Teori
Kvadratrötter
Symbolen $ \sqrt{a} $ , kvadratroten ur $a$, används som bekant för att beteckna
det tal som multiplicerat med sig självt blir $a$.
Man måste dock vara lite mer exakt när man definierar denna symbol.
Ekvationen $ x^2 = 4 $ har två lösningar, x = 2 och x = -2, eftersom såväl $ 2\cdot 2 = 4 $ som $ (-2)\cdot(-2) = 4$. Man skulle då kunna tro att $ \sqrt{4} $ kan vara vilket som helst av $-2$ och $2$, dvs. $\sqrt{4}= \pm 2$, men $\sqrt{4}$ betecknar bara det postiva talet $2$. Vi har att
- $\sqrt{a} $ kvadratroten ur $ a $ betecknar det icke-negativa tal som multiplicerat med sig
- självt blir $ a $, dvs. den icke-negativa lösningen till ekvationen $ x^2 = a. $
- Kvadratroten ur $ a $ kan även skrivas $ a^{1/2}.$
Det är därför fel att påstå att $ \sqrt{4}= \pm 2$,
men korrekt att säga att ekvationen $ x^2 = 4 $ har lösningarna
$ x = \pm 2$. T.ex. gäller därmed att $-\sqrt{4}=-2$ och inget annat.
Exempel 1
- $\sqrt{0}=0 \quad$ eftersom $\; 0^2 = 0 \cdot 0 = 0 \;$ och $0$ är inte negativ
- $\sqrt{100}=10 \quad$ eftersom $\; 10^2 = 10 \cdot 10 = 100 \;$ och $10$ är ett positivt tal.
- $ \sqrt{0{,}25}=0{,}5 \quad$ eftersom $\; 0{,}5^2 = 0{,}5 \cdot 0{,}5 = 0{,}25 \;$ och $0{,}5$ är positiv
- $\sqrt{2} \approx 1{,}4142 \quad$ eftersom $\; 1{,}4142 \cdot 1{,}4142 \approx 2 \;$ och $1{,}4142$ är positiv
- Ekvationen $ x^2=2 $ har lösningarna $ x=\sqrt{2}\approx 1,414 $ och $ x = -\sqrt{2} \approx -1,414$
- $ \sqrt{-4} $ är inte definierat, eftersom det inte finns något reellt tal $x$ sådant att $x^2=-4$.
- $ \sqrt{(-7)^2} = 7 \;$ eftersom $\; \sqrt{(-7)^2} = \sqrt{(-7) \cdot (-7)} = \sqrt{49} = \sqrt{ 7 \cdot 7} = 7$.
När man räknar med kvadratrötter kan det vara bra att känna till några
räkneregler. Eftersom $ \sqrt{a} = a^{1/2} $ kan vi överföra
potenslagarna till "rotlagar". Vi har t.ex. att
$$\sqrt{9\cdot 4} = (9\cdot 4)^{1/2} = 9^{1/2}\cdot 4^{1/2} = \sqrt{9}\cdot \sqrt{4}$$
På detta sätt kan vi få fram följande räkneregler för kvadratrötter,
som gäller för alla reella tal $ a, b \ge 0:$
$$\sqrt{ab}=\sqrt{a}\cdot \sqrt{b}$$
$$\sqrt{a/b}= \frac{\sqrt{a}}{ \sqrt{b}}$$
$$a\sqrt{b}=\sqrt{a^2b}$$
(Vi måste dock vid divisionen ovan som vanligt förutsätta att b inte är 0.)
