Loading jsMath...

4.1 Vinklar och cirklar

Sommarmatte 1

(Skillnad mellan versioner)
Hoppa till: navigering, sök
Versionen från 7 maj 2007 kl. 14.03 (redigera)
Lina (Diskussion | bidrag)

← Gå till föregående ändring
Versionen från 8 maj 2007 kl. 12.40 (redigera) (ogör)
Tek (Diskussion | bidrag)
(En del ändringar)
Gå till nästa ändring →
Rad 1: Rad 1:
 +__NOTOC__
<table><tr><td width="600"> <table><tr><td width="600">
- 
-=4.1 Vinklar och cirklar= 
<div class="inforuta"> <div class="inforuta">
Rad 11: Rad 10:
<div class="inforuta"> <div class="inforuta">
-'''Läromål:'''+'''Lärandemål:'''
Efter detta avsnitt ska du ha lärt dig att: Efter detta avsnitt ska du ha lärt dig att:
-*Omvandla mellan grader, radianer och varv+*Omvandla mellan grader, radianer och varv.
-*Beräkna arean och omkretsen av en cirkelsektor+*Beräkna arean och omkretsen av en cirkelsektor.
-*Beräkna avståndet mellan två punkter i planet+*Beräkna avståndet mellan två punkter i planet.
-*Skissera cirklar med hjälp av att kvadratkomplettera deras ekvationer+*Skissera cirklar med hjälp av att kvadratkomplettera deras ekvationer.
*Använda begreppen enhetscirkel, tangent, radie, diameter, pereferi, korda och cirkelbåge. *Använda begreppen enhetscirkel, tangent, radie, diameter, pereferi, korda och cirkelbåge.
-*Lösa geometriska problem som innehåller cirklar+*Lösa geometriska problem som innehåller cirklar.
</div> </div>
Rad 38: Rad 37:
Det finns flera olika enheter för att mäta vinklar, som är praktiska i olika sammanhang. De två vanligaste vinkelmåtten i matematiken är grader och radianer. Det finns flera olika enheter för att mäta vinklar, som är praktiska i olika sammanhang. De två vanligaste vinkelmåtten i matematiken är grader och radianer.
-*'''Grader.''' Om ett helt varv delas in i 360 delar, så kallas varje del $1$ grad. Beteckningen för grader är ^\circ. +*'''Grader.''' Om ett helt varv delas in i 360 delar, så kallas varje del 1 grad. Beteckningen för grader är ^\circ.
Bild: figur 3.2.1 Bild: figur 3.2.1
-*'''Radianer.''' Ett annat sätt att mäta vinklar är att omvända längden av vinkelns cirkelbåge i förhållandet till radien som mått på vinkeln. Detta vinkelmått kallas för radian. Ett varv är alltså 2\pi radianer eftersom cirkelns omkrets är 2\pi r, där r är cirkelns radie. +*'''Radianer.''' Ett annat sätt att mäta vinklar är att använda längden av vinkelns cirkelbåge i förhållande till radien som mått på vinkeln. Detta vinkelmått kallas för radian. Ett varv är alltså $\,2\pi\, radianer eftersom cirkelns omkrets är \,2\pi r\,, där \,r\,$ är cirkelns radie.
Bild: figurer 3.2.2 och figurer 3.2.3 Bild: figurer 3.2.2 och figurer 3.2.3
-Ett helt varv är 360^\circ eller 2\pi radianer och det gör att+Ett helt varv är $\,360^\circ\, eller \,2\pi\,$ radianer och det gör att
-$$1^\circ = \frac{1}{360} \cdot 2\pi \mbox{ radianer } = \frac{\pi}{180} \mbox{ radianer }$$+$$\eqalign{&1^\circ = \frac{1}{360} \cdot 2\pi\ \mbox{ radianer } = \frac{\pi}{180}\ \mbox{ radianer,}\cr &1\ \mbox{ radian } = \frac{1}{2\pi} \cdot 360^\circ = \frac{180^\circ}{\pi}\,\mbox{.}}$$
