3.1 Rötter

Sommarmatte 1

(Skillnad mellan versioner)

Hoppa till: navigering, sök

Versionen från 23 april 2007 kl. 13.55

Innehåll

[göm]

1 3.1 Rötter
2 Teori

3.1 Rötter

Innehåll:

Kvadratrot och n:te rot
Rotlagar

Läromål: Efter detta avsnitt ska du ha lärt dig att:

Skriva om ett rotuttryck i potensform
Beräkna kvadratroten ur några enkla heltal
Kvadratroten ur ett negativt tal inte är definierat
Kvadratroten ur ett tal betecknar den positiva roten
Hantera rotlagarna i förenkling av rotuttryck
Rotlagarna bara gäller för icke-negativa radikander
Förenkla rotuttryck med kvadratrötter i nämnaren
Veta när n:te roten ur ett negativt tal är definierat (n udda)

Övningar

Teori

teori

fristående formel dubbla dollar

teori igen

Viktig regel:

dubbeldollar

Exempel 1

Exempeltext, använd nedanstående numrering

matte
text

teori igen

Kvadratrötter

Symbolen \sqrt{a} , kvadratroten ur a, används som bekant för att beteckna det tal som multiplicerat med sig självt blir a. Man måste dock vara lite mer exakt när man definierar denna symbol.

Ekvationen x^2 = 4 har två lösningar, x = 2 och x = -2, eftersom såväl 2\cdot 2 = 4 som (-2)\cdot(-2) = 4. Man skulle då kunna tro att \sqrt{4} kan vara vilket som helst av -2 och 2, dvs. \sqrt{4}= \pm 2, men \sqrt{4} betecknar bara det postiva talet 2. Vi har att

\sqrt{a} kvadratroten ur a betecknar det icke-negativa tal som multiplicerat med sig

självt blir a , dvs. den icke-negativa lösningen till ekvationen x^2 = a.

Kvadratroten ur a kan även skrivas a^{1/2}.

Det är därför fel att påstå att \sqrt{4}= \pm 2, men korrekt att säga att ekvationen x^2 = 4 har lösningarna x = \pm 2. T.ex. gäller därmed att -\sqrt{4}=-2 och inget annat.

Exempel 1

matte
text

a) \quad \sqrt{0}=0 \quad eftersom \; 0^2 = 0 \cdot 0 = 0 \; och 0 är inte negativ

b) \quad \sqrt{100}=10 \quad eftersom \; 10^2 = 10 \cdot 10 = 100 \; och 10 är ett positivt tal.

c) \quad \sqrt{0{,}25}=0{,}5 \quad eftersom \; 0{,}5^2 = 0{,}5 \cdot 0{,}5 = 0{,}25 \; och 0{,}5 är positiv

d) \quad \sqrt{2} \approx 1{,}4142 \quad eftersom \; 1{,}4142 \cdot 1{,}4142 \approx 2 \; och 1{,}4142 är positiv

e) Ekvationen x^2=2 har lösningarna x=\sqrt{2}\approx 1,414 och x = -\sqrt{2} \approx -1,414

f) \sqrt{-4} är inte definierat, eftersom det inte finns något reellt tal x sådant att x^2=-4.

g) \sqrt{(-7)^2} = 7 \; eftersom \; \sqrt{(-7)^2} = \sqrt{(-7) \cdot (-7)} = \sqrt{49} = \sqrt{ 7 \cdot 7} = 7.

När man räknar med kvadratrötter kan det vara bra att känna till några räkneregler. Eftersom \sqrt{a} = a^{1/2} kan vi överföra potenslagarna till "rotlagar". Vi har t.ex. att

\sqrt{9\cdot 4} = (9\cdot 4)^{1/2} = 9^{1/2}\cdot 4^{1/2} = \sqrt{9}\cdot \sqrt{4}

På detta sätt kan vi få fram följande räkneregler för kvadratrötter, som gäller för alla reella tal a, b \ge 0:

Exempel 1

matte
text

\sqrt{ab}=\sqrt{a}\cdot \sqrt{b}

\sqrt{a/b}= \frac{\sqrt{a}}{ \sqrt{b}}

a\sqrt{b}=\sqrt{a^2b}

(Vi måste dock vid divisionen ovan som vanligt förutsätta att b inte är 0.)