Exempel 2
- $\sqrt{64\cdot 81}=\sqrt{64}\cdot \sqrt{81}=8\cdot 9 =72$
- $ \sqrt{\displaystyle\frac{9}{25}} =\displaystyle\frac{\sqrt{9}}{ \sqrt{25}}= \displaystyle\frac{3}{5}$
- $ \sqrt{18} \cdot \sqrt{2} =\sqrt{18 \cdot 2} = \sqrt{36} = 6$
- $ \displaystyle\frac{\sqrt{75}}{\sqrt{3}} = \sqrt{\displaystyle\frac{75}{3}} = \sqrt{25} = 5$
- $ \sqrt{12} = \sqrt{ 4 \cdot 3 } = \sqrt{4} \cdot \sqrt{3} = 2\sqrt{3} $
Observera att räknereglerna ovan förutsätter att $ a \mbox{ och } b \ge 0.$
Om a och b är negativa (< 0) så är inte $ \sqrt{a} $ och $ \sqrt{b} $
definierade som reella tal. Man skulle kunna frestas att skriva
$$-1 = \sqrt{-1} \cdot \sqrt{-1} = \sqrt{ (-1) \cdot (-1) } = \sqrt{1} = 1$$
men ser då att något inte stämmer.
Anledningen är att $ \sqrt{-1} $ inte är ett reellt tal,
vilket alltså gör att räknereglerna ovan inte får användas.
N-te rötter
Kubikroten ut ett tal $a$ definieras som det tal som multiplicerat med sig själv tre gånger ger $a$, och betecknas $\sqrt[\scriptstyle 3]{a}$.
Exempel 3
- $\quad \sqrt[\scriptstyle 3]{8} = 2 \quad$ eftersom $\; 2 \cdot 2 \cdot 2=8$.
- $\quad \sqrt[\scriptstyle 3]{0{,}027} = 0{,}3 \quad$ eftersom $\; 0{,}3 \cdot 0{,}3 \cdot 0{,}3=0{,}027$.
- $\quad \sqrt[\scriptstyle 3]{-8} = -2 \quad$ eftersom $\; (-2) \cdot (-2) \cdot (-2)= -8$.
Notera att, till skillnad fån kvadratrötter, är kubikrötter även definierade för negativa tal.
Det går sedan att för postiva heltal $n$ definiera n:te roten ur ett tal $a$ som
- om $n$ är jämn och $a\ge0$ är $\sqrt[\scriptstyle n]{a}$ det icke-negativa tal som multiplicerat sig själv $n$ gånger blir $a$
- om $n$ är udda sä är $\sqrt[\scriptstyle n]{a}$ det tal som multiplicerat med sig själv $n$ gånger blir $a$
Roten $\sqrt[\scriptstyle n]{a}$ kan även skrivas som $a^{1/n}$.
Exempel 4
- $ \sqrt[\scriptstyle 4]{625} = 5$ eftersom $5 \cdot 5 \cdot 5 \cdot 5 = 625$
- $ \sqrt[\scriptstyle 5]{-243} = -3$ eftersom $(-3) \cdot (-3) \cdot (-3) \cdot (-3) \cdot (-3) = -243$
- $\sqrt[\scriptstyle 6]{-17}$ är inte definierad eftersom $6$ är jämn och $-17$ är ett negativt tal. $
För $n$-te rötter gäller samma räkneregler som för kvadratrötter om $ a, \: b \ge 0$.
OBS! om $n$ är udda gäller de även för negativa $a$ och $b$, dvs. för all reella tal $a, b$.
$$\sqrt[\scriptstyle n]{ab}=\sqrt[\scriptstyle n]{a}\cdot \sqrt[\scriptstyle n]{b}$$
$$\sqrt[\scriptstyle n]{\displaystyle\frac{a}{b}}=\displaystyle \frac{\sqrt[\scriptstyle n]{a}}{\sqrt[\scriptstyle n]{b}}$$
$$a\cdot\sqrt[\scriptstyle n]{b}=\sqrt[\scriptstyle n]{a^nb}$$
Förenkling av rotuttryck
Ofta kan man genom att använda räknereglerna för rötter förenkla rotuttryck
väsentligt. Liksom vid potensräkning handlar det ofta om att bryta ner uttryck i så
"små" rötter som möjligt. Exempelvis gör man gärna omskrivningen
$$\sqrt{8}=\sqrt{4\cdot2} = \sqrt{4} \cdot \sqrt{2} = 2\sqrt{2}$$
eftersom man då kan förenkla t.ex.
$$\displaystyle\frac{\sqrt{8}}{2} = \displaystyle\frac{2 \sqrt{2}}{2} = \sqrt{2} $$
Genom att skriva rotuttryck i termer av "små" rötter kan man också addera rötter av "samma
sort", t.ex.