-$$1 \mbox{ radianer } = \frac{1}{2\pi} \cdot 360^\circ = \frac{180^\circ}{\pi}$$+
Dessa omvandlingsfaktorer kan användas för att konvertera mellan grader och radianer. Dessa omvandlingsfaktorer kan användas för att konvertera mellan grader och radianer.
Rad 56: Rad 54:
<ol type="a"> <ol type="a">
-<li>30^\circ = 30 \cdot 1^\circ = 30 \cdot \displaystyle \frac{\pi}{180} \mbox{ radianer } = \displaystyle \frac{\pi}{6} \mbox{ radianer } <br><br>+<li>$30^\circ = 30 \cdot 1^\circ = 30 \cdot \displaystyle \frac{\pi}{180}\ \mbox{ radianer } = \displaystyle \frac{\pi}{6}\ \mbox{ radianer }$ <br><br>
-<li> \displaystyle \frac{\pi}{8} \mbox {radianer } = \displaystyle \frac{\pi}{8} \cdot (1 \; \mbox{radian }) = \displaystyle \frac{\pi}{8} \cdot \displaystyle \frac{180^\circ}{\pi} = 22,5^\circ+<li>$ \displaystyle \frac{\pi}{8}\ \mbox { radianer } = \displaystyle \frac{\pi}{8} \cdot (1 \; \mbox{radian}\,) = \displaystyle \frac{\pi}{8} \cdot \displaystyle \frac{180^\circ}{\pi} = 22{,}5^\circ$
</ol> </ol>
</div> </div>
-I en del sammanhang kan det vara meningsfullt att tala om negativa vinklar eller vinklar som är större än 360^\circ. Då kan man använda att man kan ange samma riktning med flera olika vinklar som skiljer sig från varandra med ett helt antal varv. +I en del sammanhang kan det vara meningsfullt att tala om negativa vinklar eller vinklar som är större än 360°. Då kan man använda att man kan ange samma riktning med flera olika vinklar som skiljer sig från varandra med ett helt antal varv.
Bild: Figur 3.2.4 Bild: Figur 3.2.4
Rad 70: Rad 68:
<ol type="a"> <ol type="a">
-<li>Vinklar -55^\circ och 665^\circ anger samma riktning eftersom $$-55^\circ + 2 \cdot 360^\circ = 665^\circ \; \mbox{.}$$ +<li>Vinklarna $\,-55^\circ\, och \,665^\circ\,$ anger samma riktning eftersom
-<li>Vinklarna \frac{3\pi}{7} och -\frac{11\pi}{7} anger samma riktning eftersom $$\frac{3\pi}{7} - 2\pi = -\frac{11\pi}{7} \; \mbox{.}$$+$$-55^\circ + 2 \cdot 360^\circ = 665^\circ\,\mbox{.}$$
-<li> Vinklarna 36^\circ och 216^\circ anger inte samma riktning utan motsatta riktningar eftersom $$36^\circ + 180^\circ = 216^\circ \; \mbox{.}$$+ 
 +<li>Vinklarna $\,\displaystyle\frac{3\pi}{7}\, och \,-\displaystyle\frac{11\pi}{7}\,$ anger samma riktning eftersom
 +$$\frac{3\pi}{7} - 2\pi = -\frac{11\pi}{7}\,\mbox{.}$$
 + 
 +<li> Vinklarna $\,36^\circ\, och \,216^\circ\,$ anger inte samma riktning utan motsatta riktningar eftersom
 +$$36^\circ + 180^\circ = 216^\circ\,\mbox{.}$$
</ol> </ol>
</div> </div>
-==Avståndsformlen==+==Avståndsformeln==
-Pythagoras sats är en av de mest kända satserna i matematiken och säger att i en rätvinklig triangel med kateter a och b , och hypotenusa c gäller att+Pythagoras sats är en av de mest kända satserna i matematiken och säger att i en rätvinklig triangel med kateter $\,a\, och \,b\,, och hypotenusa \,c\,$ gäller att
<div class="regel"> <div class="regel">
'''Pythagoras sats:''' '''Pythagoras sats:'''
-$$c^2 = a^2 + b^2 \; \mbox{.}$$+$$c^2 = a^2 + b^2\,\mbox{.}$$
