== | ==Cirklar== | ||
- | En cirkel består av alla punkter som befinner sig på ett visst fixt avstånd r från en punkt (a,b). | + | En cirkel består av alla punkter som befinner sig på ett visst fixt avstånd $\,r\, från en punkt \,(a,b)\,$. |
Bild:figur 3.2.8 | Bild:figur 3.2.8 | ||
- | Avståndet r kallan för cirkelns radie och punkten (a,b) för cirkelns medelpunkt. Figuren nedan visar andra viktiga cirkelbegrepp. | + | Avståndet $\,r\,$ kallas för cirkelns radie och punkten $\,(a,b)\,$ för cirkelns medelpunkt. Figuren nedan visar andra viktiga cirkelbegrepp. |
- | [[Bild:3_2_10.gif]] | + | [[Bild:3_2_10.gif||center]] |
Rad 141: | Rad 146: | ||
En cirkelsektor är given i figuren till höger. Bild: figur 3.2.10 | En cirkelsektor är given i figuren till höger. Bild: figur 3.2.10 | ||
<ol type="a"> | <ol type="a"> | ||
- | <li>Bestäm cirkelbågens längd <br><br> | + | <li>Bestäm cirkelbågens längd. <br><br> |
- | Medelpunktsvinkeln 50^\circ blir i radianer | + | Medelpunktsvinkeln $\,50^\circ\,$ blir i radianer |
- | 50^\circ= 50 \cdot 1^\circ = 50 \cdot \frac{\pi}{180} \mbox{ radianer } = \frac{5\pi}{18} \mbox{ radianer. } | + | $$50^\circ= 50 \cdot 1^\circ = 50 \cdot \frac{\pi}{180}\ \mbox{ radianer } = \frac{5\pi}{18}\ \mbox{ radianer. }$$ |
På det sätt som radianer är definerat betyder detta att cirkelbågens längd är radien multiplicerat med vinkeln mätt i radianer, | På det sätt som radianer är definerat betyder detta att cirkelbågens längd är radien multiplicerat med vinkeln mätt i radianer, | ||
- | 3 \cdot \frac{5\pi}{18} \mbox{ l.e. } = \frac{5\pi}{6} \mbox{ l.e. } | + | $$3 \cdot \frac{5\pi}{18}\ \mbox{ l.e. } = \frac{5\pi}{6}\ \mbox{ l.e. }$$ |
<li>Bestäm cirkelsektorns area. <br><br> | <li>Bestäm cirkelsektorns area. <br><br> | ||
Cirkelsektorns andel av hela cirkeln är \frac{50^\circ}{360^\circ} = \frac{5}{36} | Cirkelsektorns andel av hela cirkeln är \frac{50^\circ}{360^\circ} = \frac{5}{36} | ||
- | och det betyder att dess area är \frac{5}{36} delar av cirkelns area som är \pi r^2 = \pi 3^2 = 9\pi, d.v.s. | + | och det betyder att dess area är $\,\frac{5}{36}\, delar av cirkelns area som är \,\pi r^2 = \pi 3^2 = 9\pi\,$, dvs. |
- | \frac{5}{36} \cdot 9\pi \mbox{ a.e. }= \frac{5\pi}{4} \mbox{ a.e. } | + | $$\frac{5}{36} \cdot 9\pi\ \mbox{ a.e. }= \frac{5\pi}{4}\ \mbox{ a.e. }$$ |
</ol> | </ol> | ||
Rad 155: | Rad 160: | ||
Bild:3.2.11 | Bild:3.2.11 | ||
- | En punkt (x,y) ligger på cirkeln som har medelpunkt i (a,b) och radie r om dess avstånd till medelpunkten är lika med r. Detta villkor kan formuleras med avståndsformeln som | + | En punkt $\,(x,y)\, ligger på cirkeln som har medelpunkt i \,(a,b)\, och radie \,r\, om dess avstånd till medelpunkten är lika med \,r\,$. Detta villkor kan formuleras med avståndsformeln som |
