4.1 Vinklar och cirklar
Sommarmatte 1
Versionen från 25 maj 2007 kl. 13.25 (redigera) KTH.SE:u1qh5fat (Diskussion | bidrag) (→Cirklar) ← Gå till föregående ändring |
Versionen från 25 maj 2007 kl. 13.26 (redigera) (ogör) KTH.SE:u1qh5fat (Diskussion | bidrag) (→Cirklar) Gå till nästa ändring → |
||
Rad 172: | Rad 172: | ||
'''Cirkelns ekvation:''' | '''Cirkelns ekvation:''' | ||
$$(x – a)^2 + (y – b)^2 = r^2\,\mbox{.}$$ | $$(x – a)^2 + (y – b)^2 = r^2\,\mbox{.}$$ | ||
- | |||
- | |||
Versionen från 25 maj 2007 kl. 13.26
Innehåll:
Lärandemål: Efter detta avsnitt ska du ha lärt dig att:
|
|||||||||
TeoriVinkelmåttDet finns flera olika enheter för att mäta vinklar, som är praktiska i olika sammanhang. De två vanligaste vinkelmåtten i matematiken är grader och radianer.
Exempel 1
I en del sammanhang kan det vara meningsfullt att tala om negativa vinklar eller vinklar som är större än 360°. Då kan man använda att man kan ange samma riktning med flera olika vinklar som skiljer sig från varandra med ett helt antal varv. Exempel 2
AvståndsformelnPythagoras sats är en av de mest kända satserna i matematiken och säger att i en rätvinklig triangel med kateter $\,a\,$ och $\,b\,$, och hypotenusa $\,c\,$ gäller att
Exempel 3 I triangeln till höger är $$c^2= 3^2 + 4^2 = 9 +16 = 25$$ och därför är hypotenusan $\,c\,$ lika med $$c=\sqrt{25} = 5\,\mbox{.}$$ Pythagoras sats kan användas för att beräkna avståndet mellan två punkter i ett koordinatsystem. Avståndsformeln: Avståndet $\,d\,$ mellan två punkter med koordinater $\,(x, y)\,$ och $\,(a, b)\,$ är $$d = \sqrt{(x – a)^2 + (y – b)^2}\,\mbox{.}$$ Linjestycket mellan punkterna är hypotenusan i en rätvinklig triangel vars kateter är parallella med koordinataxlarna. Kateternas längd är lika med beloppet av skillnaden i x- och y-led mellan punkterna, dvs. $|x-a|$ respektive $|y-b|$. Pythagoras sats ger sedan avståndsformeln. Exempel 4
CirklarEn cirkel består av alla punkter som befinner sig på ett visst fixt avstånd $\,r\,$ från en punkt $\,(a,b)\,$. Avståndet $\,r\,$ kallas för cirkelns radie och punkten $\,(a,b)\,$ för cirkelns medelpunkt. Figuren nedan visar andra viktiga cirkelbegrepp.
Exempel 5 En cirkelsektor är given i figuren till höger.
Exempel 6
Exempel 7
Exempel 8 Bestäm medelpunkt och radie för den cirkel vars ekvation är $\ x^2 + y^2 – 2x + 4y + 1 = 0\,$.
Börja med att kvadratkomplettera termerna som innehåller $\,x\,$ i vänsterledet $$ \underline{x^2-2x\vphantom{(}} + y^2+4y + 1 =\underline{(x-1)^2-1^2} + y^2+4y + 1$$ (de understrukna termerna visar kvadratkompletteringen). Kvadratkomplettera sedan termerna som innehåller $y$ $$ (x-1)^2-1^2 + \underline{y^2+4y} + 1= (x-1)^2-1^2 + \underline{(y+2)^2-2^2} + 1\,\mbox{.}$$ Vänsterledet är alltså lika med $$ (x-1)^2 + (y+2)^2-4 $$ och flyttar vi över 4 till högerledet är cirkelns ekvation $$ (x-1)^2 + (y+2)^2 = 4 \, \mbox{.}$$ Vi avläser att medelpunkten är $\,(1,-2)\,$ och radien är $\,\sqrt{4}= 2\,$.
Råd för inläsning Grund- och slutprov Efter att du har läst texten och arbetat med övningarna ska du göra grund- och slutprovet för att bli godkänd på detta avsnitt. Du hittar länken till proven i din student lounge.
för dig som vill fördjupa dig ytterligare eller behöver en längre förklaring vill vi tipsa om: Läs mer om Pythagoras sats på svenska Wikipedia Läs mer i Mathworld om cirkeln
Interaktivt experiment: sinus och cosinus i enehtscirkeln (Flash)
|
|