</div> </div>
Rad 92: Rad 95:
Bild: figur 3.2.6 Bild: figur 3.2.6
-I triangel till höger är+I triangeln till höger är
c^2= 3^2 + 4^2 = 9 +16 = 25
c^2= 3^2 + 4^2 = 9 +16 = 25
-och därför är hypotenusan c lika med+och därför är hypotenusan $\,c\,$ lika med
-$$c=\sqrt{25} = 5 \; \mbox{.}$$+$$c=\sqrt{25} = 5\,\mbox{.}$$
</div> </div>
Rad 103: Rad 106:
'''Avståndsformeln:''' '''Avståndsformeln:'''
-Avståndet d mellan två puntker med koordinater (x, y) och (a, b) är +Avståndet $\,d\,$ mellan två punkter med koordinater $\,(x, y)\, och \,(a, b)\,$ är
-
d = \sqrt{(x – a)^2 + (y – b)^2}
+$$d = \sqrt{(x – a)^2 + (y – b)^2}\,\mbox{.}$$
</div> </div>
-Denna formel kallas för avståndsformeln. 
Linjestycket mellan punkterna är hypotenusan i en rätvinklig triangel vars kateter är parallella med koordinataxlarna. Linjestycket mellan punkterna är hypotenusan i en rätvinklig triangel vars kateter är parallella med koordinataxlarna.
Rad 112: Rad 114:
Bild: figur 3.2.7 Bild: figur 3.2.7
-Kateternas längd är lika med beloppet av skillnaden i $x$- och $y$-led mellan punkterna, d.v.s. |x-a| respektive |y-b|. Pythagoras sats ger sedan avståndsformeln. +Kateternas längd är lika med beloppet av skillnaden i ''x''- och ''y''-led mellan punkterna, dvs. |x-a| respektive |y-b|. Pythagoras sats ger sedan avståndsformeln.
<div class="exempel"> <div class="exempel">
Rad 118: Rad 120:
<ol type="a"> <ol type="a">
-<li>Avståndet mellan (1,2) och (3,1) är $$d=\sqrt{ (1-3)^2 + (2-1)^2} = \sqrt{(-2)^2 + 1^2} = \sqrt{ 4+1} = \sqrt{5} \; \mbox{.}$$+<li>Avståndet mellan $\,(1,2)\, och \,(3,1)\,$ är
-<li>Avståndet mellan (-1,0) och (-2,-5) är $$d=\sqrt{ (-1-(-2))^2 + (0-(-5))^2} = \sqrt{1^2 + 5^2} = \sqrt{1+25} = \sqrt{26} \; \mbox{.}$$+$$d=\sqrt{ (1-3)^2 + (2-1)^2} = \sqrt{(-2)^2 + 1^2} = \sqrt{ 4+1} = \sqrt{5}\,\mbox{.}$$
 + 
 +<li>Avståndet mellan $\,(-1,0)\, och \,(-2,-5)\,$ är
 +$$d=\sqrt{ (-1-(-2))^2 + (0-(-5))^2} = \sqrt{1^2 + 5^2} = \sqrt{1+25} = \sqrt{26}\,\mbox{.}$$
</ol> </ol>
Rad 127: Rad 132:
==Cirklar== ==Cirklar==
-En cirkel består av alla punkter som befinner sig på ett visst fixt avstånd r från en punkt (a,b).+En cirkel består av alla punkter som befinner sig på ett visst fixt avstånd $\,r\, från en punkt \,(a,b)\,$.
Bild:figur 3.2.8 Bild:figur 3.2.8
-Avståndet r kallan för cirkelns radie och punkten (a,b) för cirkelns medelpunkt. Figuren nedan visar andra viktiga cirkelbegrepp.+Avståndet $\,r\,$ kallas för cirkelns radie och punkten $\,(a,b)\,$ för cirkelns medelpunkt. Figuren nedan visar andra viktiga cirkelbegrepp.
-[[Bild:3_2_10.gif]]+[[Bild:3_2_10.gif||center]]
Rad 141: Rad 146:
En cirkelsektor är given i figuren till höger. Bild: figur 3.2.10 En cirkelsektor är given i figuren till höger. Bild: figur 3.2.10
<ol type="a"> <ol type="a">
-<li>Bestäm cirkelbågens längd <br><br>+<li>Bestäm cirkelbågens längd. <br><br>
-Medelpunktsvinkeln 50^\circ blir i radianer+Medelpunktsvinkeln $\,50^\circ\,$ blir i radianer
-
50^\circ= 50 \cdot 1^\circ = 50 \cdot \frac{\pi}{180} \mbox{ radianer } = \frac{5\pi}{18} \mbox{ radianer. }