<div class="regel"> | <div class="regel"> | ||
'''Cirkelns ekvation:''' | '''Cirkelns ekvation:''' | ||
Rad 166: | Rad 171: | ||
<ol type="a"> | <ol type="a"> | ||
- | <li>(x-1)^2 + (y-2)^2 = 9 är ekvationen för en cirkel med medelpunkten i (1,2) och radie \sqrt{9} = 3.<br><br> | + | <li>$(x-1)^2 + (y-2)^2 = 9\quad$ är ekvationen för en cirkel med medelpunkt i $\,(1,2)\, och radie \,\sqrt{9} = 3\,$.<br><br> |
- | <li>x^2 + (y-1)^2 = 1 kan skriva som (x-0)^2 + (y-1)^2 = 1 och är ekvationen för en cirkel med medelpunkten i (0,1) och radie \sqrt{1} = 1.<br><br> | + | <li>$x^2 + (y-1)^2 = 1\quad$ kan skrivas som $\,(x-0)^2 + (y-1)^2 = 1\,$ och är ekvationen för en cirkel med medelpunkt i $\,(0,1)\, och radie \,\sqrt{1} = 1\,$.<br><br> |
- | <li>(x+1)^2 + (y-3)^2 = 5 kan skrivas som (x-(-1))^2 + (y-3)^2 = 5 och är ekvationen för en cirkel med medelpunkten i (-1,3) och radie \sqrt{5} \approx 2{,}236. | + | <li>$(x+1)^2 + (y-3)^2 = 5\quad kan skrivas som \,(x-(-1))^2 + (y-3)^2 = 5\,$ och är ekvationen för en cirkel med medelpunkt i $\,(-1,3)\, och radie \,\sqrt{5} \approx 2{,}236\,$. |
</ol> | </ol> | ||
Rad 179: | Rad 184: | ||
<ol type="a"> | <ol type="a"> | ||
- | <li>Ligger punkten (1,2) på cirkeln (x-4)^2 +y^2=13? <br><br> | + | <li>Ligger punkten $\,(1,2)\, på cirkeln \,(x-4)^2 +y^2=13\,$?<br><br> |
- | Stoppar vi in punktens koordinater x=1 och y=2 i cirkelns ekvation har vi att | + | Stoppar vi in punktens koordinater $\,x=1\, och \,y=2\,$ i cirkelns ekvation har vi att |
- | $$\mbox{VL }= (1-4)^2+2^2 =(-3)^2+2^2=9+4=13= \mbox{ HL}\; \mbox{.}$$ | + | $$\mbox{VL }= (1-4)^2+2^2 =(-3)^2+2^2=9+4=13= \mbox{ HL}\,\mbox{.}$$ |
Eftersom punkten uppfyller cirkelns ekvation ligger punken på cirkeln. <br><br> | Eftersom punkten uppfyller cirkelns ekvation ligger punken på cirkeln. <br><br> | ||
- | <li>Bestäm ekvationen för cirkeln som har medelpunkt i (3,4) och innehåller punkten (1,0).<br><br> | + | <li>Bestäm ekvationen för cirkeln som har medelpunkt i $\,(3,4)\, och innehåller punkten \,(1,0)\,$.<br><br> |
- | Eftersom punkten (1,0) ska ligga på cirkeln måste cirkelns radie vara lika med avståndet från (1,0) till medelpunkten (3,4). Avståndsformlen ger att detta avstånd är $$c=\sqrt{(3-1)^2 + (4-0)^2 }= \sqrt{4 +16} = \sqrt{20} \; \mbox{.}$$ | + | Eftersom punkten $\,(1,0)\, ska ligga på cirkeln måste cirkelns radie vara lika med avståndet från \,(1,0)\, till medelpunkten \,(3,4)\,$. Avståndsformeln ger att detta avstånd är |
+ | $$c=\sqrt{(3-1)^2 + (4-0)^2 }= \sqrt{4 +16} = \sqrt{20} \, \mbox{.}$$ | ||
Cirkelns ekvation är därför | Cirkelns ekvation är därför | ||
(x-3)^2 + (y-4)^2 = 20 \; \mbox{.} | (x-3)^2 + (y-4)^2 = 20 \; \mbox{.} | ||
Rad 196: | Rad 202: | ||
