4.1 Vinklar och cirklar

Sommarmatte 1

(Skillnad mellan versioner)

Hoppa till: navigering, sök

Versionen från 24 april 2007 kl. 10.34

Innehåll

1 4.1 Vinklar och cirklar
2 Teori

4.1 Vinklar och cirklar

Innehåll:

Vinkelmått
Avståndsformeln i planet
Cirkelns ekvation

Läromål:

Efter detta avsnitt ska du ha lärt dig att:

Omvandla mellan grader, radianer och varv
Beräkna arean och omkretsen av en cirkelsektor
Beräkna avståndet mellan två punkter i planet
Skissera cirklar med hjälp av att kvadratkomplettera deras ekvationer
Använda begreppen enhetscirkel, tangent, radie, diameter, pereferi, korda och cirkelbåge.
Lösa geometriska problem som innehåller cirklar

Övningar

Teori

Vinkelmått

Det finns flera olika enheter för att mäta vinklar, som är praktiska i olika sammanhang. De två vanligaste vinkelmåtten i matematiken är grader och radianer.

Grader. Om ett helt varv delas in i 360 delar, så kallas varje del $1$ grad. Beteckningen för grader är $ ^\circ$.

Bild: figur 3.2.1

Radianer. Ett annat sätt att mäta vinklar är att omvända längden av vinkelns cirkelbåge i förhållandet till radien som mått på vinkeln. Detta vinkelmått kallas för radian. Ett varv är alltså $2\pi$ radianer eftersom cirkelns omkrets är $2\pi r$, där $r$ är cirkelns radie.

Bild: figurer 3.2.2 och figurer 3.2.3

Ett helt varv är $360^\circ$ eller $2\pi$ radianer och det gör att $$1^\circ = \frac{1}{360} \cdot 2\pi \mbox{ radianer } = \frac{\pi}{180} \mbox{ radianer }$$ $$1 \mbox{ radianer } = \frac{1}{2\pi} \cdot 360^\circ = \frac{180^\circ}{\pi}$$ Dessa omvandlingsfaktorer kan användas för att konvertera mellan grader och radianer.

Exempel 1

$30^\circ = 30 \cdot 1^\circ = 30 \cdot \displaystyle \frac{\pi}{180} \mbox{ radianer } = \displaystyle \frac{\pi}{6} \mbox{ radianer }$
$ \displaystyle \frac{\pi}{8} \mbox {radianer } = \displaystyle \frac{\pi}{8} \cdot (1 \; \mbox{radian }) = \displaystyle \frac{\pi}{8} \cdot \displaystyle \frac{180^\circ}{\pi} = 22,5^\circ$

I en del sammanhang kan det vara meningsfullt att tala om negativa vinklar eller vinklar som är större än $360^\circ$. Då kan man använda att man kan ange samma riktning med flera olika vinklar som skiljer sig från varandra med ett helt antal varv.

Bild: Figur 3.2.4

Exempel 2

Exempeltext, använd nedanstående numrering

Vinklar $-55^\circ$ och $665^\circ$ anger samma riktning eftersom $$-55^\circ + 2 \cdot 360^\circ = 665^\circ \; \mbox{.}$$
Vinklarna $\frac{3\pi}{7}$ och $-\frac{11\pi}{7}$ anger samma riktning eftersom $$\frac{3\pi}{7} - 2\pi = -\frac{11\pi}{7} \; \mbox{.}$$
Vinklarna $36^\circ$ och $216^\circ$ anger inte samma riktning utan motsatta riktningar eftersom $$36^\circ + 180^\circ = 216^\circ \; \mbox{.}$$

Avståndsformlen

Pythagoras sats är en av de mest kända satserna i matematiken och säger att i en rätvinklig triangel med kateter $a$ och $b$ , och hypotenusa $c$ gäller att

$$c^2 = a^2 + b^2 \; \mbox{.}$$

Bild: figur 3.2.5

Exempel 3

Bild: figur 3.2.6

I triangel till höger är $$c^2= 3^2 + 4^2 = 9 +16 = 25$$ och därför är hypotenusan $c$ lika med $$c=\sqrt{25} = 5 \; \mbox{.}$$

Pythagoras sats kan användas för att beräkna avståndet mellan två punkter i ett koordinatsystem.

Avståndsformeln:

Avståndet $d$ mellan två puntker med koordinater $(x, y)$ och $(a, b)$ är $$d = \sqrt{(x – a)^2 + (y – b)^2} $$

Denna formel kallas för avståndsformeln.