+$$50^\circ= 50 \cdot 1^\circ = 50 \cdot \frac{\pi}{180}\ \mbox{ radianer } = \frac{5\pi}{18}\ \mbox{ radianer. }$$
På det sätt som radianer är definerat betyder detta att cirkelbågens längd är radien multiplicerat med vinkeln mätt i radianer, På det sätt som radianer är definerat betyder detta att cirkelbågens längd är radien multiplicerat med vinkeln mätt i radianer,
-
3 \cdot \frac{5\pi}{18} \mbox{ l.e. } = \frac{5\pi}{6} \mbox{ l.e. }
+$$3 \cdot \frac{5\pi}{18}\ \mbox{ l.e. } = \frac{5\pi}{6}\ \mbox{ l.e. }$$
<li>Bestäm cirkelsektorns area. <br><br> <li>Bestäm cirkelsektorns area. <br><br>
Cirkelsektorns andel av hela cirkeln är
\frac{50^\circ}{360^\circ} = \frac{5}{36}
Cirkelsektorns andel av hela cirkeln är
\frac{50^\circ}{360^\circ} = \frac{5}{36}
-och det betyder att dess area är \frac{5}{36} delar av cirkelns area som är \pi r^2 = \pi 3^2 = 9\pi, d.v.s.+och det betyder att dess area är $\,\frac{5}{36}\, delar av cirkelns area som är \,\pi r^2 = \pi 3^2 = 9\pi\,$, dvs.
-
\frac{5}{36} \cdot 9\pi \mbox{ a.e. }= \frac{5\pi}{4} \mbox{ a.e. }
+$$\frac{5}{36} \cdot 9\pi\ \mbox{ a.e. }= \frac{5\pi}{4}\ \mbox{ a.e. }$$
</ol> </ol>
Rad 155: Rad 160:
Bild:3.2.11 Bild:3.2.11
-En punkt (x,y) ligger på cirkeln som har medelpunkt i (a,b) och radie r om dess avstånd till medelpunkten är lika med r. Detta villkor kan formuleras med avståndsformeln som +En punkt $\,(x,y)\, ligger på cirkeln som har medelpunkt i \,(a,b)\, och radie \,r\, om dess avstånd till medelpunkten är lika med \,r\,$. Detta villkor kan formuleras med avståndsformeln som
<div class="regel"> <div class="regel">
'''Cirkelns ekvation:''' '''Cirkelns ekvation:'''
Rad 166: Rad 171:
<ol type="a"> <ol type="a">
-<li>(x-1)^2 + (y-2)^2 = 9 är ekvationen för en cirkel med medelpunkten i (1,2) och radie \sqrt{9} = 3.<br><br>+<li>$(x-1)^2 + (y-2)^2 = 9\quad$ är ekvationen för en cirkel med medelpunkt i $\,(1,2)\, och radie \,\sqrt{9} = 3\,$.<br><br>
-<li>x^2 + (y-1)^2 = 1 kan skriva som (x-0)^2 + (y-1)^2 = 1 och är ekvationen för en cirkel med medelpunkten i (0,1) och radie \sqrt{1} = 1.<br><br>+<li>$x^2 + (y-1)^2 = 1\quad$ kan skrivas som $\,(x-0)^2 + (y-1)^2 = 1\,$ och är ekvationen för en cirkel med medelpunkt i $\,(0,1)\, och radie \,\sqrt{1} = 1\,$.<br><br>
-<li>(x+1)^2 + (y-3)^2 = 5 kan skrivas som (x-(-1))^2 + (y-3)^2 = 5 och är ekvationen för en cirkel med medelpunkten i (-1,3) och radie \sqrt{5} \approx 2{,}236.+<li>$(x+1)^2 + (y-3)^2 = 5\quad kan skrivas som \,(x-(-1))^2 + (y-3)^2 = 5\,$ och är ekvationen för en cirkel med medelpunkt i $\,(-1,3)\, och radie \,\sqrt{5} \approx 2{,}236\,$.
</ol> </ol>
Rad 179: Rad 184:
<ol type="a"> <ol type="a">
-<li>Ligger punkten (1,2) på cirkeln (x-4)^2 +y^2=13? <br><br>+<li>Ligger punkten $\,(1,2)\, på cirkeln \,(x-4)^2 +y^2=13\,$?<br><br>
-Stoppar vi in punktens koordinater x=1 och y=2 i cirkelns ekvation har vi att+Stoppar vi in punktens koordinater $\,x=1\, och \,y=2\,$ i cirkelns ekvation har vi att