Exempel 2

matte
text

a) \sqrt{64\cdot 81}=\sqrt{64}\cdot \sqrt{81}=8\cdot 9 =72

b) \sqrt{\displaystyle\frac{9}{25}} =\displaystyle\frac{\sqrt{9}}{ \sqrt{25}}= \displaystyle\frac{3}{5}

c) \sqrt{18} \cdot \sqrt{2} =\sqrt{18 \cdot 2} = \sqrt{36} = 6

d) \displaystyle\frac{\sqrt{75}}{\sqrt{3}} = \sqrt{\displaystyle\frac{75}{3}} = \sqrt{25} = 5

e) \sqrt{12} = \sqrt{ 4 \cdot 3 } = \sqrt{4} \cdot \sqrt{3} = 2\sqrt{3}

Observera att räknereglerna ovan förutsätter att a \mbox{ och } b \ge 0. Om a och b är negativa (< 0) så är inte \sqrt{a} och \sqrt{b} definierade som reella tal. Man skulle kunna frestas att skriva

-1 = \sqrt{-1} \cdot \sqrt{-1} = \sqrt{ (-1) \cdot (-1) } = \sqrt{1} = 1

men ser då att något inte stämmer. Anledningen är att \sqrt{-1} inte är ett reellt tal, vilket alltså gör att räknereglerna ovan inte får användas.

N-te rötter

Kubikroten ut ett tal a definieras som det tal som multiplicerat med sig själv tre gånger ger a, och betecknas \sqrt[3]{a}.

Exempel 3

matte
text

a) \quad \sqrt[3]{8} = 2 \quad eftersom \; 2 \cdot 2 \cdot 2=8.

b) \quad \sqrt[3]{0{,}027} = 0{,}3 \quad eftersom \; 0{,}3 \cdot 0{,}3 \cdot 0{,}3=0{,}027.

c) \quad \sqrt[3]{-8} = -2 \quad eftersom \; (-2) \cdot (-2) \cdot (-2)= -8. |}

Notera att, till skillnad fån kvadratrötter, är kubikrötter även definierade för negativa tal.

Det går sedan att för postiva heltal n definiera n:te roten ur ett tal a som

om n är jämn och a\ge0 är \sqrt[n]{a} det icke-negativa tal som multiplicerat sig själv n gånger blir a
om n är udda sä är \sqrt[n]{a} det tal som multiplicerat med sig själv n gånger blir a

Roten \sqrt[n]{a} kan även skrivas som a^{1/n}.

Exempel 4

matte
text

\mbox{ a) } \sqrt[4]{625} = 5 eftersom 5 \cdot 5 \cdot 5 \cdot 5 = 625

\mbox{ b) } \sqrt[5]{-243} = -3 eftersom (-3) \cdot (-3) \cdot (-3) \cdot (-3) \cdot (-3) = -243

\mbox{ c) } \sqrt[6]{-17} är inte definierad eftersom 6 är jämn och -17 är ett negativt tal. $

För n-te rötter gäller samma räkneregler som för kvadratrötter om a, \: b \ge 0 . OBS! om n är udda gäller de även för negativa a och b, dvs. för all reella tal a, b.

\sqrt[\scriptstyle n]{ab}=\sqrt[\scriptstyle n]{a}\cdot \sqrt[\scriptstyle n]{b}

\sqrt[\scriptstyle n]{\displaystyle\frac{a}{b}}=\displaystyle \frac{\sqrt[\scriptstyle n]{a}}{\sqrt[\scriptstyle n]{b}}

a\cdot\sqrt[\scriptstyle n]{b}=\sqrt[\scriptstyle n]{a^nb}

Förenkling av rotuttryck

Ofta kan man genom att använda räknereglerna för rötter förenkla rotuttryck väsentligt. Liksom vid potensräkning handlar det ofta om att bryta ner uttryck i så "små" rötter som möjligt. Exempelvis gör man gärna omskrivningen

\sqrt{8}=\sqrt{4\cdot2} = \sqrt{4} \cdot \sqrt{2} = 2\sqrt{2}

eftersom man då kan förenkla t.ex.

