3.4 Logaritmekvationer

Sommarmatte 1

(Skillnad mellan versioner)

Hoppa till: navigering, sök

Versionen från 20 april 2007 kl. 13.25

3.4 Logaritmekvationer

Innehåll:

alt 1
alt 2

Övningar

$$ fristående formel dubbla dollar $$

teori igen

Viktig regel: $$dubbeldollar$$

Exempel 1

Exempeltext, använd nedanstående numrering

$matte$
text

Grundekvationer

Ekvationer där logaritmer behövs eller är inblandade förekommer i många olika fall. Först ges några exempel där lösningen ges nästan direkt genom definitionen av logaritm, dvs.

$$10^x = y \Leftrightarrow x = \lg y$$ $$e^x = y \Leftrightarrow x = \ln y$$

(Vi använder oss här enbart av 10-logaritmer eller naturliga logaritmer)

Exempel 1

Lös ekvationerna

$10^x = 537 \quad \quad$ som har lösningen $x = \lg 537$.
$10^{5x} = 537 \quad \quad$ ger att $5x= \lg 537$ , d.v.s. $x= \displaystyle \frac{1}{5} \lg 537$
$\displaystyle \frac{3}{e^x} = 5 \quad \quad$
Lösning:
Multiplicerar båda led med $e^x$

$$3=5e^x \; \mbox{.}$$
Dividera båda led med $5$

$$\frac{3}{5} = e^x$$
vilket ger att $x=\ln \frac{3}{5}$.
$(\sqrt{10})^x = 25 \quad $
Lösning:
Eftersom $\sqrt{10} = 10^{1/2}$ är vänsterledet lika med $(\sqrt{10})^x = (10^{1/2})^x = 10^{x/2}$ och ekvationen lyder

$$10^{x/2} = 25$$
Lösningen är $\displaystyle \frac{x}{2} = \lg 25, $ d.v.s. $x= 2 \lg 25$.
$\lg x = 3 \quad \quad \quad$ Definitionen ger direkt att $x=10^3 = 1000$.
$\lg(2x-4) = 2 \quad$
Lösning:
Från definitionen har vi att.

$$2x-4 = 10^2 = 100$$
och då följer att $x = 52$.
$\displaystyle \frac{3 \ln 2x}{2} + 1 = \displaystyle \frac{1}{2}\quad$
Lösning:
Multiplicerar båda led med $2$ och subtrahera sedan $2$ från båda led

$$ 3 \ln 2x = -1$$
Dividera båda led med $3$

$$ \ln 2x = -\displaystyle \frac{1}{3} $$
Nu ger definitionen direkt att $2x = e^{-1/3}$, vilket betyder att

$$ x = \displaystyle \frac{1}{2} e^{-1/3} = \displaystyle \frac{1}{2e^{1/3}} $$

I många praktiska tillämpningar rörande exponentiell tillväxt eller avtagande dyker det upp ekvationer av typen

$$a^x = b$$

där $a$ och $b$ är positiva tal. Dessa löses enklast genom att ta logaritmen av båda led

$$\lg a^x = \lg b$$

och använda logaritmlagen för potenser

$$x \cdot \lg a = \lg b$$

Vilket ger lösningen $x = \displaystyle \frac{\lg b}{\lg a} $.

Exempel 2

Lös ekvationen

$ 3^x = 20$
Lösning:
Logaritmera båda led

$$\lg 3^x = \lg 20$$
Vänsterledet kan skrivas som $+lg 3^x = x \cdot \lg 3$
och då får vi att

$$x = \displaystyle \frac{\lg 20}{\lg 3} \;\;\;\;\; (\approx 2,727)$$
$ 5000 \cdot 1,05^x = 10 \: 000$
Lösning:
Dividera båda led med 5000

$$1,05^x = \displaystyle \frac{ 10 \: 000}{5000} = 2$$
Denna ekvation löser vi genom att logaritmera båda led med $\lg$ och skriva om vänsterledet som $\lg 1,05^x = x \cdot \lg 1,05$

$$x = \displaystyle \frac{\lg 2}{\lg 1,05} \;\;\;\;\; (\approx 14,2)$$
$ 2^x \cdot 3^x = 5$
Lösning:
Vänsterledet kan skriva om med potenslagarna till $(2 \cdot 3)^x = 5$ och ekvationen blir

$$6^x = 5$$
Denna grundekvation löser vi på vanligt sätt med logaritmering och får

$$x = \displaystyle \frac{\lg 5}{\lg 6}$$
$ 5^{2x + 1} = 3^{5x}$
Lösning:
Logaritmera båda led och använd logaritmlagen $\lg a^b = b \cdot \lg a$

$$(2x+1)\lg 5 = 5x \cdot \lg 3$$ $$2x \cdot \lg 5 + \lg 5 = 5x \cdot \lg 3$$
Samla $x$ i ena ledet

$$\lg 5 = 5x \cdot \lg 3 -2x \cdot \lg 5$$ $$\lg 5 = x (5 \lg 3 -2 \lg 5)$$
Lösningen är

$$x = \displaystyle \frac{\lg 5}{5 \lg 3 -2 \lg 5}$$

Några mer komplicerade ekvationer

Även ekvationer som innehåller exponential- eller logaritmuttryck kan ibland behandlas som förstagradsekvationer, genom att betrakta "$\ln{(x)}$" eller "$e^x$" som en variabel. Man kan också om man vill substituera genom att sätta $\ln(x)=t$ eller $e^x=t$. (Man måste dock kolla så att inte detta värde gör att någon nämnare i den ursprungliga ekvationen blir 0.)