-$$\mbox{VL }= (1-4)^2+2^2 =(-3)^2+2^2=9+4=13= \mbox{ HL}\; \mbox{.}$$+$$\mbox{VL }= (1-4)^2+2^2 =(-3)^2+2^2=9+4=13= \mbox{ HL}\,\mbox{.}$$
Eftersom punkten uppfyller cirkelns ekvation ligger punken på cirkeln. <br><br> Eftersom punkten uppfyller cirkelns ekvation ligger punken på cirkeln. <br><br>
-<li>Bestäm ekvationen för cirkeln som har medelpunkt i (3,4) och innehåller punkten (1,0).<br><br>+<li>Bestäm ekvationen för cirkeln som har medelpunkt i $\,(3,4)\, och innehåller punkten \,(1,0)\,$.<br><br>
-Eftersom punkten (1,0) ska ligga på cirkeln måste cirkelns radie vara lika med avståndet från (1,0) till medelpunkten (3,4). Avståndsformlen ger att detta avstånd är $$c=\sqrt{(3-1)^2 + (4-0)^2 }= \sqrt{4 +16} = \sqrt{20} \; \mbox{.}$$+Eftersom punkten $\,(1,0)\, ska ligga på cirkeln måste cirkelns radie vara lika med avståndet från \,(1,0)\, till medelpunkten \,(3,4)\,$. Avståndsformeln ger att detta avstånd är
 +$$c=\sqrt{(3-1)^2 + (4-0)^2 }= \sqrt{4 +16} = \sqrt{20} \, \mbox{.}$$
Cirkelns ekvation är därför Cirkelns ekvation är därför
(x-3)^2 + (y-4)^2 = 20 \; \mbox{.}
(x-3)^2 + (y-4)^2 = 20 \; \mbox{.}
Rad 196: Rad 202:
'''Exempel 8''' '''Exempel 8'''
-Bestäm medelpunkt och radie för den cirkel vars ekvation är x^2 + y^2 – 2x + 4y + 1 = 0.+Bestäm medelpunkt och radie för den cirkel vars ekvation är $\,x^2 + y^2 – 2x + 4y + 1 = 0\,$.
-Vi försöker skriva om cirkelns ekvation på formen+Vi ska försöka skriva om cirkelns ekvation på formen
(x – a)^2 + (y – b)^2 = r^2
(x – a)^2 + (y – b)^2 = r^2
-för då kan vi direkt avläsa att medelpunken (a,b) och radien r. +för då kan vi direkt avläsa att medelpunken är $\,(a,b)\,$ och radien är $\,r\,$.
-Börja med att kvadratkomplettera termerna som innehåller x i vänsterledet+Börja med att kvadratkomplettera termerna som innehåller $\,x\,$ i vänsterledet
-
\underline{x^2-2x} + y^2+4y + 1 =\underline{(x-1)^2-1^2} + y^2+4y + 1
+$$ \underline{x^2-2x\vphantom{(}} + y^2+4y + 1 =\underline{(x-1)^2-1^2} + y^2+4y + 1$$
(de understrukna termerna visar kvadratkompletteringen). (de understrukna termerna visar kvadratkompletteringen).
Kvadratkomplettera sedan termerna som innehåller y Kvadratkomplettera sedan termerna som innehåller y
-
(x-1)^2-1^2 + \underline{y^2+4y} + 1= (x-1)^2-1^2 + \underline{(y+2)^2-2^2} + 1
+$$ (x-1)^2-1^2 + \underline{y^2+4y} + 1= (x-1)^2-1^2 + \underline{(y+2)^2-2^2} + 1\,\mbox{.}$$
Vänsterledet är alltså lika med Vänsterledet är alltså lika med
(x-1)^2 + (y+2)^2-4
(x-1)^2 + (y+2)^2-4
-och flyttar vi över $4$ till högerledet är cirkelns ekvation+och flyttar vi över 4 till högerledet är cirkelns ekvation
-$$ (x-1)^2 + (y+2)^2 = 4 \; \mbox{.}$$+$$ (x-1)^2 + (y+2)^2 = 4 \, \mbox{.}$$
-Vi avläser att medelpunkten är (1,2) och radien är \sqrt{4}= 2.+Vi avläser att medelpunkten är $\,(1,-2)\, och radien är \,\sqrt{4}= 2\,$.
-[[Bild:766790.gif]]+[[Bild:766790.gif||center]]
</div> </div>
Rad 230: Rad 236:
'''Tänk på att:''' '''Tänk på att:'''
-Lär dig att använda enhetscirkeln som ett verktyg i det trigonometriska arbetet. Avläsningar i enhetscirkeln ger dig viktiga upplysningar om diverse samband. 