'''Exempel 8''' | '''Exempel 8''' | ||
- | Bestäm medelpunkt och radie för den cirkel vars ekvation är x^2 + y^2 – 2x + 4y + 1 = 0. | + | Bestäm medelpunkt och radie för den cirkel vars ekvation är $\,x^2 + y^2 – 2x + 4y + 1 = 0\,$. |
- | Vi försöker skriva om cirkelns ekvation på formen | + | Vi ska försöka skriva om cirkelns ekvation på formen |
(x – a)^2 + (y – b)^2 = r^2 | (x – a)^2 + (y – b)^2 = r^2 | ||
- | för då kan vi direkt avläsa att medelpunken (a,b) och radien r. | + | för då kan vi direkt avläsa att medelpunken är $\,(a,b)\,$ och radien är $\,r\,$. |
- | Börja med att kvadratkomplettera termerna som innehåller x i vänsterledet | + | Börja med att kvadratkomplettera termerna som innehåller $\,x\,$ i vänsterledet |
- | \underline{x^2-2x} + y^2+4y + 1 =\underline{(x-1)^2-1^2} + y^2+4y + 1 | + | $$ \underline{x^2-2x\vphantom{(}} + y^2+4y + 1 =\underline{(x-1)^2-1^2} + y^2+4y + 1$$ |
(de understrukna termerna visar kvadratkompletteringen). | (de understrukna termerna visar kvadratkompletteringen). | ||
Kvadratkomplettera sedan termerna som innehåller y | Kvadratkomplettera sedan termerna som innehåller y | ||
- | (x-1)^2-1^2 + \underline{y^2+4y} + 1= (x-1)^2-1^2 + \underline{(y+2)^2-2^2} + 1 | + | $$ (x-1)^2-1^2 + \underline{y^2+4y} + 1= (x-1)^2-1^2 + \underline{(y+2)^2-2^2} + 1\,\mbox{.}$$ |
Vänsterledet är alltså lika med | Vänsterledet är alltså lika med | ||
(x-1)^2 + (y+2)^2-4 | (x-1)^2 + (y+2)^2-4 | ||
- | och flyttar vi över $4$ till högerledet är cirkelns ekvation | + | och flyttar vi över 4 till högerledet är cirkelns ekvation |
- | $$ (x-1)^2 + (y+2)^2 = 4 \; \mbox{.}$$ | + | $$ (x-1)^2 + (y+2)^2 = 4 \, \mbox{.}$$ |
- | Vi avläser att medelpunkten är (1,2) och radien är \sqrt{4}= 2. | + | Vi avläser att medelpunkten är $\,(1,-2)\, och radien är \,\sqrt{4}= 2\,$. |
- | [[Bild:766790.gif]] | + | [[Bild:766790.gif||center]] |
</div> | </div> | ||
Rad 230: | Rad 236: | ||
'''Tänk på att:''' | '''Tänk på att:''' | ||
- | Lär dig att använda enhetscirkeln som ett verktyg i det trigonometriska arbetet. Avläsningar i enhetscirkeln ger dig viktiga upplysningar om diverse samband. | ||
Versionen från 8 maj 2007 kl. 12.40
Innehåll:
Lärandemål: Efter detta avsnitt ska du ha lärt dig att:
|
|
TeoriVinkelmåttDet finns flera olika enheter för att mäta vinklar, som är praktiska i olika sammanhang. De två vanligaste vinkelmåtten i matematiken är grader och radianer.
Bild: figur 3.2.1
Bild: figurer 3.2.2 och figurer 3.2.3
\eqalign{&1^\circ = \frac{1}{360} \cdot 2\pi\ \mbox{ radianer } = \frac{\pi}{180}\ \mbox{ radianer,}\cr &1\ \mbox{ radian } = \frac{1}{2\pi} \cdot 360^\circ = \frac{180^\circ}{\pi}\,\mbox{.}}
Dessa omvandlingsfaktorer kan användas för att konvertera mellan grader och radianer.
