3.1 Rötter
Sommarmatte 1
| Versionen från 23 april 2007 kl. 14.06 (redigera) Lina (Diskussion | bidrag) (→Kvadratrötter) ← Gå till föregående ändring |
Versionen från 23 april 2007 kl. 14.09 (redigera) (ogör) Lina (Diskussion | bidrag) Gå till nästa ändring → |
||
| Rad 21: | Rad 21: | ||
| *Veta när n:te roten ur ett negativt tal är definierat (n udda) | *Veta när n:te roten ur ett negativt tal är definierat (n udda) | ||
| </div> | </div> | ||
| + | |||
| + | |||
| [[agjöeijö|Övningar]] | [[agjöeijö|Övningar]] | ||
| Rad 33: | Rad 35: | ||
| =Teori= | =Teori= | ||
| - | teori | ||
| - | |||
| - | $$ fristående formel dubbla dollar $$ | ||
| - | |||
| - | teori igen | ||
| - | |||
| - | <div class="regel"> | ||
| - | '''Viktig regel:''' | ||
| - | $$dubbeldollar$$ | ||
| - | </div> | ||
| - | |||
| - | <div class="exempel"> | ||
| - | '''Exempel 1''' | ||
| - | |||
| - | Exempeltext, använd nedanstående numrering | ||
| - | <ol type="a"> | ||
| - | <li>$matte$ | ||
| - | <li>text | ||
| - | </ol> | ||
| - | |||
| - | </div> | ||
| - | |||
| - | teori igen | ||
| ==Kvadratrötter== | ==Kvadratrötter== | ||
| Rad 76: | Rad 55: | ||
| '''Exempel 1''' | '''Exempel 1''' | ||
| <ol type="a"> | <ol type="a"> | ||
| - | <li>$\quad \sqrt{0}=0 \quad$ eftersom $\; 0^2 = 0 \cdot 0 = 0 \;$ och $0$ är inte negativ | + | <li>$\sqrt{0}=0 \quad$ eftersom $\; 0^2 = 0 \cdot 0 = 0 \;$ och $0$ är inte negativ <br><br> |
| - | <li>$\quad \sqrt{100}=10 \quad$ eftersom $\; 10^2 = 10 \cdot 10 = 100 \;$ och $10$ är ett positivt tal. | + | <li>$\sqrt{100}=10 \quad$ eftersom $\; 10^2 = 10 \cdot 10 = 100 \;$ och $10$ är ett positivt tal. <br><br> |
| - | <li> $\quad \sqrt{0{,}25}=0{,}5 \quad$ eftersom $\; 0{,}5^2 = 0{,}5 \cdot 0{,}5 = 0{,}25 \;$ och $0{,}5$ är positiv | + | <li> $ \sqrt{0{,}25}=0{,}5 \quad$ eftersom $\; 0{,}5^2 = 0{,}5 \cdot 0{,}5 = 0{,}25 \;$ och $0{,}5$ är positiv <br><br> |
| - | <li>$\quad \sqrt{2} \approx 1{,}4142 \quad$ eftersom $\; 1{,}4142 \cdot 1{,}4142 \approx 2 \;$ och $1{,}4142$ är positiv | + | <li>$\sqrt{2} \approx 1{,}4142 \quad$ eftersom $\; 1{,}4142 \cdot 1{,}4142 \approx 2 \;$ och $1{,}4142$ är positiv <br><br> |
| - | <li> Ekvationen $ x^2=2 $ har lösningarna $ x=\sqrt{2}\approx 1,414 $ och $ x = -\sqrt{2} \approx -1,414$ | + | <li>Ekvationen $ x^2=2 $ har lösningarna $ x=\sqrt{2}\approx 1,414 $ och $ x = -\sqrt{2} \approx -1,414$<br><br> |
| - | <li> $ \sqrt{-4} $ är inte definierat, eftersom det inte finns något reellt tal $x$ sådant att $x^2=-4$. | + | <li>$ \sqrt{-4} $ är inte definierat, eftersom det inte finns något reellt tal $x$ sådant att $x^2=-4$.<br><br> |