Versionen från 8 maj 2007 kl. 12.40

Innehåll:

  • Vinkelmått
  • Avståndsformeln i planet
  • Cirkelns ekvation

Lärandemål:

Efter detta avsnitt ska du ha lärt dig att:

  • Omvandla mellan grader, radianer och varv.
  • Beräkna arean och omkretsen av en cirkelsektor.
  • Beräkna avståndet mellan två punkter i planet.
  • Skissera cirklar med hjälp av att kvadratkomplettera deras ekvationer.
  • Använda begreppen enhetscirkel, tangent, radie, diameter, pereferi, korda och cirkelbåge.
  • Lösa geometriska problem som innehåller cirklar.


Övningar

Teori

Vinkelmått

Det finns flera olika enheter för att mäta vinklar, som är praktiska i olika sammanhang. De två vanligaste vinkelmåtten i matematiken är grader och radianer.

  • Grader. Om ett helt varv delas in i 360 delar, så kallas varje del 1 grad. Beteckningen för grader är ^\circ.

Bild: figur 3.2.1

  • Radianer. Ett annat sätt att mäta vinklar är att använda längden av vinkelns cirkelbåge i förhållande till radien som mått på vinkeln. Detta vinkelmått kallas för radian. Ett varv är alltså \,2\pi\, radianer eftersom cirkelns omkrets är \,2\pi r\,, där \,r\, är cirkelns radie.

Bild: figurer 3.2.2 och figurer 3.2.3


Ett helt varv är \,360^\circ\, eller \,2\pi\, radianer och det gör att

\eqalign{&1^\circ = \frac{1}{360} \cdot 2\pi\ \mbox{ radianer } = \frac{\pi}{180}\ \mbox{ radianer,}\cr &1\ \mbox{ radian } = \frac{1}{2\pi} \cdot 360^\circ = \frac{180^\circ}{\pi}\,\mbox{.}}
Dessa omvandlingsfaktorer kan användas för att konvertera mellan grader och radianer.

Exempel 1

  1. 30^\circ = 30 \cdot 1^\circ = 30 \cdot \displaystyle \frac{\pi}{180}\ \mbox{ radianer } = \displaystyle \frac{\pi}{6}\ \mbox{ radianer }

  2. \displaystyle \frac{\pi}{8}\ \mbox { radianer } = \displaystyle \frac{\pi}{8} \cdot (1 \; \mbox{radian}\,) = \displaystyle \frac{\pi}{8} \cdot \displaystyle \frac{180^\circ}{\pi} = 22{,}5^\circ

I en del sammanhang kan det vara meningsfullt att tala om negativa vinklar eller vinklar som är större än 360°. Då kan man använda att man kan ange samma riktning med flera olika vinklar som skiljer sig från varandra med ett helt antal varv.

