2. Algebra

Varför räknar vi med bokstäver och vem kom på detta?

Titta på videon där universitetslektor Lasse Svensson berättar om hur algebran utvecklats och svarar på Elins frågor om Del 2 i kursen.

Starta videon Introduktion till Algebran

Algebra är den gren av matematiken som behandlar räkning med symboliska uttryck och variabler och inte bara räkning med tal.

Algebra behövs i många situationer, t.ex. kan algebra användas till att beskriva matematiska problem och till att lösa ekvationer. Det går bland annat att beskriva geometriska fakta med hjälp av algebraiska påståenden, och många problem går att lösa med hjälp av algebraiska operationer.

I en del fall kan man inte räkna ut värdet av ett uttryck till ett numeriskt värde. Anledningen kan vara att uttrycket innehåller obekanta parametrar eller variabler. Det kan också vara så att det är viktigt att ett tal är exakt, t.ex. att en viss cirkel har en omkrets som är exakt $4\pi$, eller hypotenusans längd för en triangel är $\sqrt{3}$, eller varför inte att värdet på en konstant är $\displaystyle\frac{1-\ln 2}{3}$.

En linjär ekvation med två obekanta kan ses som en linje i ett koordinatsystem. Den gemensamma lösningen ( x, y ) till dessa ekvationer motsvaras då av den gemensamma punkten för dessa linjer, dvs. skärningspunkten.

Då kan det vara enklast att i uträkningarna kalla talet för exempelvis $a$. Som svar kan man också acceptera att man inte kommer fram till ett numeriskt värde, utan istället får ett uttryck som innehåller $a$.

En vanlig situation där man kan behöva algebra är förenkling. Det är ofta mycket viktigt att förenkla ett uttryck, t.ex. innan man skall derivera, eller när man löser en ekvation.

Genom att förenkla minskar man risken för slarvfel och man slipper onödigt arbete. Att förenkla innebär att skriva om ett uttryck från en form till en annan. Vilken form som betraktas som ”enkel” är ibland uppenbart, men det kan också bero på vad man vill göra med uttrycket.

När man deriverar kan det vara fördelaktigt att formulera uttrycket som en summa av ett antal termer. När man löser en ekvation kan det vara fördelaktigt att formulera det som en produkt av ett antal faktorer. Därför behöver man kunna omvandla uttryck mellan olika former.

Observera att materialet i denna kursdel---liksom i övriga delar av kursen---är utformat för att man ska arbeta med det utan hjälp av miniräknare.

När du kommer till högskolan kommer du nämligen inte att få använda miniräknare på dina "tentor", åtminstone inte på grundkurserna.