Linjestycket mellan punkterna är hypotenusan i en rätvinklig triangel vars kateter är parallella med koordinataxlarna.

Bild: figur 3.2.7

Kateternas längd är lika med beloppet av skillnaden i $x$- och $y$-led mellan punkterna, d.v.s. $|x-a|$ respektive $|y-b|$. Pythagoras sats ger sedan avståndsformeln.

Exempel 4

Avståndet mellan $(1,2)$ och $(3,1)$ är $$d=\sqrt{ (1-3)^2 + (2-1)^2} = \sqrt{(-2)^2 + 1^2} = \sqrt{ 4+1} = \sqrt{5} \; \mbox{.}$$
Avståndet mellan $(-1,0)$ och $(-2,-5)$ är $$d=\sqrt{ (-1-(-2))^2 + (0-(-5))^2} = \sqrt{1^2 + 5^2} = \sqrt{1+25} = \sqrt{26} \; \mbox{.}$$

Interaktivt experiment: Här kan du experimentera med avståndsformeln och Pythagoras sats

Cirklar

Några viktiga vinklar som är bra att kunna översätta till utantill mellan grader och radianer.

<img src="ppStdFiles2261/774115.gif" hspace='0' vspace='0' />
Interaktivt experiment: sinus och cosinus i enehtscirkeln (Flash) Omvandlingsfaktorn mellan radianer och grader kan man få ur sambanden 1 varv = $360^\circ$ = $2\pi$ rad 1 rad = $\displaystyle\frac{360^\circ}{2\pi} = \displaystyle\frac{180^\circ}{\pi} \approx 57,295^\circ$

Cirkelsektorer och båglängder

<img src="object49972/bilder/3_2/3_2_04.gif" align="right">Om vi har öppningsvinkeln $\alpha$ för en cirkelsektor kan vi beräkna cirkelsektorns area A och cirkelbågens båglängd b, genom att betrakta dem som en andel av en hel cirkel.

Eftersom en hel cirkel har omkretsen $2\pi r$ och arean $\pi r^2$, får vi

bågens längd utefter cirkelsektorn $= b = \displaystyle\frac{\alpha}{2\pi} 2\pi r = \alpha r$

arean $= A = \displaystyle\frac{\alpha}{2\pi} \pi r^2 = \displaystyle\frac{\alpha r^2}{2}$

Observera att vinkeln $\alpha$ måste anges i radianer för att formlerna skall bli så snygga.

Pythagoras sats, avståndsformeln och cirkels ekvation

Definition av en cirkel

En cirkel kan definieras som mängden av alla punkter (x, y) som ligger på ett visst avstånd r från en given punkt (a, b). Avståndet r blir då cirkels radie, och punkten (a, b) blir cirkelns medelpunkt. Detta ger med hjälp av avståndsformeln villkoret

$r = \sqrt{(x – a)^2 + (y – b)^2}$.

Detta villkor brukar genom kvadrering skrivas

$(x – a)^2 + (y – b)^2 = r^2$

och kallas för cirkelns ekvation. Cirkeln är alltså mängden av alla punkter $(x, y)$ som uppfyller ekvationen $(x – a)^2 + (y – b)^2 = r^2$ och ligger på avståndet r från punkten $(a, b)$. Om man sätter r = 1 och $(a,b) = (0,0)$ får man en cirkel med radien 1 och medelpunkten i origo. Denna cirkel kallas enhetscirkeln. Enhetscirkeln är ett viktigt hjälpmedel i många sammanhang, t.ex. när man arbetar med trigonometriska funktioner.

Några fakta om cirklar

Arean av en cirkel med radie $r$ är $\pi r^2$.
Omkretsen av en cirkel med radie $r$ är $2\pi r$.
Radien är avståndet från cirkelns medelpunkt till en punkt på periferin.
Några andra viktiga geometriska begrepp för cirkeln visas i figuren

Några viktiga begrepp

Det är inte alltid helt enkelt att känna igen ekvationen för en cirkel. Med hjälp av kvadratkomplettering (tidigare presenterat i avsnitt 2.3) kan man skriva ekvationen på så kallad standardform, där går det direkt att avläsa cirkelns radie och medelpunkt.