| <li>$ \sqrt{(-7)^2} = 7 \;$ eftersom $\; \sqrt{(-7)^2} = \sqrt{(-7) \cdot (-7)} = \sqrt{49} = \sqrt{ 7 \cdot 7} = 7$. | <li>$ \sqrt{(-7)^2} = 7 \;$ eftersom $\; \sqrt{(-7)^2} = \sqrt{(-7) \cdot (-7)} = \sqrt{49} = \sqrt{ 7 \cdot 7} = 7$. | ||
| </ol> | </ol> | ||
| Rad 113: | Rad 92: | ||
| '''Exempel 2''' | '''Exempel 2''' | ||
| <ol type="a"> | <ol type="a"> | ||
| - | <li>$\sqrt{64\cdot 81}=\sqrt{64}\cdot \sqrt{81}=8\cdot 9 =72$ | + | <li>$\sqrt{64\cdot 81}=\sqrt{64}\cdot \sqrt{81}=8\cdot 9 =72$ <br><br> |
| - | <li>$ \sqrt{\displaystyle\frac{9}{25}} =\displaystyle\frac{\sqrt{9}}{ \sqrt{25}}= \displaystyle\frac{3}{5}$ | + | <li>$ \sqrt{\displaystyle\frac{9}{25}} =\displaystyle\frac{\sqrt{9}}{ \sqrt{25}}= \displaystyle\frac{3}{5}$ <br><br> |
| - | <li>$ \sqrt{18} \cdot \sqrt{2} =\sqrt{18 \cdot 2} = \sqrt{36} = 6$ | + | <li>$ \sqrt{18} \cdot \sqrt{2} =\sqrt{18 \cdot 2} = \sqrt{36} = 6$ <br><br> |
| - | <li>$ \displaystyle\frac{\sqrt{75}}{\sqrt{3}} = \sqrt{\displaystyle\frac{75}{3}} = \sqrt{25} = 5$ | + | <li>$ \displaystyle\frac{\sqrt{75}}{\sqrt{3}} = \sqrt{\displaystyle\frac{75}{3}} = \sqrt{25} = 5$ <br><br> |
| <li>$ \sqrt{12} = \sqrt{ 4 \cdot 3 } = \sqrt{4} \cdot \sqrt{3} = 2\sqrt{3} $ | <li>$ \sqrt{12} = \sqrt{ 4 \cdot 3 } = \sqrt{4} \cdot \sqrt{3} = 2\sqrt{3} $ | ||
| </ol> | </ol> | ||
| Rad 138: | Rad 117: | ||
| '''Exempel 3''' | '''Exempel 3''' | ||
| <ol type="a"> | <ol type="a"> | ||
| - | <li>$\quad \sqrt[\scriptstyle 3]{8} = 2 \quad$ eftersom $\; 2 \cdot 2 \cdot 2=8$. | + | <li>$\quad \sqrt[\scriptstyle 3]{8} = 2 \quad$ eftersom $\; 2 \cdot 2 \cdot 2=8$. <br><br> |
| - | <li>$\quad \sqrt[\scriptstyle 3]{0{,}027} = 0{,}3 \quad$ eftersom $\; 0{,}3 \cdot 0{,}3 \cdot 0{,}3=0{,}027$. | + | <li>$\quad \sqrt[\scriptstyle 3]{0{,}027} = 0{,}3 \quad$ eftersom $\; 0{,}3 \cdot 0{,}3 \cdot 0{,}3=0{,}027$. <br><br> |
| <li>$\quad \sqrt[\scriptstyle 3]{-8} = -2 \quad$ eftersom $\; (-2) \cdot (-2) \cdot (-2)= -8$. | <li>$\quad \sqrt[\scriptstyle 3]{-8} = -2 \quad$ eftersom $\; (-2) \cdot (-2) \cdot (-2)= -8$. | ||
| </ol> | </ol> | ||
| Rad 157: | Rad 136: | ||
| '''Exempel 4''' | '''Exempel 4''' | ||
| <ol type="a"> | <ol type="a"> | ||
| - | <li>$ \sqrt[\scriptstyle 4]{625} = 5$ eftersom $5 \cdot 5 \cdot 5 \cdot 5 = 625$ | + | <li>$ \sqrt[\scriptstyle 4]{625} = 5$ eftersom $5 \cdot 5 \cdot 5 \cdot 5 = 625$ <br><br> |