$$\sqrt{8} + \sqrt{2} = 2\sqrt{2} + \sqrt{2} = (2+1)\sqrt{2} =3\sqrt{2}$$
Exempel 5
- $\displaystyle\frac{\sqrt{8}}{\sqrt{18}} =
\displaystyle\frac{\sqrt{2 \cdot 4}}{\sqrt{2 \cdot 9}} =
\displaystyle\frac{\sqrt{2 \cdot 2 \cdot 2}}{\sqrt{2 \cdot 3 \cdot 3}} =
\displaystyle\frac{\sqrt{2 \cdot 2^2}}{\sqrt{2 \cdot 3^2}} =
\displaystyle\frac{2\sqrt{2}}{3\sqrt{2}} = \displaystyle\frac{2}{3}$
-
$ \displaystyle\frac{\sqrt{72}}{6} =
\displaystyle\frac{\sqrt{8 \cdot 9}}{ 2 \cdot 3} =
\displaystyle\frac{\sqrt{2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 3 \cdot 3}}{ 2 \cdot 3} =
\displaystyle\frac{\sqrt{2^2 \cdot 3^3 \cdot 2}}{ 2 \cdot 3} =
\displaystyle\frac{2 \cdot 3\sqrt{2}}{2 \cdot 3} = \sqrt{2}$
- $
\sqrt{45} + \sqrt{20} =
\sqrt{9\cdot5} + \sqrt{4\cdot5} =
\sqrt{3^2\cdot5} + \sqrt{2^2\cdot5} =
3\sqrt{5} + 2\sqrt{5} = (3+2)\sqrt{5} = 5\sqrt{5}
$
-
| $\sqrt{50} + 2\sqrt{3} -\sqrt{32} + \sqrt{27}$ | $=$ | $\sqrt{5 \cdot 10} + 2\sqrt{3} -\sqrt{2 \cdot 16} + \sqrt{3 \cdot 9}$
|
| | $=$ | $\sqrt{5 \cdot 2 \cdot 5} + 2\sqrt{3} -\sqrt{2 \cdot 2 \cdot 8} + \sqrt{3 \cdot 3 \cdot 3}$
|
| | $=$ | $\sqrt{5^2 \cdot 2 } + 2\sqrt{3} -\sqrt{2^2 \cdot 2^2 \cdot 2} + \sqrt{3 \cdot 3^2}$
|
| | $=$ | $5\sqrt{2} +2\sqrt{3} - 2 \cdot 2\sqrt{2} + 3\sqrt{3}$
|
| | $=$ | $(5-4)\sqrt{2} + (2+3)\sqrt{3}$
|
| | $=$ | $\sqrt{2} + 5\sqrt{3}$
|
- $
\displaystyle\frac{ 2\cdot\sqrt[\scriptstyle3]{3} }{ \sqrt[\scriptstyle3]{12} } =
\displaystyle\frac{ 2\cdot\sqrt[\scriptstyle3]{3} }{ \sqrt[\scriptstyle3]{3 \cdot 4} } =
\displaystyle\frac{ 2\cdot\sqrt[\scriptstyle3]{3} }{ \sqrt[\scriptstyle3]{3} \cdot \sqrt[\scriptstyle3]{4} } =
\displaystyle\frac{ 2 }{ \sqrt[\scriptstyle3]{4} } =
\displaystyle\frac{ 2 }{ \sqrt[\scriptstyle3]{2 \cdot 2} } =
\displaystyle\frac{ 2 }{ \sqrt[\scriptstyle3]{2} \cdot \sqrt[\scriptstyle3]{2} } \cdot \displaystyle \frac{\sqrt[\scriptstyle3]{2}} {\sqrt[\scriptstyle3]{2}} =
\displaystyle\frac{ 2\cdot\sqrt[\scriptstyle3]{2} }{ 2 } =
\sqrt[\scriptstyle3]{2}
$
-
$\mbox{ f) } (\sqrt{3} + \sqrt{2})(\sqrt{3} - \sqrt{2}) =
(\sqrt{3})^2-(\sqrt{2})^2 = 3-2 = 1$
$\mbox{ (Konjugatregeln: } (a+b)(a-b) = a^2 - b^2)$
Rationella rotuttryck
När rötter förekommer i ett rationellt uttryck vill man ofta undvika rötter
i nämnaren (eftersom det är svårt vid handräkning att dividera med irrationella tal). Genom att förlänga med $ \sqrt{2} $ kan man
exempelvis göra omskrivningen
$$\displaystyle\frac{1}{\sqrt{2}} = \displaystyle\frac{1\cdot\sqrt{2}}{\sqrt{2}\cdot\sqrt{2}} = \displaystyle\frac{\sqrt{2}}{2}$$
vilket oftast är att föredra.
