4.3 Trigonometriska samband

Övningar

Teori

Det finns en mängd trigonometriska samband, med vilka man kan översätta mellan sinus-, cosinus- och tangens-värden för en vinkel eller multiplar av en vinkel. Dessa brukar också kallas trigonometriska identiteter, eftersom de endast är olika sätt att beskriva ett och samma uttryck med hjälp av olika trigonometriska funktioner. Här kommer vi att beskriva några av dessa trigonometriskan samband. Det finns många fler än vi kan behandla här. De flesta kan härledas utifrån den s k trigonometriska ettan och additionsformlerna (se nedan), vilka är viktiga att kunna utantill.

Trigometriska ettan

Detta samband är det mest grundläggande, men är i själva verket ingenting annat än Pythagoras sats, tillämpad i enhetscirkeln. Den rätvinkliga triangeln (blå) nedan visar att

$(\sin v)^2 + (\cos v)^2 = 1$,

vilket brukar skrivas $ \sin^2 v + \cos^2 v = 1$.

Symmetrier

Med hjälp av enhetscirkeln och spegling kan man tack vare de trigonometriska funktionernas symmetrier hitta en stor mängd samband mellan cosinus och sinus.

Istället för att försöka lära sig alla dessa samband utantill kan det vara bättre att lära sig härleda dem i enhetscirkeln.

Spegling i $x$-axeln

Spegling i $y$-axeln

Spegling i linjen $y=x$

Spegling i $x$-axeln

Alternativt kan man få dessa samband genom att spegla och/eller förskjuta graferna. Om man exempelvis vill ha ett samband där $\cos v$ uttrycks med hjälp av sinus så kan man förskjuta grafen så att sinuskurvan passar. Detta kan göras på flera olika sätt, men mest naturligt faller sig att skriva $\cos v = \sin (v + \pi / 2)$. För att undvika misstag kan man kontrollera att det stämmer för några olika värden på v.

Kontroll: $\cos 0 = \sin (0 + \pi / 2)$

Additions- och subtraktionsformlerna och formler för dubbla vinkeln

Ofta behöver man behandla uttryck där två eller flera vinklar är inblandade, t.ex. $\sin(u+v)$. Man behöver då de s.k. additionsformlerna. För sinus och cosinus ser de ut så här:

$$\sin(u + v) = \sin u\,\cos v + \cos u\,\sin v$$ $$\sin(u – v) = \sin u\,\cos v – \cos u\,\sin v$$ $$\cos(u + v) = \cos u\,\cos v – \sin u\,\sin v$$ $$\cos(u – v) = \cos u\,\cos v + \sin u\,\sin v$$

Om man vill veta sinus eller cosinus för dubbla vinkeln, dvs $\sin 2v$ eller $\cos 2v$, så kan man genom att skriva $\sin(v + v)$ eller $\cos(v + v)$ och använda additionsformlerna ovan få följande formler för dubbla vinkeln:

$$\sin 2v = 2 \sin v \cos v \; \mbox{,}$$ $$\cos 2v = \cos^2 v – \sin^2 v \; \mbox{.}$$

Ur detta kan vi få formler för halva vinkeln. Genom att byta ut 2v mot v, och följdaktligen v mot v / 2, i formeln för $\cos 2v$ får vi

$$\cos v = \cos^2 \frac{v}{2} – \sin^2 \frac{v}{2}\; \mbox{.}$$

Vill vi ha en formel för $\displaystyle\sin\frac{v}{2}$ så använder vi sedan den trigonometriska ettan för att bli av med $\displaystyle\cos^2\frac{v}{2}$

$$\cos v = 1 – \sin^2 \frac{v}{2} – \sin^2\frac{v}{2} = 1 – 2\sin^2 \frac{v}{2}$$

d.v.s.

$$ \sin^2\frac{v}{2} = \frac{1 – \cos v}{2}\; \mbox{.}$$

På motsvarande sätt kan vi med trigonometriska ettan göra oss av med $\displaystyle\sin^2\frac{v}{2}$. Då får vi istället

$$\cos^2\frac{v}{2}= \frac{1 + \cos v}{2}\; \mbox{.}$$

© Copyright 2006, KTH Matematik