Bild: Figur 3.2.4

Exempel 2

  1. Vinklarna \,-55^\circ\, och \,665^\circ\, anger samma riktning eftersom
    -55^\circ + 2 \cdot 360^\circ = 665^\circ\,\mbox{.}
  2. Vinklarna \,\displaystyle\frac{3\pi}{7}\, och \,-\displaystyle\frac{11\pi}{7}\, anger samma riktning eftersom
    \frac{3\pi}{7} - 2\pi = -\frac{11\pi}{7}\,\mbox{.}
  3. Vinklarna \,36^\circ\, och \,216^\circ\, anger inte samma riktning utan motsatta riktningar eftersom
    36^\circ + 180^\circ = 216^\circ\,\mbox{.}

Avståndsformeln

Pythagoras sats är en av de mest kända satserna i matematiken och säger att i en rätvinklig triangel med kateter \,a\, och \,b\,, och hypotenusa \,c\, gäller att

Pythagoras sats:

c^2 = a^2 + b^2\,\mbox{.}

Bild: figur 3.2.5

Exempel 3

Bild: figur 3.2.6

I triangeln till höger är

c^2= 3^2 + 4^2 = 9 +16 = 25
och därför är hypotenusan \,c\, lika med
c=\sqrt{25} = 5\,\mbox{.}

Pythagoras sats kan användas för att beräkna avståndet mellan två punkter i ett koordinatsystem.

Avståndsformeln:

Avståndet \,d\, mellan två punkter med koordinater \,(x, y)\, och \,(a, b)\, är

d = \sqrt{(x – a)^2 + (y – b)^2}\,\mbox{.}

Linjestycket mellan punkterna är hypotenusan i en rätvinklig triangel vars kateter är parallella med koordinataxlarna.

Bild: figur 3.2.7

Kateternas längd är lika med beloppet av skillnaden i x- och y-led mellan punkterna, dvs. |x-a| respektive |y-b|. Pythagoras sats ger sedan avståndsformeln.

Exempel 4

  1. Avståndet mellan \,(1,2)\, och \,(3,1)\, är
    d=\sqrt{ (1-3)^2 + (2-1)^2} = \sqrt{(-2)^2 + 1^2} = \sqrt{ 4+1} = \sqrt{5}\,\mbox{.}
  2. Avståndet mellan \,(-1,0)\, och \,(-2,-5)\, är
    d=\sqrt{ (-1-(-2))^2 + (0-(-5))^2} = \sqrt{1^2 + 5^2} = \sqrt{1+25} = \sqrt{26}\,\mbox{.}

Interaktivt experiment: Här kan du experimentera med avståndsformeln och Pythagoras sats

Cirklar

En cirkel består av alla punkter som befinner sig på ett visst fixt avstånd \,r\, från en punkt \,(a,b)\,.

Bild:figur 3.2.8

Avståndet \,r\, kallas för cirkelns radie och punkten \,(a,b)\, för cirkelns medelpunkt. Figuren nedan visar andra viktiga cirkelbegrepp.


Exempel 5

En cirkelsektor är given i figuren till höger. Bild: figur 3.2.10

  1. Bestäm cirkelbågens längd.

    Medelpunktsvinkeln \,50^\circ\, blir i radianer
    50^\circ= 50 \cdot 1^\circ = 50 \cdot \frac{\pi}{180}\ \mbox{ radianer } = \frac{5\pi}{18}\ \mbox{ radianer. }
    På det sätt som radianer är definerat betyder detta att cirkelbågens längd är radien multiplicerat med vinkeln mätt i radianer,
    3 \cdot \frac{5\pi}{18}\ \mbox{ l.e. } = \frac{5\pi}{6}\ \mbox{ l.e. }
  2. Bestäm cirkelsektorns area.