I andra fall kan man utnyttja konjugatregeln, $ (a+b)(a-b) = a^2 - b^2 $, och förlänga
med nämnarens s.k. konjugerade uttryck. På så sätt försvinner rottecknen från nämnaren, t.ex.
$$
\displaystyle\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{2}+1} =
\displaystyle\frac{\sqrt{3}}{(\sqrt{2}+1)} \cdot \frac{\sqrt{2}-1}{\sqrt{2}-1} =
\displaystyle\frac{\sqrt{3}(\sqrt{2}-1)}{(\sqrt{2}+1)(\sqrt{2}-1)} =
\displaystyle\frac{\sqrt{3} \cdot \sqrt{2} - \sqrt{3} \cdot 1}{ (\sqrt{2})^2 - 1^2 } =
\displaystyle\frac{\sqrt{3 \cdot 2} - \sqrt{3}}{ 2 - 1 } =
\displaystyle\frac{\sqrt{6} - \sqrt{3}}{ 1 } =
\sqrt{6} - \sqrt{3}
$$
Exempel 6
- $
\displaystyle\frac{10\sqrt{3}}{\sqrt{5}} =
\displaystyle\frac{10\sqrt{3}\cdot\sqrt{5}}{\sqrt{5}\cdot\sqrt{5}} =
\displaystyle\frac{10\sqrt{15}}{5} =
2\sqrt{15}
$
- $
\displaystyle\frac{1+\sqrt{3}}{\sqrt{2}} =
\displaystyle\frac{(1+\sqrt{3})\cdot\sqrt{2}}{\sqrt{2}\cdot\sqrt{2}} =
\displaystyle\frac{\sqrt{2}+\sqrt{6}}{2}
$
-
$
\displaystyle\frac{3}{\sqrt{2}-2} =
\displaystyle\frac{3(\sqrt{2}+2)}{(\sqrt{2}-2)(\sqrt{2}+2)} =
\displaystyle\frac{3\sqrt{2}+6}{(\sqrt{2})^2-2^2} =
\displaystyle\frac{3\sqrt{2}+6}{2-4} =
-\displaystyle\frac{3\sqrt{2}+6}{2}
$
-
$(\displaystyle\frac{1}{\sqrt{2}} - \displaystyle\frac{1}{\sqrt{3}})(1+\displaystyle\frac{1}{\sqrt{6}}) =
\displaystyle\frac{1}{\sqrt{2}} + \displaystyle\frac{1}{\sqrt{12}} - \displaystyle\frac{1}{\sqrt{3}}- \displaystyle\frac{1}{\sqrt{18}} =
\displaystyle\frac{1}{\sqrt{2}} + \displaystyle\frac{1}{2\sqrt{3}} - \displaystyle\frac{1}{\sqrt{3}}- \displaystyle\frac{1}{3\sqrt{2}} =$
- $ =\displaystyle\frac{\sqrt{2}}{2} + \displaystyle\frac{\sqrt{3}}{6} - \displaystyle\frac{\sqrt{3}}{3}- \displaystyle\frac{\sqrt{2}}{6} = \displaystyle\frac{3\sqrt{2}}{6} + \displaystyle\frac{\sqrt{3}}{6} -\displaystyle\frac{2\sqrt{3}}{6}- \displaystyle\frac{\sqrt{2}}{6}=\displaystyle\frac{2\sqrt{2} - \sqrt{3}}{6}$
© Copyright 2006, KTH Matematik
| 
