Exempel 1

1. $30^\circ = 30 \cdot 1^\circ = 30 \cdot \displaystyle \frac{\pi}{180}\ \mbox{ radianer } = \displaystyle \frac{\pi}{6}\ \mbox{ radianer }$
   
   
2. $ \displaystyle \frac{\pi}{8}\ \mbox { radianer } = \displaystyle \frac{\pi}{8} \cdot (1 \; \mbox{radian}\,) = \displaystyle \frac{\pi}{8} \cdot \displaystyle \frac{180^\circ}{\pi} = 22{,}5^\circ$

Exempel 2

1. Vinklarna $\,-55^\circ\,$ och $\,665^\circ\,$ anger samma riktning eftersom $$-55^\circ + 2 \cdot 360^\circ = 665^\circ\,\mbox{.}$$
2. Vinklarna $\,\displaystyle\frac{3\pi}{7}\,$ och $\,-\displaystyle\frac{11\pi}{7}\,$ anger samma riktning eftersom $$\frac{3\pi}{7} - 2\pi = -\frac{11\pi}{7}\,\mbox{.}$$
3. Vinklarna $\,36^\circ\,$ och $\,216^\circ\,$ anger inte samma riktning utan motsatta riktningar eftersom $$36^\circ + 180^\circ = 216^\circ\,\mbox{.}$$

Exempel 3

Bild: figur 3.2.6

I triangeln till höger är $$c^2= 3^2 + 4^2 = 9 +16 = 25$$ och därför är hypotenusan $\,c\,$ lika med $$c=\sqrt{25} = 5\,\mbox{.}$$

Exempel 4

1. Avståndet mellan $\,(1,2)\,$ och $\,(3,1)\,$ är $$d=\sqrt{ (1-3)^2 + (2-1)^2} = \sqrt{(-2)^2 + 1^2} = \sqrt{ 4+1} = \sqrt{5}\,\mbox{.}$$
2. Avståndet mellan $\,(-1,0)\,$ och $\,(-2,-5)\,$ är $$d=\sqrt{ (-1-(-2))^2 + (0-(-5))^2} = \sqrt{1^2 + 5^2} = \sqrt{1+25} = \sqrt{26}\,\mbox{.}$$

Exempel 5

En cirkelsektor är given i figuren till höger. Bild: figur 3.2.10

1. Bestäm cirkelbågens längd.
   
   Medelpunktsvinkeln $\,50^\circ\,$ blir i radianer $$50^\circ= 50 \cdot 1^\circ = 50 \cdot \frac{\pi}{180}\ \mbox{ radianer } = \frac{5\pi}{18}\ \mbox{ radianer. }$$ På det sätt som radianer är definierat betyder detta att cirkelbågens längd är radien multiplicerat med vinkeln mätt i radianer, $$3 \cdot \frac{5\pi}{18}\ \mbox{ l.e. } = \frac{5\pi}{6}\ \mbox{ l.e. }$$
2. Bestäm cirkelsektorns area.
   
   Cirkelsektorns andel av hela cirkeln är $$\frac{50^\circ}{360^\circ} = \frac{5}{36}$$ och det betyder att dess area är $\,\frac{5}{36}\,$ delar av cirkelns area som är $\,\pi r^2 = \pi 3^2 = 9\pi\,$, dvs. $$\frac{5}{36} \cdot 9\pi\ \mbox{ a.e. }= \frac{5\pi}{4}\ \mbox{ a.e. }$$

Exempel 6

1. $(x-1)^2 + (y-2)^2 = 9\quad$ är ekvationen för en cirkel med medelpunkt i $\,(1,2)\,$ och radie $\,\sqrt{9} = 3\,$.
   
   
2. $x^2 + (y-1)^2 = 1\quad$ kan skrivas som $\,(x-0)^2 + (y-1)^2 = 1\,$ och är ekvationen för en cirkel med medelpunkt i $\,(0,1)\,$ och radie $\,\sqrt{1} = 1\,$.
   
   
3. $(x+1)^2 + (y-3)^2 = 5\quad$ kan skrivas som $\,(x-(-1))^2 + (y-3)^2 = 5\,$ och är ekvationen för en cirkel med medelpunkt i $\,(-1,3)\,$ och radie $\,\sqrt{5} \approx 2{,}236\,$.

Bild: figur 3.2-12-14

Exempel 7

1. Ligger punkten $\,(1,2)\,$ på cirkeln $\,(x-4)^2 +y^2=13\,$?
   
   Stoppar vi in punktens koordinater $\,x=1\,$ och $\,y=2\,$ i cirkelns ekvation har vi att $$\mbox{VL }= (1-4)^2+2^2 =(-3)^2+2^2=9+4=13= \mbox{ HL}\,\mbox{.}$$ Eftersom punkten uppfyller cirkelns ekvation ligger punken på cirkeln.
   
   
2. Bestäm ekvationen för cirkeln som har medelpunkt i $\,(3,4)\,$ och innehåller punkten $\,(1,0)\,$.
   
   Eftersom punkten $\,(1,0)\,$ ska ligga på cirkeln måste cirkelns radie vara lika med avståndet från $\,(1,0)\,$ till medelpunkten $\,(3,4)\,$. Avståndsformeln ger att detta avstånd är $$c=\sqrt{(3-1)^2 + (4-0)^2 }= \sqrt{4 +16} = \sqrt{20} \, \mbox{.}$$ Cirkelns ekvation är därför $$(x-3)^2 + (y-4)^2 = 20 \; \mbox{.}$$

Bild: 3.2.15 och 3.2.16

Exempel 8

Bestäm medelpunkt och radie för den cirkel vars ekvation är $\ x^2 + y^2 – 2x + 4y + 1 = 0\,$.

Vi ska försöka skriva om cirkelns ekvation på formen $$(x – a)^2 + (y – b)^2 = r^2$$ för då kan vi direkt avläsa att medelpunken är $\,(a,b)\,$ och radien är $\,r\,$.

Börja med att kvadratkomplettera termerna som innehåller $\,x\,$ i vänsterledet $$ \underline{x^2-2x\vphantom{(}} + y^2+4y + 1 =\underline{(x-1)^2-1^2} + y^2+4y + 1$$ (de understrukna termerna visar kvadratkompletteringen).

Kvadratkomplettera sedan termerna som innehåller $y$ $$ (x-1)^2-1^2 + \underline{y^2+4y} + 1= (x-1)^2-1^2 + \underline{(y+2)^2-2^2} + 1\,\mbox{.}$$

Vänsterledet är alltså lika med $$ (x-1)^2 + (y+2)^2-4 $$

och flyttar vi över 4 till högerledet är cirkelns ekvation $$ (x-1)^2 + (y+2)^2 = 4 \, \mbox{.}$$

Vi avläser att medelpunkten är $\,(1,-2)\,$ och radien är $\,\sqrt{4}= 2\,$.