4.1 Vinklar och cirklar
Sommarmatte 1
Versionen från 14 maj 2007 kl. 10.23 (redigera) Lina (Diskussion | bidrag) (→Cirklar) ← Gå till föregående ändring |
Versionen från 14 maj 2007 kl. 10.28 (redigera) (ogör) Lina (Diskussion | bidrag) (→Cirklar) Gå till nästa ändring → |
||
Rad 145: | Rad 145: | ||
'''Exempel 5''' | '''Exempel 5''' | ||
- | En cirkelsektor är given i figuren till höger. [[Bild:t_3_2_9.gif]] | + | En cirkelsektor är given i figuren till höger. [[Bild:t_3_2_9.gif|right]] |
<ol type="a"> | <ol type="a"> | ||
<li>Bestäm cirkelbågens längd. <br><br> | <li>Bestäm cirkelbågens längd. <br><br> |
Versionen från 14 maj 2007 kl. 10.28
Innehåll:
Lärandemål: Efter detta avsnitt ska du ha lärt dig att:
|
|
TeoriVinkelmåttDet finns flera olika enheter för att mäta vinklar, som är praktiska i olika sammanhang. De två vanligaste vinkelmåtten i matematiken är grader och radianer.
Exempel 1
I en del sammanhang kan det vara meningsfullt att tala om negativa vinklar eller vinklar som är större än 360°. Då kan man använda att man kan ange samma riktning med flera olika vinklar som skiljer sig från varandra med ett helt antal varv. Exempel 2
AvståndsformelnPythagoras sats är en av de mest kända satserna i matematiken och säger att i en rätvinklig triangel med kateter $\,a\,$ och $\,b\,$, och hypotenusa $\,c\,$ gäller att Pythagoras sats: $$c^2 = a^2 + b^2\,\mbox{.}$$
Exempel 3 I triangeln till höger är $$c^2= 3^2 + 4^2 = 9 +16 = 25$$ och därför är hypotenusan $\,c\,$ lika med $$c=\sqrt{25} = 5\,\mbox{.}$$ Pythagoras sats kan användas för att beräkna avståndet mellan två punkter i ett koordinatsystem. Avståndsformeln: Avståndet $\,d\,$ mellan två punkter med koordinater $\,(x, y)\,$ och $\,(a, b)\,$ är $$d = \sqrt{(x – a)^2 + (y – b)^2}\,\mbox{.}$$ Linjestycket mellan punkterna är hypotenusan i en rätvinklig triangel vars kateter är parallella med koordinataxlarna. Kateternas längd är lika med beloppet av skillnaden i x- och y-led mellan punkterna, dvs. $|x-a|$ respektive $|y-b|$. Pythagoras sats ger sedan avståndsformeln. Exempel 4
CirklarEn cirkel består av alla punkter som befinner sig på ett visst fixt avstånd $\,r\,$ från en punkt $\,(a,b)\,$. Avståndet $\,r\,$ kallas för cirkelns radie och punkten $\,(a,b)\,$ för cirkelns medelpunkt. Figuren nedan visar andra viktiga cirkelbegrepp.
Exempel 5 En cirkelsektor är given i figuren till höger.
En punkt $\,(x,y)\,$ ligger på cirkeln som har medelpunkt i $\,(a,b)\,$ och radie $\,r\,$ om dess avstånd till medelpunkten är lika med $\,r\,$. Detta villkor kan formuleras med avståndsformeln som Cirkelns ekvation: $$(x – a)^2 + (y – b)^2 = r^2\,\mbox{.}$$ Exempel 6
Exempel 7
Exempel 8 Bestäm medelpunkt och radie för den cirkel vars ekvation är $\ x^2 + y^2 – 2x + 4y + 1 = 0\,$.
Börja med att kvadratkomplettera termerna som innehåller $\,x\,$ i vänsterledet $$ \underline{x^2-2x\vphantom{(}} + y^2+4y + 1 =\underline{(x-1)^2-1^2} + y^2+4y + 1$$ (de understrukna termerna visar kvadratkompletteringen). Kvadratkomplettera sedan termerna som innehåller $y$ $$ (x-1)^2-1^2 + \underline{y^2+4y} + 1= (x-1)^2-1^2 + \underline{(y+2)^2-2^2} + 1\,\mbox{.}$$ Vänsterledet är alltså lika med $$ (x-1)^2 + (y+2)^2-4 $$ och flyttar vi över 4 till högerledet är cirkelns ekvation $$ (x-1)^2 + (y+2)^2 = 4 \, \mbox{.}$$ Vi avläser att medelpunkten är $\,(1,-2)\,$ och radien är $\,\sqrt{4}= 2\,$.
Råd för inläsning Tänk på att:
Lästips för dig som vill fördjupa dig ytterligare eller behöver en längre förklaring vill vi tipsa om: Läs mer om Pythagoras sats på svenska Wikipedia Läs mer i Mathworld om cirkeln
Interaktivt experiment: sinus och cosinus i enehtscirkeln (Flash)
|
|