\displaystyle\frac{\sqrt{8}}{2} = \displaystyle\frac{2 \sqrt{2}}{2} = \sqrt{2}

Genom att skriva rotuttryck i termer av "små" rötter kan man också addera rötter av "samma sort", t.ex.

\sqrt{8} + \sqrt{2} = 2\sqrt{2} + \sqrt{2} = (2+1)\sqrt{2} =3\sqrt{2}

Exempel 5

\displaystyle\frac{\sqrt{8}}{\sqrt{18}} = \displaystyle\frac{\sqrt{2 \cdot 4}}{\sqrt{2 \cdot 9}} = \displaystyle\frac{\sqrt{2 \cdot 2 \cdot 2}}{\sqrt{2 \cdot 3 \cdot 3}} = \displaystyle\frac{\sqrt{2 \cdot 2^2}}{\sqrt{2 \cdot 3^2}} = \displaystyle\frac{2\sqrt{2}}{3\sqrt{2}} = \displaystyle\frac{2}{3}
\displaystyle\frac{\sqrt{72}}{6} = \displaystyle\frac{\sqrt{8 \cdot 9}}{ 2 \cdot 3} = \displaystyle\frac{\sqrt{2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 3 \cdot 3}}{ 2 \cdot 3} = \displaystyle\frac{\sqrt{2^2 \cdot 3^3 \cdot 2}}{ 2 \cdot 3} = \displaystyle\frac{2 \cdot 3\sqrt{2}}{2 \cdot 3} = \sqrt{2}
\sqrt{45} + \sqrt{20} = \sqrt{9\cdot5} + \sqrt{4\cdot5} = \sqrt{3^2\cdot5} + \sqrt{2^2\cdot5} = 3\sqrt{5} + 2\sqrt{5} = (3+2)\sqrt{5} = 5\sqrt{5}

\sqrt{50} + 2\sqrt{3} -\sqrt{32} + \sqrt{27}	=	\sqrt{5 \cdot 10} + 2\sqrt{3} -\sqrt{2 \cdot 16} + \sqrt{3 \cdot 9}
	=	\sqrt{5 \cdot 2 \cdot 5} + 2\sqrt{3} -\sqrt{2 \cdot 2 \cdot 8} + \sqrt{3 \cdot 3 \cdot 3}
	=	\sqrt{5^2 \cdot 2 } + 2\sqrt{3} -\sqrt{2^2 \cdot 2^2 \cdot 2} + \sqrt{3 \cdot 3^2}
	=	5\sqrt{2} +2\sqrt{3} - 2 \cdot 2\sqrt{2} + 3\sqrt{3}
	=	(5-4)\sqrt{2} + (2+3)\sqrt{3}
	=	\sqrt{2} + 5\sqrt{3}

\displaystyle\frac{ 2\cdot\sqrt[\scriptstyle3]{3} }{ \sqrt[\scriptstyle3]{12} } = \displaystyle\frac{ 2\cdot\sqrt[\scriptstyle3]{3} }{ \sqrt[\scriptstyle3]{3 \cdot 4} } = \displaystyle\frac{ 2\cdot\sqrt[\scriptstyle3]{3} }{ \sqrt[\scriptstyle3]{3} \cdot \sqrt[\scriptstyle3]{4} } = \displaystyle\frac{ 2 }{ \sqrt[\scriptstyle3]{4} } = \displaystyle\frac{ 2 }{ \sqrt[\scriptstyle3]{2 \cdot 2} } = \displaystyle\frac{ 2 }{ \sqrt[\scriptstyle3]{2} \cdot \sqrt[\scriptstyle3]{2} } \cdot \displaystyle \frac{\sqrt[\scriptstyle3]{2}} {\sqrt[\scriptstyle3]{2}} = \displaystyle\frac{ 2\cdot\sqrt[\scriptstyle3]{2} }{ 2 } = \sqrt[\scriptstyle3]{2}
\mbox{ f) } (\sqrt{3} + \sqrt{2})(\sqrt{3} - \sqrt{2}) = (\sqrt{3})^2-(\sqrt{2})^2 = 3-2 = 1