Exempel 1

Skissera cirkeln $ x^2 + y^2 = 4$

Lösning:

Vi jämför den aktuella cirkeln med cirkelns ekvation. $(x-x_0)^2+(y-y_0)^2=r^2$ Vi ser att i vårt fall är $x_0=0$ och $y_0=0$ Detta betyder alltså att cirkeln har sin medelpunkt i $(0,0)$ dvs i origo. Radien på cirkeln går att avläsa ur högerledet: $r = \sqrt {r^2} = \sqrt 4 = 2$ Med denna information kan vi skissera cirkeln enligt nedan.<p align="center"><img src="ppStdFiles2261/766791.gif" hspace='0' vspace='0' />

Exempel 2

Bestäm medelpunkten för den cirkel vars ekvation är $x^2 + y^2 – 2x + 4y + 1 = 0$.

Lösning:

Vi försöker skriva om på normalformen av cirkelns ekvation, $(x-x_0)^2+(y-y_0)^2=r^2$, där $(x_0,y_0)$ är centrum och $r$ är radien.

Vi utgår från de termer som innehåller $x\;$, nämligen $\; x^2-2x$

och skriver om den m.h.a. andra kvadreringsregeln,

$ a^2-2ab+b^2=(a-b)^2 $

Vi identifierar $ a=x $ och $ b=1 $ vilket ger $ b^2=1 $, vi har då

$ x^2-2x=(x-1)^2-1 $

På samma sätt får vi för termerna $ y^2 + 4y $

$ y^2+4y=(y+2)^2-4 $

Vår ursprungliga ekvation $ x^2+y^2-2x+4y+1=0 $ kan då skrivas som

$ (x-1)^2-1+(y+2)^2-4+1=0 $

vilket förenklas till

$ (x-1)^2 + (y+2)^2 = 4 $

Vi jämför med cirkelns ekvation på normalform och identifierar medelpunkten $ (x_0,y_0)=(1,-2) $ samt radien $ \sqrt{4}=2 $ .

Denna information behövs om du vill rita figuren, utgå då från medelpunkt och radie enligt ovan.<p align="center"><img src="ppStdFiles2261/766790.gif" hspace='0' vspace='0' />

Svar: medelpunkten är $ (1,-2) $

Råd för inläsning

Tänk på att:

Lär dig att använda enhetscirkeln som ett verktyg i det trigonometriska arbetet. Avläsningar i enhetscirkeln ger dig viktiga upplysningar om diverse samband.

Lästips

för dig som vill fördjupa dig ytterligare eller behöver en längre förklaring vill vi tipsa om:

Sammanfattning av Geometri B ur Theducations gymnasielexikon

Läs mer om Pythagoras sats på svenska Wikipedia

Läs mer i Mathworld om cirkeln

Länktips

Experimentera med Randvinkelsatsen

Experimentera med Pythagoras sats

Experimentera med vinkelsumman i en fyrhörning

Den här artikeln är hämtad från http://wiki.math.se/wikis/sf0600_0701/index.php/4.1_Vinklar_och_cirklar

 Linjestycket mellan punkterna är hypotenusan i en rätvinklig triangel vars kateter är parallella med koordinataxlarna.
+Bild: figur 3.2.7
+Kateternas längd är lika med beloppet av skillnaden i $x$- och $y$-led mellan punkterna, d.v.s. $|x-a|$ respektive $|y-b|$. Pythagoras sats ger sedan avståndsformeln.
+<div class="exempel">
+'''Exempel 4'''
+<ol type="a">
+<li>Avståndet mellan $(1,2)$ och $(3,1)$ är $$d=\sqrt{ (1-3)^2 + (2-1)^2} = \sqrt{(-2)^2 + 1^2} = \sqrt{ 4+1} = \sqrt{5} \; \mbox{.}$$
+<li>Avståndet mellan $(-1,0)$ och $(-2,-5)$ är $$d=\sqrt{ (-1-(-2))^2 + (0-(-5))^2} = \sqrt{1^2 + 5^2} = \sqrt{1+25} = \sqrt{26} \; \mbox{.}$$
+</ol>
+</div>
 [http://www.theducation.se/kurser/experiment/gyma/applets/ex24_avstand_pythagoras/index.html Interaktivt experiment: Här kan du experimentera med avståndsformeln och Pythagoras sats]
+==Cirklar==

4.1 Vinklar och cirklar

Sommarmatte 1

Versionen från 24 april 2007 kl. 10.34

Innehåll

4.1 Vinklar och cirklar

Teori

Vinkelmått

Avståndsformlen

Cirklar

Cirkelsektorer och båglängder

Pythagoras sats, avståndsformeln och cirkels ekvation

Definition av en cirkel

Visningar

Personliga verktyg

Navigering

Sök

Verktygslåda