3.1 Rötter

Övningar

Teori

teori

$$ fristående formel dubbla dollar $$

teori igen

teori igen

Kvadratrötter

Symbolen $ \sqrt{a} $ , kvadratroten ur $a$, används som bekant för att beteckna det tal som multiplicerat med sig självt blir $a$. Man måste dock vara lite mer exakt när man definierar denna symbol.

Ekvationen  $ x^2 = 4 $  har två lösningar, x = 2 och x = -2, eftersom såväl $ 2\cdot 2 = 4 $  som  $ (-2)\cdot(-2) = 4$. Man skulle då kunna tro att $ \sqrt{4} $ kan vara vilket som helst av $-2$ och $2$, dvs. $\sqrt{4}= \pm 2$, men $\sqrt{4}$ betecknar bara det postiva talet $2$. Vi har att

$\sqrt{a} $  kvadratroten ur  $ a $  betecknar det icke-negativa tal som multiplicerat med sig

självt blir  $ a $, dvs. den icke-negativa lösningen till ekvationen  $ x^2 = a. $

Kvadratroten ur  $ a $  kan även skrivas  $ a^{1/2}.$

Det är därför fel att påstå att $ \sqrt{4}= \pm 2$, men korrekt att säga att ekvationen $ x^2 = 4 $  har lösningarna $ x = \pm 2$. T.ex. gäller därmed att $-\sqrt{4}=-2$ och inget annat.

När man räknar med kvadratrötter kan det vara bra att känna till några räkneregler. Eftersom  $ \sqrt{a} = a^{1/2} $  kan vi överföra potenslagarna till "rotlagar". Vi har t.ex. att

$$\sqrt{9\cdot 4} = (9\cdot 4)^{1/2} = 9^{1/2}\cdot 4^{1/2} = \sqrt{9}\cdot \sqrt{4}$$

På detta sätt kan vi få fram följande räkneregler för kvadratrötter, som gäller för alla reella tal $ a, b \ge 0:$

$\sqrt{ab}=\sqrt{a}\cdot \sqrt{b}$

|}

(Vi måste dock vid divisionen ovan som vanligt förutsätta att b inte är 0.)

a) $\sqrt{64\cdot 81}=\sqrt{64}\cdot \sqrt{81}=8\cdot 9 =72 $

b) $ \sqrt{\displaystyle\frac{9}{25}} =\displaystyle\frac{\sqrt{9}}{ \sqrt{25}}= \displaystyle\frac{3}{5} $

c) $ \sqrt{18} \cdot \sqrt{2} =\sqrt{18 \cdot 2} = \sqrt{36} = 6 $

d) $ \displaystyle\frac{\sqrt{75}}{\sqrt{3}} = \sqrt{\displaystyle\frac{75}{3}} = \sqrt{25} = 5 $

e) $ \sqrt{12} = \sqrt{ 4 \cdot 3 } = \sqrt{4} \cdot \sqrt{3} = 2\sqrt{3} $

Observera att räknereglerna ovan förutsätter att $ a \mbox{ och } b \ge 0.$ Om a och b är negativa (< 0) så är inte $ \sqrt{a} $  och  $ \sqrt{b} $  definierade som reella tal. Man skulle kunna frestas att skriva

$ -1 = \sqrt{-1} \cdot \sqrt{-1} = \sqrt{ (-1) \cdot (-1) } = \sqrt{1} = 1 $

men ser då att något inte stämmer. Anledningen är att  $ \sqrt{-1} $  inte är ett reellt tal, vilket alltså gör att räknereglerna ovan inte får användas.

N-te rötter

Kubikroten ut ett tal $a$ definieras som det tal som multiplicerat med sig själv tre gånger ger $a$, och betecknas $\sqrt[\scriptstyle 3]{a}$.

Notera att, till skillnad fån kvadratrötter, är kubikrötter även definierade för negativa tal.

Det går sedan att för postiva heltal $n$ definiera n:te roten ur ett tal $a$ som

• om $n$ är jämn och $a\ge0$ är $\sqrt[\scriptstyle n]{a}$ det icke-negativa tal som multiplicerat sig själv $n$ gånger blir $a$
• om $n$ är udda sä är $\sqrt[\scriptstyle n]{a}$ det tal som multiplicerat med sig själv $n$ gånger blir $a$

Roten $\sqrt[\scriptstyle n]{a}$ kan även skrivas som $a^{1/n}$.

För $n$-te rötter gäller samma räkneregler som för kvadratrötter om $ a, \: b \ge 0$. OBS! om $n$ är udda gäller de även för negativa $a$ och $b$, dvs. för all reella tal $a, b$.

Förenkling av rotuttryck

Ofta kan man genom att använda räknereglerna för rötter förenkla rotuttryck väsentligt. Liksom vid potensräkning handlar det ofta om att bryta ner uttryck i så "små" rötter som möjligt. Exempelvis gör man gärna omskrivningen

$$\sqrt{8}=\sqrt{4\cdot2} = \sqrt{4} \cdot \sqrt{2} = 2\sqrt{2}$$

eftersom man då kan förenkla t.ex.

$$\displaystyle\frac{\sqrt{8}}{2} = \displaystyle\frac{2 \sqrt{2}}{2} = \sqrt{2} $$

Genom att skriva rotuttryck i termer av "små" rötter kan man också addera rötter av "samma sort", t.ex.

$$\sqrt{8} + \sqrt{2} = 2\sqrt{2} + \sqrt{2} = (2+1)\sqrt{2} =3\sqrt{2}$$

Rationella rotuttryck

När rötter förekommer i ett rationellt uttryck vill man ofta undvika rötter i nämnaren (eftersom det är svårt vid handräkning att dividera med irrationella tal). Genom att förlänga med  $ \sqrt{2} $  kan man exempelvis göra omskrivningen

$$\displaystyle\frac{1}{\sqrt{2}} = \displaystyle\frac{1\cdot\sqrt{2}}{\sqrt{2}\cdot\sqrt{2}} = \displaystyle\frac{\sqrt{2}}{2}$$

vilket oftast är att föredra.

I andra fall kan man utnyttja konjugatregeln, $ (a+b)(a-b) = a^2 - b^2 $, och förlänga med nämnarens s.k. konjugerade uttryck. På så sätt försvinner rottecknen från nämnaren, t.ex.

$$ \displaystyle\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{2}+1} = \displaystyle\frac{\sqrt{3}}{(\sqrt{2}+1)} \cdot \frac{\sqrt{2}-1}{\sqrt{2}-1} = \displaystyle\frac{\sqrt{3}(\sqrt{2}-1)}{(\sqrt{2}+1)(\sqrt{2}-1)} = \displaystyle\frac{\sqrt{3} \cdot \sqrt{2} - \sqrt{3} \cdot 1}{ (\sqrt{2})^2 - 1^2 } = \displaystyle\frac{\sqrt{3 \cdot 2} - \sqrt{3}}{ 2 - 1 } = \displaystyle\frac{\sqrt{6} - \sqrt{3}}{ 1 } = \sqrt{6} - \sqrt{3} $$

© Copyright 2006, KTH Matematik