| - | <li>$ \sqrt[\scriptstyle 5]{-243} = -3$ eftersom $(-3) \cdot (-3) \cdot (-3) \cdot (-3) \cdot (-3) = -243$ | + | <li>$ \sqrt[\scriptstyle 5]{-243} = -3$ eftersom $(-3) \cdot (-3) \cdot (-3) \cdot (-3) \cdot (-3) = -243$ <br><br> |
| <li>$\sqrt[\scriptstyle 6]{-17}$ är inte definierad eftersom $6$ är jämn och $-17$ är ett negativt tal. $ | <li>$\sqrt[\scriptstyle 6]{-17}$ är inte definierad eftersom $6$ är jämn och $-17$ är ett negativt tal. $ | ||
| </ol> | </ol> | ||
Versionen från 23 april 2007 kl. 14.09
3.1 RötterInnehåll:
Läromål: Efter detta avsnitt ska du ha lärt dig att:
|
|||||||||||||||||||
TeoriKvadratrötterSymbolen $ \sqrt{a} $ , kvadratroten ur $a$, används som bekant för att beteckna det tal som multiplicerat med sig självt blir $a$. Man måste dock vara lite mer exakt när man definierar denna symbol. Ekvationen $ x^2 = 4 $ har två lösningar, x = 2 och x = -2, eftersom såväl $ 2\cdot 2 = 4 $ som $ (-2)\cdot(-2) = 4$. Man skulle då kunna tro att $ \sqrt{4} $ kan vara vilket som helst av $-2$ och $2$, dvs. $\sqrt{4}= \pm 2$, men $\sqrt{4}$ betecknar bara det postiva talet $2$. Vi har att
Det är därför fel att påstå att $ \sqrt{4}= \pm 2$, men korrekt att säga att ekvationen $ x^2 = 4 $ har lösningarna $ x = \pm 2$. T.ex. gäller därmed att $-\sqrt{4}=-2$ och inget annat. Exempel 1
När man räknar med kvadratrötter kan det vara bra att känna till några räkneregler. Eftersom $ \sqrt{a} = a^{1/2} $ kan vi överföra potenslagarna till "rotlagar". Vi har t.ex. att $$\sqrt{9\cdot 4} = (9\cdot 4)^{1/2} = 9^{1/2}\cdot 4^{1/2} = \sqrt{9}\cdot \sqrt{4}$$ På detta sätt kan vi få fram följande räkneregler för kvadratrötter, som gäller för alla reella tal $ a, b \ge 0:$ $$\sqrt{ab}=\sqrt{a}\cdot \sqrt{b}$$ $$\sqrt{a/b}= \frac{\sqrt{a}}{ \sqrt{b}}$$ $$a\sqrt{b}=\sqrt{a^2b}$$ (Vi måste dock vid divisionen ovan som vanligt förutsätta att b inte är 0.) Exempel 2
Observera att räknereglerna ovan förutsätter att $ a \mbox{ och } b \ge 0.$ Om a och b är negativa (< 0) så är inte $ \sqrt{a} $ och $ \sqrt{b} $ definierade som reella tal. Man skulle kunna frestas att skriva $$-1 = \sqrt{-1} \cdot \sqrt{-1} = \sqrt{ (-1) \cdot (-1) } = \sqrt{1} = 1$$ men ser då att något inte stämmer. Anledningen är att $ \sqrt{-1} $ inte är ett reellt tal, vilket alltså gör att räknereglerna ovan inte får användas. N-te rötterKubikroten ut ett tal $a$ definieras som det tal som multiplicerat med sig själv tre gånger ger $a$, och betecknas $\sqrt[\scriptstyle 3]{a}$. Exempel 3
Notera att, till skillnad fån kvadratrötter, är kubikrötter även definierade för negativa tal. Det går sedan att för postiva heltal $n$ definiera n:te roten ur ett tal $a$ som