\mbox{ (Konjugatregeln: } (a+b)(a-b) = a^2 - b^2)

Rationella rotuttryck

När rötter förekommer i ett rationellt uttryck vill man ofta undvika rötter i nämnaren (eftersom det är svårt vid handräkning att dividera med irrationella tal). Genom att förlänga med \sqrt{2} kan man exempelvis göra omskrivningen

\displaystyle\frac{1}{\sqrt{2}} = \displaystyle\frac{1\cdot\sqrt{2}}{\sqrt{2}\cdot\sqrt{2}} = \displaystyle\frac{\sqrt{2}}{2}

vilket oftast är att föredra.

I andra fall kan man utnyttja konjugatregeln, (a+b)(a-b) = a^2 - b^2 , och förlänga med nämnarens s.k. konjugerade uttryck. På så sätt försvinner rottecknen från nämnaren, t.ex.

\displaystyle\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{2}+1} = \displaystyle\frac{\sqrt{3}}{(\sqrt{2}+1)} \cdot \frac{\sqrt{2}-1}{\sqrt{2}-1} = \displaystyle\frac{\sqrt{3}(\sqrt{2}-1)}{(\sqrt{2}+1)(\sqrt{2}-1)} = \displaystyle\frac{\sqrt{3} \cdot \sqrt{2} - \sqrt{3} \cdot 1}{ (\sqrt{2})^2 - 1^2 } = \displaystyle\frac{\sqrt{3 \cdot 2} - \sqrt{3}}{ 2 - 1 } = \displaystyle\frac{\sqrt{6} - \sqrt{3}}{ 1 } = \sqrt{6} - \sqrt{3}

Exempel 6

\displaystyle\frac{10\sqrt{3}}{\sqrt{5}} = \displaystyle\frac{10\sqrt{3}\cdot\sqrt{5}}{\sqrt{5}\cdot\sqrt{5}} = \displaystyle\frac{10\sqrt{15}}{5} = 2\sqrt{15}
\displaystyle\frac{1+\sqrt{3}}{\sqrt{2}} = \displaystyle\frac{(1+\sqrt{3})\cdot\sqrt{2}}{\sqrt{2}\cdot\sqrt{2}} = \displaystyle\frac{\sqrt{2}+\sqrt{6}}{2}
\displaystyle\frac{3}{\sqrt{2}-2} = \displaystyle\frac{3(\sqrt{2}+2)}{(\sqrt{2}-2)(\sqrt{2}+2)} = \displaystyle\frac{3\sqrt{2}+6}{(\sqrt{2})^2-2^2} = \displaystyle\frac{3\sqrt{2}+6}{2-4} = -\displaystyle\frac{3\sqrt{2}+6}{2}
(\displaystyle\frac{1}{\sqrt{2}} - \displaystyle\frac{1}{\sqrt{3}})(1+\displaystyle\frac{1}{\sqrt{6}}) = \displaystyle\frac{1}{\sqrt{2}} + \displaystyle\frac{1}{\sqrt{12}} - \displaystyle\frac{1}{\sqrt{3}}- \displaystyle\frac{1}{\sqrt{18}} = \displaystyle\frac{1}{\sqrt{2}} + \displaystyle\frac{1}{2\sqrt{3}} - \displaystyle\frac{1}{\sqrt{3}}- \displaystyle\frac{1}{3\sqrt{2}} =

=\displaystyle\frac{\sqrt{2}}{2} + \displaystyle\frac{\sqrt{3}}{6} - \displaystyle\frac{\sqrt{3}}{3}- \displaystyle\frac{\sqrt{2}}{6} = \displaystyle\frac{3\sqrt{2}}{6} + \displaystyle\frac{\sqrt{3}}{6} -\displaystyle\frac{2\sqrt{3}}{6}- \displaystyle\frac{\sqrt{2}}{6}=\displaystyle\frac{2\sqrt{2} - \sqrt{3}}{6}

Råd för inläsning

Tänk på att:

Kvadratroten ur ett tal alltid är icke-negativ (dvs positiv eller lika med noll)!

