Exempel 1

1. $30^\circ = 30 \cdot 1^\circ = 30 \cdot \displaystyle \frac{\pi}{180} \mbox{ radianer } = \displaystyle \frac{\pi}{6} \mbox{ radianer }$
   
   
2. $ \displaystyle \frac{\pi}{8} \mbox {radianer } = \displaystyle \frac{\pi}{8} \cdot (1 \; \mbox{radian }) = \displaystyle \frac{\pi}{8} \cdot \displaystyle \frac{180^\circ}{\pi} = 22,5^\circ$

Exempel 2

Exempeltext, använd nedanstående numrering

1. Vinklar $-55^\circ$ och $665^\circ$ anger samma riktning eftersom $$-55^\circ + 2 \cdot 360^\circ = 665^\circ \; \mbox{.}$$
2. Vinklarna $\frac{3\pi}{7}$ och $-\frac{11\pi}{7}$ anger samma riktning eftersom $$\frac{3\pi}{7} - 2\pi = -\frac{11\pi}{7} \; \mbox{.}$$
3. Vinklarna $36^\circ$ och $216^\circ$ anger inte samma riktning utan motsatta riktningar eftersom $$36^\circ + 180^\circ = 216^\circ \; \mbox{.}$$

Exempel 3

Bild: figur 3.2.6

I triangel till höger är $$c^2= 3^2 + 4^2 = 9 +16 = 25$$ och därför är hypotenusan $c$ lika med $$c=\sqrt{25} = 5 \; \mbox{.}$$

Exempel 4

1. Avståndet mellan $(1,2)$ och $(3,1)$ är $$d=\sqrt{ (1-3)^2 + (2-1)^2} = \sqrt{(-2)^2 + 1^2} = \sqrt{ 4+1} = \sqrt{5} \; \mbox{.}$$
2. Avståndet mellan $(-1,0)$ och $(-2,-5)$ är $$d=\sqrt{ (-1-(-2))^2 + (0-(-5))^2} = \sqrt{1^2 + 5^2} = \sqrt{1+25} = \sqrt{26} \; \mbox{.}$$

Exempel 5

En cirkelsektor är given i figuren till höger. Bild: figur 3.2.10

1. Bestäm cirkelbågens längd
   
   Medelpunktsvinkeln $50^\circ$ blir i radianer $$50^\circ= 50 \cdot 1^\circ = 50 \cdot \frac{\pi}{180} \mbox{ radianer } = \frac{5\pi}{18} \mbox{ radianer. }$$ På det sätt som radianer är definerat betyder detta att cirkelbågens längd är radien multiplicerat med vinkeln mätt i radianer, $$3 \cdot \frac{5\pi}{18} \mbox{ l.e. } = \frac{5\pi}{6} \mbox{ l.e. }$$
2. Bestäm cirkelsektorns area.
   
   Cirkelsektorns andel av hela cirkeln är $$\frac{50^\circ}{360^\circ} = \frac{5}{36}$$ och det betyder att dess area är $\frac{5}{36}$ delar av cirkelns area som är $\pi r^2 = \pi 3^2 = 9\pi$, d.v.s. $$\frac{5}{36} \cdot 9\pi \mbox{ a.e. }= \frac{5\pi}{4} \mbox{ a.e. }$$

Exempel 6

1. $(x-1)^2 + (y-2)^2 = 9$ är ekvationen för en cirkel med medelpunkten i $(1,2)$ och radie $\sqrt{9} = 3$.
   
   
2. $x^2 + (y-1)^2 = 1$ kan skriva som $(x-0)^2 + (y-1)^2 = 1$ och är ekvationen för en cirkel med medelpunkten i $(0,1)$ och radie $\sqrt{1} = 1$.
   
   
3. $(x+1)^2 + (y-3)^2 = 5$ kan skrivas som $(x-(-1))^2 + (y-3)^2 = 5$ och är ekvationen för en cirkel med medelpunkten i $(-1,3)$ och radie $\sqrt{5} \approx 2{,}236$.

Bild: figur 3.2-12-14

Exempel 7

1. Ligger punkten $(1,2)$ på cirkeln $(x-4)^2 +y^2=13$?
   
   Stoppar vi in punktens koordinater $x=1$ och $y=2$ i cirkelns ekvation har vi att $$\mbox{VL }= (1-4)^2+2^2 =(-3)^2+2^2=9+4=13= \mbox{ HL}\; \mbox{.}$$ Eftersom punkten uppfyller cirkelns ekvation ligger punken på cirkeln.
   
   
2. Bestäm ekvationen för cirkeln som har medelpunkt i $(3,4)$ och innehåller punkten $(1,0)$.
   
   Eftersom punkten $(1,0)$ ska ligga på cirkeln måste cirkelnc radie vara lika med avståndet från $(1,0)$ till medelpunkten $(3,4)$. Avståndsformlen ger att detta avstånd är $$c=\sqrt{(3-1)^2 + (4-0)^2 }= \sqrt{4 +16} = \sqrt{20} \; \mbox{.}$$ Cirkelns ekvation är därför $$(x-3)^2 + (y-4)^2 = 20 \; \mbox{.}$$

Bild: 3.2.15 och 3.2.16

Exempel 8

Bestäm medelpunkten och radie för den cirkel vars ekvation är $x^2 + y^2 – 2x + 4y + 1 = 0$.

Lösning:

Vi försöker skriva om cirkelns ekvation på formen $$(x – a)^2 + (y – b)^2 = r^2$$ för då kan vi direkt avläsa att medelpunken $(a,b)$ och radien $r$.

Börja med att kvadratkomplettera termerna som innehåller $x$ i vänsterledet $$ \underline{x^2-2x} + y^2+4y + 1 =\underline{(x-1)^2-1^2} + y^2+4y + 1$$ (de understrukna termerna visar kvadratkompletteringen).

Kvadratkomplettera sedan termerna som innehåller $y$ $$ (x-1)^2-1^2 + \underline{y^2+4y} + 1= (x-1)^2-1 + \underline{(y+2)^2-2^2} + 1$$

Vänsterledet är alltså lika med $$ (x-1)^2 + (y+2)^2-4 $$

och flyttar vi över 4 till högerledet är cirkelns ekvation $$ (x-1)^2 + (y+2)^2 = 4 $$

Vi avläser att medelpunkten är $(1,2)$ och radien är $\sqrt{4}= 2$.

Vi jämför med cirkelns ekvation på normalform och identifierar medelpunkten $ (x_0,y_0)=(1,-2) $ samt radien $ \sqrt{4}=2 $ .