Med hjälp av kvadratkomplettering (se även avsnitt 3.2) kan man använda tekniken i exempel 2 för alla andragradsekvationer.

Kontrollera gärna svaret med den allmänna lösningsformeln! Den procedur som genomförs i Exempel 3 kan också utföras på den allmänna ekvationen $ x^2 + px + q = 0$

Det visar sig då att man efter kvadratkomplettering och rotutdragning får den allmänna lösningsformeln (*) ovan.

Kvadratkomplettering gör det också möjligt att direkt se vilket som är det största eller minsta värdet som ett andragradsuttryck kan anta.

I Exempel 3 fann vi att $ x^2 + 4x - 12 = (x + 2)^2 - 16 $

Termen $(x + 2)^2$ är en kvadrat, och kan alltså inte vara negativ. Som minst är den noll. Därför är det minsta värdet som uttrycket $ x^2 + 4x - 12 $

kan anta -16, och detta värde antas när parentesen är noll, dvs för x = -2. Detta kommer att användas i avsnitt 3.3. I Exempel 3 blev resultatet av kvadratkompletteringen $ (x + 2)^2 - 16 $

Konstanttermens tecken (här ” - ”) är viktigt. Den negativa konstanttermen i exemplet gjorde det möjligt att lösa motsvarande andragradsekvation med rotutdragning i bägge led av $ (x + 2)^2 = 16 $

(Alternativt kan man faktorisera $ (x + 2)^2 - 16 $ med konjugatregeln.) Om man istället får en positiv konstantterm innebär det att andragradsuttrycket saknar nollställen, eftersom kvadraten inte kan bli negativ, och därmed kan uttrycket inte bli noll. Sådana uttryck kan inte faktoriseras (se avsnitt 2.5 om faktorisering). En positiv konstantterm motsvarar ett negativt uttryck under rottecknet i allmänna lösningsformeln (*).

[redigera] Andragradskurvor:

En andragradskurva kan beskrivas som de punkter $\;(x,y)\;$ som uppfyller en ekvation som är ett polynom där den term som har högsta graden har grad 2. Ett exempel skulle kunna vara

$ y=2x^2+3x+4. $ Mer allmänt kan man skriva

$ax^2+bx+c$

Hur gör man för att enklast kunna beskriva utseendet för en sådan andragradskurva? Rent generellt så har en andragradskurva enbart ett lokalt minimum eller maximum. Samtidigt kan den maximalt skära x-axeln på två ställen och y-axeln på ett ställe.

Hur skall man kunna hitta dessa punkter?

För enkelhetsskull så antar vi ovan att $a=1$, d.v.s. $y=x^2+bx+c$ Vi vill kunna skriva formen för en andragradskruva som en jämn kvadrat plus en konstant. Efter kvadratkomplettering ser att vi kan skriva uttrycket som

$ y=\left(x+\displaystyle \frac{b}{2}\right)^2 +c-\displaystyle \frac{b^2}{4}. $

Detta uttyck kan minimalt bli $ c- \displaystyle \frac{b^2}{4} $ eftersom kvadraten inte kan bli mindre än 0. Vi ser alltså att minpunkten blir

$ (x,y)=\left(-\displaystyle \frac{b}{2},c-\displaystyle \frac{b^2}{4}\right) $

I motsvarande fall om $a=-1$ så får vi att $\;y=-x^2+bx+c \;$ har maxpunkt i $(b/2,c+b^2/4)$. Skärning med x-axeln fås då y=0 och det är inte säkert att det är uppfyllt dvs sambandet har ett minimivärde som är större än 0. Vi har nu en kurva med ekvation

$ y=ax^2+bx+c. $

Efter kvadratkomplettering så inser vi att konstanten $a$ bestämmer formen på kurvan medan $a,b \mbox{ och } c$ alla är med och bestämmer positionen av minimi-/maximivärdet hos kurvan. Eftersom en andragradskurva enbart har en maximi eller minimi-punkt så är det ganska enkelt att bestämma formen hos kurvan. För enkelhetsskull antar vi nu att $b \mbox{ och } c = 0.$ Vi har alltså ett samband

$ y=ax^2 $

Polariteten hos $a$ bestämmer om kurvan har ett maxvärde eller minvärde dvs om den pekar uppåt eller nedåt. Vi ser att koefficienten $ a $ trycker ihop/drar ut kurvan $ y=x^2,$ beroende på om $a<1$ eller om $ a>1$. <p align="center"><img src="ppStdFiles2261/766663.gif" hspace='0' vspace='0' />

Position i vertikalled (dvs i y-led) styrs av konstanten $c$. Vi låter nu $a=1$ och $b=0$ ovan. Vi ser att $ y=x^2+2 $ har minsta värde 2 medan $ y=x^2 $ har minsta värde 0. $ y=x^2$ kan alltså enkelt ritas i ett koordinatsystem genom att föorflytta $ y=x^2$ två längdenheter i positiv y-riktning. <p align="center"><img src="ppStdFiles2261/766664.gif" hspace='0' vspace='0' />

Position i horisontalled styrs av konstanten b. Låt nu a=1 och c=0 ovan. Vi har då kurvan $ y=x^2+bx$.

Om vi kvadratkompletterar så får vi att $ y=\left(x+\displaystyle \frac{b}{2}\right)^2-\displaystyle \frac{b^2}{4} $ Vi ser alltså att $ y $ kan vara minimalt $ -\,\displaystyle \frac{b^2}{4} $ då $ x=-\,\displaystyle \frac{b}{2}$. Vi kan alltså sammanfatta att koefficienten $b$ gjorde att minpunkten flyttades från origo till punkten $ \left(-\,\displaystyle \frac{b}{2},-\,\displaystyle \frac{b^2}{4}\right) $ <p align="center"><img src="ppStdFiles2261/766668.gif" hspace='0' vspace='0' />

Vad som också kan vara av intresse är skärningspunkter mellan en andragradskurva och x-axeln.

Vi har ovan noterat att det inte behöver vara så att en andragradskurva skär x-axeln. Det kan också vara att den tangerar x-axeln eller att den skär x-axeln i två punkter.

Antag att vi har en andragradskurva $y=ax^2+bx+c$. Skärningspunkter med x-axeln fås genom att lösa ekvationen $ y=0 $ dvs $ ax^2+bx+c = 0$. Observera att $y=0$ för alla punkter på x-axeln.

© Copyright 2006, KTH Matematik