Rotlagarna är egentligen specialfall av potenslagarna.

Exempelvis: \sqrt{x}=x^{1/2}

Lästips

för dig som vill fördjupa dig ytterligare eller behöver en längre förklaring

Läs mer om kvadratrötter i engelska Wikipedia

Hur vet man att roten ur 2 inte är ett bråktal?

Länktips

Hur man finner roten ur ett tal, utan hjälp av miniräknare?

Den här artikeln är hämtad från http://wiki.math.se/wikis/sf0600_0701/index.php/3.1_R%C3%B6tter

 "sm&aring;" r&ouml;tter som m&ouml;jligt. Exempelvis g&ouml;r man g&auml;rna omskrivningen
-\sqrt{8}=\sqrt{4\cdot2} = \sqrt{4} \cdot \sqrt{2} = 2\sqrt{2}
+$$\sqrt{8}=\sqrt{4\cdot2} = \sqrt{4} \cdot \sqrt{2} = 2\sqrt{2}$$
 eftersom man d&aring; kan f&ouml;renkla t.ex.
-\displaystyle\frac{\sqrt{8}}{2} = \displaystyle\frac{2 \sqrt{2}}{2} = \sqrt{2}
+$$\displaystyle\frac{\sqrt{8}}{2} = \displaystyle\frac{2 \sqrt{2}}{2} = \sqrt{2} $$
 sort", t.ex.
-\sqrt{8} + \sqrt{2} = 2\sqrt{2} + \sqrt{2} = (2+1)\sqrt{2} =3\sqrt{2}
+$\sqrt{8} + \sqrt{2} = 2\sqrt{2} + \sqrt{2} = (2+1)\sqrt{2} =3\sqrt{2}$
 <div class="exempel">
 '''Exempel 5'''
 <ol type="a">
-<li>$matte$
+<li>$\displaystyle\frac{\sqrt{8}}{\sqrt{18}} =
-<li>text
-</ol>
-</div>
-$
-\mbox{ a) } \displaystyle\frac{\sqrt{8}}{\sqrt{18}} =
 \displaystyle\frac{\sqrt{2 \cdot 4}}{\sqrt{2 \cdot 9}} =
 \displaystyle\frac{\sqrt{2 \cdot 2 \cdot 2}}{\sqrt{2 \cdot 3 \cdot 3}} =
 \displaystyle\frac{\sqrt{2 \cdot 2^2}}{\sqrt{2 \cdot 3^2}} =
-\displaystyle\frac{2\sqrt{2}}{3\sqrt{2}} = \displaystyle\frac{2}{3}
+\displaystyle\frac{2\sqrt{2}}{3\sqrt{2}} = \displaystyle\frac{2}{3}$ <br><br>
-$
+<li>
+$ \displaystyle\frac{\sqrt{72}}{6} =
-$
-\mbox{ b) } \displaystyle\frac{\sqrt{72}}{6} =
 \displaystyle\frac{\sqrt{8 \cdot 9}}{ 2 \cdot 3} =
 \displaystyle\frac{\sqrt{2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 3 \cdot 3}}{ 2 \cdot 3} =
 \displaystyle\frac{\sqrt{2^2  \cdot 3^3 \cdot 2}}{ 2 \cdot 3} =
-\displaystyle\frac{2 \cdot 3\sqrt{2}}{2 \cdot 3} = \sqrt{2}
+\displaystyle\frac{2 \cdot 3\sqrt{2}}{2 \cdot 3} = \sqrt{2}$<br><br>
-$
+<li>$
+\sqrt{45} + \sqrt{20} =
-$
-\mbox{ c) } \sqrt{45} + \sqrt{20} =
 \sqrt{9\cdot5} + \sqrt{4\cdot5} =
 \sqrt{3^2\cdot5} + \sqrt{2^2\cdot5} =