Exempel 1

Lös ekvationen $\ln(x^3) + 2 \ln\left( \displaystyle \displaystyle \frac{1}{x}\right) = 3$

$ 3\ln(x) + 2\cdot(-1)\ln(x)=3 $

$ \ln(x) = 3 $

vilket ger

$ x=e^3 $

Exempel 1

Lös ekvationen $ \displaystyle \displaystyle \frac{6e^x}{3e^x+1}=\displaystyle \displaystyle \frac{5}{e^{-x}+2}$

$ 6e^x(e^{-x}+2) = 5(3e^x+1) $

$ 6+12e^x = 15e^x+5 $

$ 1=3e^x $

$ e^x=\displaystyle \displaystyle \frac{1}{3} $

$ x=\ln{\displaystyle \displaystyle \frac{1}{3}}=-\ln(3) $

I följande exempel kan man få en förstagradsekvation genom att logaritmera bägge leden i ekvationen. När vi logaritmerar blir exponenter faktorer, enligt logaritmlagen $ \ln (a^b) = b \ln (a) $.

Exempel 1

Lös ekvationen $ 3 \cdot 2^x=e^x $

$ \ln(3) + \ln(2^x) = \ln(e^x) $

$ \ln(3) + x \ln(2) =x \ln(e) $

$ \ln(3) + x \ln(2) = x $

$ \ln(3) = (1-\ln(2))x $

$ x=\displaystyle \displaystyle \frac{\ln(3)}{1-\ln(2)} $

Ibland måste man använda logaritmlagarna för att förenkla ett ekvationsuttryck, vilket följande exempel visar:

Exempel 1

Exempeltext, använd nedanstående numrering

$matte$
text

Lös ekvationen

$ \mbox{ a) } \lg x + \lg 2 = 2 $

Lösning:

$ \lg 2x = 2 $

$ 2x = 10^2 = 100 $

$ x = 50 $

$ \mbox{ b) } 2 \ln x - \ln 2x = 4 $

Lösning:

$ \ln x^2 - \ln 2x = 4 $

$ \ln \displaystyle \frac{x^2}{2x} = \ln \displaystyle \frac{x}{2} = 4 $

$ \displaystyle \frac{x}{2} = e^4 $

$ x = 2 \cdot e^4 $

$ \mbox{ c) } \lg x + 3 \lg 2 = 2 \lg 12 $

Lösning:

$ \lg x = 2 \lg 12 - 3 \lg 2 = \lg 12^2 - \lg 2^3 = \lg \displaystyle \frac{12^2}{2^3} = \lg \displaystyle \frac{144}{8} = \lg 18 $

$ x = 18 $

$ \mbox{ d) } 3 \ln 2 - 2 \ln 5 + \ln 2x = 0 $

Lösning:

$ \ln 2x = 2 \ln 5 - 3 \ln 2 = \ln 5^2 - \ln 2^3 = \ln \displaystyle \frac{5^2}{2^3} = \ln \displaystyle \frac{25}{8} $

$ 2x = \displaystyle \frac{25}{8} $

$ x = \displaystyle \frac{25}{16} $

Råd för inläsning

Tänk på att:

Du kan behöva lägga ner mycket tid på logaritmer.

Logaritmer brukar behandlas översiktligt i gymnasiet. Därför brukar många högskolestudenter stöta på problem när det gäller att räkna med logaritmer.

Lästips

för dig som vill fördjupa dig ytterligare eller behöver en längre förklaring

Läs mer om logaritmer på engelska Wikipedia

Läs mer om Talet e i The MacTutor History of Mathematics archive

Länktips

Experimentera med logaritmer och potenser

Spela logaritm Memory

Hjälp grodan hoppa till sitt näckrosblad i "log"-spelet

Råd för inläsning

Tänk på att:

Det är speciellt viktigt att kunna använda de fyra räknesätten, parenteser och potenser korrekt när man räknar med symboler (x, y, a, b, ...).

Det är också viktigt att kunna förenkla symboluttryck och skriva dessa i olika former. Speciellt rationella uttryck, dvs. uttryck med variabler där man har en täljare och en nämnare.