Exempel 1
I en del sammanhang kan det vara meningsfullt att tala om negativa vinklar eller vinklar som är större än 360°. Då kan man använda att man kan ange samma riktning med flera olika vinklar som skiljer sig från varandra med ett helt antal varv. Bild: Figur 3.2.4 Exempel 2
AvståndsformelnPythagoras sats är en av de mest kända satserna i matematiken och säger att i en rätvinklig triangel med kateter \,a\, och \,b\,, och hypotenusa \,c\, gäller att Pythagoras sats: c^2 = a^2 + b^2\,\mbox{.}
Bild: figur 3.2.5 Exempel 3 Bild: figur 3.2.6 I triangeln till höger är c^2= 3^2 + 4^2 = 9 +16 = 25
och därför är hypotenusan \,c\, lika med
c=\sqrt{25} = 5\,\mbox{.}
Pythagoras sats kan användas för att beräkna avståndet mellan två punkter i ett koordinatsystem. Avståndsformeln: Avståndet \,d\, mellan två punkter med koordinater \,(x, y)\, och \,(a, b)\, är d = \sqrt{(x – a)^2 + (y – b)^2}\,\mbox{.}
Linjestycket mellan punkterna är hypotenusan i en rätvinklig triangel vars kateter är parallella med koordinataxlarna. Bild: figur 3.2.7 Kateternas längd är lika med beloppet av skillnaden i x- och y-led mellan punkterna, dvs. |x-a| respektive |y-b|. Pythagoras sats ger sedan avståndsformeln. Exempel 4
Interaktivt experiment: Här kan du experimentera med avståndsformeln och Pythagoras sats CirklarEn cirkel består av alla punkter som befinner sig på ett visst fixt avstånd \,r\, från en punkt \,(a,b)\,. Bild:figur 3.2.8 Avståndet \,r\, kallas för cirkelns radie och punkten \,(a,b)\, för cirkelns medelpunkt. Figuren nedan visar andra viktiga cirkelbegrepp.
Exempel 5 En cirkelsektor är given i figuren till höger. Bild: figur 3.2.10
Bild:3.2.11 En punkt \,(x,y)\, ligger på cirkeln som har medelpunkt i \,(a,b)\, och radie \,r\, om dess avstånd till medelpunkten är lika med \,r\,. Detta villkor kan formuleras med avståndsformeln som Cirkelns ekvation: (x – a)^2 + (y – b)^2 = r^2
och kallas för cirkelns ekvation. Exempel 6
Bild: figur 3.2-12-14 Exempel 7
Bild: 3.2.15 och 3.2.16 Exempel 8 Bestäm medelpunkt och radie för den cirkel vars ekvation är \,x^2 + y^2 – 2x + 4y + 1 = 0\,.
(x – a)^2 + (y – b)^2 = r^2
för då kan vi direkt avläsa att medelpunken är \,(a,b)\, och radien är \,r\,.
Börja med att kvadratkomplettera termerna som innehåller \,x\, i vänsterledet \underline{x^2-2x\vphantom{(}} + y^2+4y + 1 =\underline{(x-1)^2-1^2} + y^2+4y + 1
(de understrukna termerna visar kvadratkompletteringen).
Kvadratkomplettera sedan termerna som innehåller y (x-1)^2-1^2 + \underline{y^2+4y} + 1= (x-1)^2-1^2 + \underline{(y+2)^2-2^2} + 1\,\mbox{.}
Vänsterledet är alltså lika med (x-1)^2 + (y+2)^2-4
och flyttar vi över 4 till högerledet är cirkelns ekvation (x-1)^2 + (y+2)^2 = 4 \, \mbox{.}
Vi avläser att medelpunkten är \,(1,-2)\, och radien är \,\sqrt{4}= 2\,.
Råd för inläsning Tänk på att:
Lästips för dig som vill fördjupa dig ytterligare eller behöver en längre förklaring vill vi tipsa om: Sammanfattning av Geometri B ur Theducations gymnasielexikon Läs mer om Pythagoras sats på svenska Wikipedia Läs mer i Mathworld om cirkeln
Interaktivt experiment: sinus och cosinus i enehtscirkeln (Flash) Experimentera med Randvinkelsatsen
|
|