Roten $\sqrt[\scriptstyle n]{a}$ kan även skrivas som $a^{1/n}$. Exempel 4
För $n$-te rötter gäller samma räkneregler som för kvadratrötter om $ a, \: b \ge 0$. OBS! om $n$ är udda gäller de även för negativa $a$ och $b$, dvs. för all reella tal $a, b$. $$\sqrt[\scriptstyle n]{ab}=\sqrt[\scriptstyle n]{a}\cdot \sqrt[\scriptstyle n]{b}$$ $$\sqrt[\scriptstyle n]{\displaystyle\frac{a}{b}}=\displaystyle \frac{\sqrt[\scriptstyle n]{a}}{\sqrt[\scriptstyle n]{b}}$$ $$a\cdot\sqrt[\scriptstyle n]{b}=\sqrt[\scriptstyle n]{a^nb}$$ Förenkling av rotuttryckOfta kan man genom att använda räknereglerna för rötter förenkla rotuttryck väsentligt. Liksom vid potensräkning handlar det ofta om att bryta ner uttryck i så "små" rötter som möjligt. Exempelvis gör man gärna omskrivningen $$\sqrt{8}=\sqrt{4\cdot2} = \sqrt{4} \cdot \sqrt{2} = 2\sqrt{2}$$ eftersom man då kan förenkla t.ex. $$\displaystyle\frac{\sqrt{8}}{2} = \displaystyle\frac{2 \sqrt{2}}{2} = \sqrt{2} $$
$$\sqrt{8} + \sqrt{2} = 2\sqrt{2} + \sqrt{2} = (2+1)\sqrt{2} =3\sqrt{2}$$ Exempel 5
Rationella rotuttryckNär rötter förekommer i ett rationellt uttryck vill man ofta undvika rötter i nämnaren (eftersom det är svårt vid handräkning att dividera med irrationella tal). Genom att förlänga med $ \sqrt{2} $ kan man exempelvis göra omskrivningen $$\displaystyle\frac{1}{\sqrt{2}} = \displaystyle\frac{1\cdot\sqrt{2}}{\sqrt{2}\cdot\sqrt{2}} = \displaystyle\frac{\sqrt{2}}{2}$$ vilket oftast är att föredra. I andra fall kan man utnyttja konjugatregeln, $ (a+b)(a-b) = a^2 - b^2 $, och förlänga med nämnarens s.k. konjugerade uttryck. På så sätt försvinner rottecknen från nämnaren, t.ex. $$ \displaystyle\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{2}+1} = \displaystyle\frac{\sqrt{3}}{(\sqrt{2}+1)} \cdot \frac{\sqrt{2}-1}{\sqrt{2}-1} = \displaystyle\frac{\sqrt{3}(\sqrt{2}-1)}{(\sqrt{2}+1)(\sqrt{2}-1)} = \displaystyle\frac{\sqrt{3} \cdot \sqrt{2} - \sqrt{3} \cdot 1}{ (\sqrt{2})^2 - 1^2 } = \displaystyle\frac{\sqrt{3 \cdot 2} - \sqrt{3}}{ 2 - 1 } = \displaystyle\frac{\sqrt{6} - \sqrt{3}}{ 1 } = \sqrt{6} - \sqrt{3} $$ Exempel 6
Råd för inläsning Tänk på att: Kvadratroten ur ett tal alltid är icke-negativ (dvs positiv eller lika med noll)! Rotlagarna är egentligen specialfall av potenslagarna. Exempelvis: $\sqrt{x}=x^{1/2}$
för dig som vill fördjupa dig ytterligare eller behöver en längre förklaring Läs mer om kvadratrötter i engelska Wikipedia Hur vet man att roten ur 2 inte är ett bråktal?
© Copyright 2006, KTH Matematik
|
|