 \sqrt{5} + 2\sqrt{5} = (3+2)\sqrt{5} = 5\sqrt{5}
-$
+$<br><br>
+<li>
 {| BORDER="0" CELLPADDING="5" CELLSPACING="0" ALIGN="left"
 |-
-|d) ||  \sqrt{50} + 2\sqrt{3} -\sqrt{32} + \sqrt{27} ||= || \sqrt{5 \cdot 10} + 2\sqrt{3} -\sqrt{2 \cdot 16} + \sqrt{3 \cdot 9}
+| \sqrt{50} + 2\sqrt{3} -\sqrt{32} + \sqrt{27} ||= || \sqrt{5 \cdot 10} + 2\sqrt{3} -\sqrt{2 \cdot 16} + \sqrt{3 \cdot 9}
 |-
-| ||  ||= || \sqrt{5 \cdot 2 \cdot 5} + 2\sqrt{3} -\sqrt{2 \cdot 2 \cdot 8} + \sqrt{3 \cdot 3 \cdot 3}
+| ||= || \sqrt{5 \cdot 2 \cdot 5} + 2\sqrt{3} -\sqrt{2 \cdot 2 \cdot 8} + \sqrt{3 \cdot 3 \cdot 3}
 |-
-| ||  ||= ||\sqrt{5^2 \cdot 2 } + 2\sqrt{3} -\sqrt{2^2 \cdot 2^2 \cdot 2} + \sqrt{3 \cdot 3^2}
+| ||= ||\sqrt{5^2 \cdot 2 } + 2\sqrt{3} -\sqrt{2^2 \cdot 2^2 \cdot 2} + \sqrt{3 \cdot 3^2}
 |-
-| ||  ||= || 5\sqrt{2} +2\sqrt{3} - 2 \cdot 2\sqrt{2} + 3\sqrt{3}
+| ||= || 5\sqrt{2} +2\sqrt{3} - 2 \cdot 2\sqrt{2} + 3\sqrt{3}
 |-
-| ||  ||= ||(5-4)\sqrt{2} + (2+3)\sqrt{3}
+| ||= ||(5-4)\sqrt{2} + (2+3)\sqrt{3}
 |-
-| ||  ||= ||\sqrt{2} + 5\sqrt{3}
+|  ||= ||\sqrt{2} + 5\sqrt{3}
 |}
-$
+<li>$
-\mbox{ e) } \displaystyle\frac{ 2\cdot\sqrt[\scriptstyle3]{3} }{ \sqrt[\scriptstyle3]{12} } =
+\displaystyle\frac{ 2\cdot\sqrt[\scriptstyle3]{3} }{ \sqrt[\scriptstyle3]{12} } =
 \displaystyle\frac{ 2\cdot\sqrt[\scriptstyle3]{3} }{ \sqrt[\scriptstyle3]{3 \cdot 4} } =
 \displaystyle\frac{ 2\cdot\sqrt[\scriptstyle3]{3} }{ \sqrt[\scriptstyle3]{3}  \cdot \sqrt[\scriptstyle3]{4} } =
 \displaystyle\frac{ 2\cdot\sqrt[\scriptstyle3]{2} }{ 2 } =
 \sqrt[\scriptstyle3]{2}
-$
+$ <br><br>
+<li>
+$\mbox{ f) } (\sqrt{3} + \sqrt{2})(\sqrt{3} - \sqrt{2}) =
-$
+(\sqrt{3})^2-(\sqrt{2})^2 = 3-2 = 1$ <br><br>
-\mbox{ f) } (\sqrt{3} + \sqrt{2})(\sqrt{3} - \sqrt{2}) =
+\mbox{ (Konjugatregeln: } (a+b)(a-b) = a^2 - b^2)
-(\sqrt{3})^2-(\sqrt{2})^2 = 3-2 = 1
+</ol>
-$
-$
-\mbox{ (Konjugatregeln: } (a+b)(a-b) = a^2 - b^2)
-$
+</div>
 ==Rationella rotuttryck==

3.1 Rötter

Sommarmatte 1

Versionen från 23 april 2007 kl. 13.55

Innehåll

3.1 Rötter

Teori

Kvadratrötter

N-te rötter

Förenkling av rotuttryck

Rationella rotuttryck

Visningar

Personliga verktyg

Navigering

Sök

Verktygslåda