Exempel 1

Exempeltext, använd nedanstående numrering

1. matte
2. text

Exempel 1

Lös ekvationerna

1. 10^x = 537 \quad \quad som har lösningen x = \lg 537.
   
   
2. 10^{5x} = 537 \quad \quad ger att 5x= \lg 537 , d.v.s. x= \displaystyle \frac{1}{5} \lg 537
   
   
3. \displaystyle \frac{3}{e^x} = 5 \quad \quad Lösning:

   Multiplicerar båda led med e^x

   3=5e^x \; \mbox{.}

   Dividera båda led med 5

   \frac{3}{5} = e^x

   vilket ger att x=\ln \frac{3}{5}.
   
   

4. (\sqrt{10})^x = 25 \quad Lösning:

   Eftersom \sqrt{10} = 10^{1/2} är vänsterledet lika med (\sqrt{10})^x = (10^{1/2})^x = 10^{x/2} och ekvationen lyder

   10^{x/2} = 25

   Lösningen är \displaystyle \frac{x}{2} = \lg 25, d.v.s. x= 2 \lg 25.
   
   

5. \lg x = 3 \quad \quad \quad Definitionen ger direkt att x=10^3 = 1000.
   
   
6. \lg(2x-4) = 2 \quad Lösning:

   Från definitionen har vi att.

   2x-4 = 10^2 = 100

   och då följer att x = 52.
   
   

7. \displaystyle \frac{3 \ln 2x}{2} + 1 = \displaystyle \frac{1}{2}\quad Lösning:

   Multiplicerar båda led med 2 och subtrahera sedan 2 från båda led

   3 \ln 2x = -1

   Dividera båda led med 3

   \ln 2x = -\displaystyle \frac{1}{3}

   Nu ger definitionen direkt att 2x = e^{-1/3}, vilket betyder att

   x = \displaystyle \frac{1}{2} e^{-1/3} = \displaystyle \frac{1}{2e^{1/3}}

Exempel 1

Exempeltext, använd nedanstående numrering

1. matte
2. text

Lös ekvationen

\mbox{ a) } \lg x + \lg 2 = 2

Lösning:

\lg 2x = 2

2x = 10^2 = 100

x = 50

\mbox{ b) } 2 \ln x - \ln 2x = 4

Lösning:

\ln x^2 - \ln 2x = 4

\ln \displaystyle \frac{x^2}{2x} = \ln \displaystyle \frac{x}{2} = 4

\displaystyle \frac{x}{2} = e^4

x = 2 \cdot e^4

\mbox{ c) } \lg x + 3 \lg 2 = 2 \lg 12

Lösning:

\lg x = 2 \lg 12 - 3 \lg 2 = \lg 12^2 - \lg 2^3 = \lg \displaystyle \frac{12^2}{2^3} = \lg \displaystyle \frac{144}{8} = \lg 18

x = 18

\mbox{ d) } 3 \ln 2 - 2 \ln 5 + \ln 2x = 0

Lösning:

\ln 2x = 2 \ln 5 - 3 \ln 2 = \ln 5^2 - \ln 2^3 = \ln \displaystyle \frac{5^2}{2^3} = \ln \displaystyle \frac{25}{8}

2x = \displaystyle \frac{25}{8}

x = \displaystyle \frac{25}{16}

Exempel 1

Exempeltext, använd nedanstående numrering

1. matte
2. text

Lös ekvationen

\mbox{ a) } 3^x = 20

Lösning:

\lg 3^x = \lg 20

x \cdot \lg 3 = \lg 20

x = \displaystyle \frac{\lg 20}{\lg 3} \;\;\;\;\; (\approx 2,727)

\mbox{ b) } 5000 \cdot 1,05^x = 10 \: 000

Lösning:

1,05^x = \displaystyle \frac{ 10 \: 000}{5000} = 2

\lg 1,05^x = \lg 2

x \cdot \lg 1,05 = \lg 2

x = \displaystyle \frac{\lg 2}{\lg 1,05} \;\;\;\;\; (\approx 14,2)

\mbox{ c) } 2^x \cdot 3^x = 5

Lösning:

(2 \cdot 3)^x = 5

6^x = 5

\lg 6^x = \lg 5

x \cdot \lg 6 = \lg 5

x = \displaystyle \frac{\lg 5}{\lg 6}

\mbox{ d) } 5^{2x + 1} = 3^{5x}

Lösning:

\lg 5^{2x + 1} = \lg 3^{5x}

(2x+1)\lg 5 = 5x \cdot \lg 3

2x \cdot \lg 5 + \lg 5 = 5x \cdot \lg 3

\lg 5 = x (5 \lg 3 -2 \lg 5)

x = \displaystyle \frac{\lg 5}{5 \lg 3 -2 \lg 5}

Exempel 1

Lös ekvationen \ln(x^3) + 2 \ln\left( \displaystyle \displaystyle \frac{1}{x}\right) = 3

3\ln(x) + 2\cdot(-1)\ln(x)=3

\ln(x) = 3

vilket ger

x=e^3

Exempel 1

Lös ekvationen \displaystyle \displaystyle \frac{6e^x}{3e^x+1}=\displaystyle \displaystyle \frac{5}{e^{-x}+2}

6e^x(e^{-x}+2) = 5(3e^x+1)

6+12e^x = 15e^x+5

1=3e^x

e^x=\displaystyle \displaystyle \frac{1}{3}

x=\ln{\displaystyle \displaystyle \frac{1}{3}}=-\ln(3)

Exempel 1

Lös ekvationen 3 \cdot 2^x=e^x

\ln(3) + \ln(2^x) = \ln(e^x)

\ln(3) + x \ln(2) =x \ln(e)

\ln(3) + x \ln(2) = x

\ln(3) = (1-\ln(2))x

x=\displaystyle \displaystyle \frac{\ln(3)}{1-\ln(2)}