Lästips

för dig som vill fördjupa dig ytterligare eller behöver en längre förklaring

Understanding Algebra - engelsk bok på nätet för högskoleförberedande studier

Länktips

Träna mer på ekvationer, blandade exempel från Theducation

Träna på och läs om ekvationer i Theducations gymnasielexikon

Den här artikeln är hämtad från http://wiki.math.se/wikis/sf0600_0701/index.php/3.4_Logaritmekvationer

3.4 Logaritmekvationer

Sommarmatte 1

Versionen från 20 april 2007 kl. 13.25

3.4 Logaritmekvationer

Grundekvationer

Några mer komplicerade ekvationer

Visningar

Personliga verktyg

Navigering

Sök

Verktygslåda

 $$x = \displaystyle \frac{\lg 5}{5 \lg 3 -2 \lg 5}$$
 </ol>
+</div>
+==Några mer komplicerade ekvationer==
+Även ekvationer som inneh&aring;ller exponential- eller logaritmuttryck kan ibland behandlas som f&ouml;rstagradsekvationer, genom att betrakta "$\ln{(x)}$" eller "$e^x$" som en variabel. Man kan ocks&aring; om man vill substituera genom att s&auml;tta $\ln(x)=t$ eller $e^x=t$.
+(Man måste dock kolla så att inte detta värde gör att någon nämnare i den ursprungliga ekvationen blir 0.)
+<div class="exempel">
+'''Exempel 1'''
+Lös ekvationen $\ln(x^3) + 2 \ln\left( \displaystyle \displaystyle \frac{1}{x}\right) = 3$
+$
+\ln(x) + 2\cdot(-1)\ln(x)=3
+$
+$
+\ln(x) = 3
+$
+vilket ger
+$
+x=e^3
+$
+</div>
+<div class="exempel">
+'''Exempel 1'''
+Lös ekvationen $
+\displaystyle \displaystyle \frac{6e^x}{3e^x+1}=\displaystyle \displaystyle \frac{5}{e^{-x}+2}$
+$
+e^x(e^{-x}+2) = 5(3e^x+1)
+$
+$
++12e^x = 15e^x+5
+$
+$
+=3e^x
+$
+$
+e^x=\displaystyle \displaystyle \frac{1}{3}
+$
+$
+x=\ln{\displaystyle \displaystyle \frac{1}{3}}=-\ln(3)
+$
+</div>
+I f&ouml;ljande exempel kan man f&aring; en f&ouml;rstagradsekvation genom att logaritmera b&auml;gge leden i ekvationen. N&auml;r vi logaritmerar blir exponenter faktorer, enligt logaritmlagen $ \ln (a^b) = b \ln (a) $.
+<div class="exempel">
+'''Exempel 1'''
+Lös ekvationen $
+\cdot 2^x=e^x
+$
+$
+\ln(3) + \ln(2^x) = \ln(e^x)
+$
+$
+\ln(3) + x \ln(2) =x \ln(e)
+$
+$
+\ln(3) + x \ln(2) = x
+$
+$
+\ln(3) = (1-\ln(2))x
+$
+$
+x=\displaystyle \displaystyle \frac{\ln(3)}{1-\ln(2)}
+$
 </div>
-Även ekvationer som inneh&aring;ller exponential- eller logaritmuttryck kan ibland behandlas som f&ouml;rstagradsekvationer, genom att betrakta "$\ln{(x)}$" eller "$e^x$" som en variabel. Man kan ocks&aring; om man vill substituera genom att s&auml;tta $\ln(x)=t$ eller $e^x=t$.
-(Man måste dock kolla så att inte detta värde gör att någon nämnare i den ursprungliga ekvationen blir 0.)
-<div class="exempel">
-'''Exempel 1'''
-Lös ekvationen $\ln(x^3) + 2 \ln\left( \displaystyle \displaystyle \frac{1}{x}\right) = 3$
-$
-\ln(x) + 2\cdot(-1)\ln(x)=3
-$
-$
-\ln(x) = 3
-$
-vilket ger
-$
-x=e^3
-$
-</div>
-<div class="exempel">
-'''Exempel 1'''
-Lös ekvationen $
-\displaystyle \displaystyle \frac{6e^x}{3e^x+1}=\displaystyle \displaystyle \frac{5}{e^{-x}+2}$
-$
-e^x(e^{-x}+2) = 5(3e^x+1)
-$
-$
-+12e^x = 15e^x+5
-$
-$
-=3e^x
-$
-$
-e^x=\displaystyle \displaystyle \frac{1}{3}
-$
-$
-x=\ln{\displaystyle \displaystyle \frac{1}{3}}=-\ln(3)
-$
-</div>
-I f&ouml;ljande exempel kan man f&aring; en f&ouml;rstagradsekvation genom att logaritmera b&auml;gge leden i ekvationen. N&auml;r vi logaritmerar blir exponenter faktorer, enligt logaritmlagen $ \ln (a^b) = b \ln (a) $.
-<div class="exempel">
-'''Exempel 1'''
-Lös ekvationen $
-\cdot 2^x=e^x
-$
-$
-\ln(3) + \ln(2^x) = \ln(e^x)
-$
-$
-\ln(3) + x \ln(2) =x \ln(e)
-$
-$
-\ln(3) + x \ln(2) = x
-$
-$
-\ln(3) = (1-\ln(2))x
-$
-$
-x=\displaystyle \displaystyle \frac{\ln(3)}{1-\ln(2)}
-$
-</div>