Exempel 1

Exempeltext, använd nedanstående numrering

1. $matte$
2. text

Exempel 1

Lös ekvationerna

1. $10^x = 537 \quad$ som har lösningen $x = \lg 537$.
2. $10^{5x} = 537 \quad$ ger att $5x= \lg 537$ , d.v.s. $x= \displaystyle \frac{1}{5} \lg 537$
3. $\displaystyle \frac{3}{e^x} = 5 \quad$ Multiplicerar båda led med $e^x$ $$3=5e^x \; \mbox{.}$$

   Dividera båda led med $5$

   $$\frac{3}{5} = e^x$$

   vilket ger att $x=\ln \frac{3}{5}$.

4. $(\sqrt{10})^x = 25 \quad$ Eftersom $\sqrt{10} = 10^{1/2}$ är vänsterledet lika med $(\sqrt{10})^x = (10^{1/2})^x = 10^{x/2}$ och ekvationen lyder $$10^{x/2} = 25$$

   Lösningen är $\displaystyle \frac{x}{2} = \lg 25, $ d.v.s. $x= 2 \lg 25$.

5. $\lg x = 3 \quad$ Definitionen ger direkt att $x=10^3 = 1000$.
6. $\lg(2x-4) = 2 \quad$ Från definitionen har vi att. $$2x-4 = 10^2 = 100$$

   och då följer att $x = 52$.

7. $\displaystyle \frac{3 \ln 2x}{2} + 1 = \displaystyle \frac{1}{2}\quad$ Multiplicerar båda led med $2$ och subtrahera sedan $2$ från båda led $$ 3 \ln 2x = -1$$

   Dividera båda led med $3$

   $$ \ln 2x = -\displaystyle \frac{1}{3} $$

   Nu ger definitionen direkt att $2x = e^{-1/3}$, vilket betyder att

   $$ x = \displaystyle \frac{1}{2} e^{-1/3} = \displaystyle \frac{1}{2e^{1/3}} $$

Exempel 1

Exempeltext, använd nedanstående numrering

1. $matte$
2. text

Lös ekvationen

$ \mbox{ a) } \lg x + \lg 2 = 2 $

Lösning:

$ \lg 2x = 2 $

$ 2x = 10^2 = 100 $

$ x = 50 $

$ \mbox{ b) } 2 \ln x - \ln 2x = 4 $

Lösning:

$ \ln x^2 - \ln 2x = 4 $

$ \ln \displaystyle \frac{x^2}{2x} = \ln \displaystyle \frac{x}{2} = 4 $

$ \displaystyle \frac{x}{2} = e^4 $

$ x = 2 \cdot e^4 $

$ \mbox{ c) } \lg x + 3 \lg 2 = 2 \lg 12 $

Lösning:

$ \lg x = 2 \lg 12 - 3 \lg 2 = \lg 12^2 - \lg 2^3 = \lg \displaystyle \frac{12^2}{2^3} = \lg \displaystyle \frac{144}{8} = \lg 18 $

$ x = 18 $

$ \mbox{ d) } 3 \ln 2 - 2 \ln 5 + \ln 2x = 0 $

Lösning:

$ \ln 2x = 2 \ln 5 - 3 \ln 2 = \ln 5^2 - \ln 2^3 = \ln \displaystyle \frac{5^2}{2^3} = \ln \displaystyle \frac{25}{8} $

$ 2x = \displaystyle \frac{25}{8} $

$ x = \displaystyle \frac{25}{16} $

Exempel 1

Exempeltext, använd nedanstående numrering

1. $matte$
2. text

Lös ekvationen

$ \mbox{ a) } 3^x = 20 $

Lösning:

$ \lg 3^x = \lg 20 $

$ x \cdot \lg 3 = \lg 20 $

$ x = \displaystyle \frac{\lg 20}{\lg 3} \;\;\;\;\; (\approx 2,727) $

$ \mbox{ b) } 5000 \cdot 1,05^x = 10 \: 000 $

Lösning:

$ 1,05^x = \displaystyle \frac{ 10 \: 000}{5000} = 2 $

$ \lg 1,05^x = \lg 2 $

$ x \cdot \lg 1,05 = \lg 2 $

$ x = \displaystyle \frac{\lg 2}{\lg 1,05} \;\;\;\;\; (\approx 14,2) $

$ \mbox{ c) } 2^x \cdot 3^x = 5 $

Lösning:

$ (2 \cdot 3)^x = 5 $

$ 6^x = 5 $

$ \lg 6^x = \lg 5 $

$ x \cdot \lg 6 = \lg 5 $

$ x = \displaystyle \frac{\lg 5}{\lg 6} $

$ \mbox{ d) } 5^{2x + 1} = 3^{5x} $

Lösning:

$ \lg 5^{2x + 1} = \lg 3^{5x} $

$ (2x+1)\lg 5 = 5x \cdot \lg 3 $

$ 2x \cdot \lg 5 + \lg 5 = 5x \cdot \lg 3 $

$\lg 5 = x (5 \lg 3 -2 \lg 5)$

$x = \displaystyle \frac{\lg 5}{5 \lg 3 -2 \lg 5}$

Exempel 1

Lös ekvationen $\ln(x^3) + 2 \ln\left( \displaystyle \displaystyle \frac{1}{x}\right) = 3$

$ 3\ln(x) + 2\cdot(-1)\ln(x)=3 $

$ \ln(x) = 3 $

vilket ger

$ x=e^3 $

Exempel 1

Lös ekvationen $ \displaystyle \displaystyle \frac{6e^x}{3e^x+1}=\displaystyle \displaystyle \frac{5}{e^{-x}+2}$

$ 6e^x(e^{-x}+2) = 5(3e^x+1) $

$ 6+12e^x = 15e^x+5 $

$ 1=3e^x $

$ e^x=\displaystyle \displaystyle \frac{1}{3} $

$ x=\ln{\displaystyle \displaystyle \frac{1}{3}}=-\ln(3) $

Exempel 1

Lös ekvationen $ 3 \cdot 2^x=e^x $

$ \ln(3) + \ln(2^x) = \ln(e^x) $

$ \ln(3) + x \ln(2) =x \ln(e) $

$ \ln(3) + x \ln(2) = x $

$ \ln(3) = (1-\ln(2))x $

$ x=\displaystyle \displaystyle \frac{\ln(3)}{1-\ln(2)} $