    Cirkelsektorns andel av hela cirkeln är
    \frac{50^\circ}{360^\circ} = \frac{5}{36}
    och det betyder att dess area är \,\frac{5}{36}\, delar av cirkelns area som är \,\pi r^2 = \pi 3^2 = 9\pi\,, dvs.
    \frac{5}{36} \cdot 9\pi\ \mbox{ a.e. }= \frac{5\pi}{4}\ \mbox{ a.e. }

Bild:3.2.11

En punkt \,(x,y)\, ligger på cirkeln som har medelpunkt i \,(a,b)\, och radie \,r\, om dess avstånd till medelpunkten är lika med \,r\,. Detta villkor kan formuleras med avståndsformeln som

Cirkelns ekvation:

(x – a)^2 + (y – b)^2 = r^2

och kallas för cirkelns ekvation.

Exempel 6

  1. (x-1)^2 + (y-2)^2 = 9\quad är ekvationen för en cirkel med medelpunkt i \,(1,2)\, och radie \,\sqrt{9} = 3\,.

  2. x^2 + (y-1)^2 = 1\quad kan skrivas som \,(x-0)^2 + (y-1)^2 = 1\, och är ekvationen för en cirkel med medelpunkt i \,(0,1)\, och radie \,\sqrt{1} = 1\,.

  3. (x+1)^2 + (y-3)^2 = 5\quad kan skrivas som \,(x-(-1))^2 + (y-3)^2 = 5\, och är ekvationen för en cirkel med medelpunkt i \,(-1,3)\, och radie \,\sqrt{5} \approx 2{,}236\,.

Bild: figur 3.2-12-14

Exempel 7

  1. Ligger punkten \,(1,2)\, på cirkeln \,(x-4)^2 +y^2=13\,?

    Stoppar vi in punktens koordinater \,x=1\, och \,y=2\, i cirkelns ekvation har vi att
    \mbox{VL }= (1-4)^2+2^2 =(-3)^2+2^2=9+4=13= \mbox{ HL}\,\mbox{.}
    Eftersom punkten uppfyller cirkelns ekvation ligger punken på cirkeln.

  2. Bestäm ekvationen för cirkeln som har medelpunkt i \,(3,4)\, och innehåller punkten \,(1,0)\,.

    Eftersom punkten \,(1,0)\, ska ligga på cirkeln måste cirkelns radie vara lika med avståndet från \,(1,0)\, till medelpunkten \,(3,4)\,. Avståndsformeln ger att detta avstånd är
    c=\sqrt{(3-1)^2 + (4-0)^2 }= \sqrt{4 +16} = \sqrt{20} \, \mbox{.}
    Cirkelns ekvation är därför
    (x-3)^2 + (y-4)^2 = 20 \; \mbox{.}

Bild: 3.2.15 och 3.2.16

Exempel 8

Bestäm medelpunkt och radie för den cirkel vars ekvation är \,x^2 + y^2 – 2x + 4y + 1 = 0\,.


Vi ska försöka skriva om cirkelns ekvation på formen

(x – a)^2 + (y – b)^2 = r^2
för då kan vi direkt avläsa att medelpunken är \,(a,b)\, och radien är \,r\,.

Börja med att kvadratkomplettera termerna som innehåller \,x\, i vänsterledet

\underline{x^2-2x\vphantom{(}} + y^2+4y + 1 =\underline{(x-1)^2-1^2} + y^2+4y + 1
(de understrukna termerna visar kvadratkompletteringen).

Kvadratkomplettera sedan termerna som innehåller y

(x-1)^2-1^2 + \underline{y^2+4y} + 1= (x-1)^2-1^2 + \underline{(y+2)^2-2^2} + 1\,\mbox{.}

Vänsterledet är alltså lika med

(x-1)^2 + (y+2)^2-4

och flyttar vi över 4 till högerledet är cirkelns ekvation

(x-1)^2 + (y+2)^2 = 4 \, \mbox{.}

Vi avläser att medelpunkten är \,(1,-2)\, och radien är \,\sqrt{4}= 2\,.

Övningar



© Copyright 2007, math.se




Personliga verktyg