4.1 Vinklar och cirklar

Sommarmatte 1

Version från den 24 april 2007 kl. 11.03; Lina (Diskussion | bidrag)
Hoppa till: navigering, sök

Innehåll

4.1 Vinklar och cirklar

Innehåll:

  • Vinkelmått
  • Avståndsformeln i planet
  • Cirkelns ekvation

Läromål:

Efter detta avsnitt ska du ha lärt dig att:

  • Omvandla mellan grader, radianer och varv
  • Beräkna arean och omkretsen av en cirkelsektor
  • Beräkna avståndet mellan två punkter i planet
  • Skissera cirklar med hjälp av att kvadratkomplettera deras ekvationer
  • Använda begreppen enhetscirkel, tangent, radie, diameter, pereferi, korda och cirkelbåge.
  • Lösa geometriska problem som innehåller cirklar


Övningar

Teori

Vinkelmått

Det finns flera olika enheter för att mäta vinklar, som är praktiska i olika sammanhang. De två vanligaste vinkelmåtten i matematiken är grader och radianer.

  • Grader. Om ett helt varv delas in i 360 delar, så kallas varje del $1$ grad. Beteckningen för grader är $ ^\circ$.

Bild: figur 3.2.1

  • Radianer. Ett annat sätt att mäta vinklar är att omvända längden av vinkelns cirkelbåge i förhållandet till radien som mått på vinkeln. Detta vinkelmått kallas för radian. Ett varv är alltså $2\pi$ radianer eftersom cirkelns omkrets är $2\pi r$, där $r$ är cirkelns radie.

Bild: figurer 3.2.2 och figurer 3.2.3


Ett helt varv är $360^\circ$ eller $2\pi$ radianer och det gör att $$1^\circ = \frac{1}{360} \cdot 2\pi \mbox{ radianer } = \frac{\pi}{180} \mbox{ radianer }$$ $$1 \mbox{ radianer } = \frac{1}{2\pi} \cdot 360^\circ = \frac{180^\circ}{\pi}$$ Dessa omvandlingsfaktorer kan användas för att konvertera mellan grader och radianer.

Exempel 1

  1. $30^\circ = 30 \cdot 1^\circ = 30 \cdot \displaystyle \frac{\pi}{180} \mbox{ radianer } = \displaystyle \frac{\pi}{6} \mbox{ radianer }$

  2. $ \displaystyle \frac{\pi}{8} \mbox {radianer } = \displaystyle \frac{\pi}{8} \cdot (1 \; \mbox{radian }) = \displaystyle \frac{\pi}{8} \cdot \displaystyle \frac{180^\circ}{\pi} = 22,5^\circ$

I en del sammanhang kan det vara meningsfullt att tala om negativa vinklar eller vinklar som är större än $360^\circ$. Då kan man använda att man kan ange samma riktning med flera olika vinklar som skiljer sig från varandra med ett helt antal varv.

Bild: Figur 3.2.4

Exempel 2

Exempeltext, använd nedanstående numrering

  1. Vinklar $-55^\circ$ och $665^\circ$ anger samma riktning eftersom $$-55^\circ + 2 \cdot 360^\circ = 665^\circ \; \mbox{.}$$
  2. Vinklarna $\frac{3\pi}{7}$ och $-\frac{11\pi}{7}$ anger samma riktning eftersom $$\frac{3\pi}{7} - 2\pi = -\frac{11\pi}{7} \; \mbox{.}$$
  3. Vinklarna $36^\circ$ och $216^\circ$ anger inte samma riktning utan motsatta riktningar eftersom $$36^\circ + 180^\circ = 216^\circ \; \mbox{.}$$

Avståndsformlen

Pythagoras sats är en av de mest kända satserna i matematiken och säger att i en rätvinklig triangel med kateter $a$ och $b$ , och hypotenusa $c$ gäller att

$$c^2 = a^2 + b^2 \; \mbox{.}$$

Bild: figur 3.2.5

Exempel 3

Bild: figur 3.2.6

I triangel till höger är $$c^2= 3^2 + 4^2 = 9 +16 = 25$$ och därför är hypotenusan $c$ lika med $$c=\sqrt{25} = 5 \; \mbox{.}$$


Pythagoras sats kan användas för att beräkna avståndet mellan två punkter i ett koordinatsystem.

Avståndsformeln:

Avståndet $d$ mellan två puntker med koordinater $(x, y)$ och $(a, b)$ är $$d = \sqrt{(x – a)^2 + (y – b)^2} $$

Denna formel kallas för avståndsformeln.

Linjestycket mellan punkterna är hypotenusan i en rätvinklig triangel vars kateter är parallella med koordinataxlarna.

Bild: figur 3.2.7

Kateternas längd är lika med beloppet av skillnaden i $x$- och $y$-led mellan punkterna, d.v.s. $|x-a|$ respektive $|y-b|$. Pythagoras sats ger sedan avståndsformeln.

Exempel 4

  1. Avståndet mellan $(1,2)$ och $(3,1)$ är $$d=\sqrt{ (1-3)^2 + (2-1)^2} = \sqrt{(-2)^2 + 1^2} = \sqrt{ 4+1} = \sqrt{5} \; \mbox{.}$$
  2. Avståndet mellan $(-1,0)$ och $(-2,-5)$ är $$d=\sqrt{ (-1-(-2))^2 + (0-(-5))^2} = \sqrt{1^2 + 5^2} = \sqrt{1+25} = \sqrt{26} \; \mbox{.}$$

Interaktivt experiment: Här kan du experimentera med avståndsformeln och Pythagoras sats

Cirklar

En cirkel består av alla punkter som befinner sig på ett visst fixt avstånd $r$ från en punkt $(a,b)$.

Bild:figur 3.2.8

Avståndet $r$ kallan för cirkelns radie och punkten $(a,b)$ för cirkelns medelpunkt. Figuren nedan visar andra viktiga cirkelbegrepp.

Bild:3_2_10.gif

Exempel 5

En cirkelsektor är given i figuren till höger. Bild: figur 3.2.10

  1. Bestäm cirkelbågens längd

    Medelpunktsvinkeln $50^\circ$ blir i radianer $$50^\circ= 50 \cdot 1^\circ = 50 \cdot \frac{\pi}{180} \mbox{ radianer } = \frac{5\pi}{18} \mbox{ radianer. }$$ På det sätt som radianer är definerat betyder detta att cirkelbågens längd är radien multiplicerat med vinkeln mätt i radianer, $$3 \cdot \frac{5\pi}{18} \mbox{ l.e. } = \frac{5\pi}{6} \mbox{ l.e. }$$
  2. Bestäm cirkelsektorns area.

    Cirkelsektorns andel av hela cirkeln är $$\frac{50^\circ}{360^\circ} = \frac{5}{36}$$ och det betyder att dess area är $\frac{5}{36}$ delar av cirkelns area som är $\pi r^2 = \pi 3^2 = 9\pi$, d.v.s. $$\frac{5}{36} \cdot 9\pi \mbox{ a.e. }= \frac{5\pi}{4} \mbox{ a.e. }$$

Bild:3.2.11

En punkt $(x,y)$ ligger på cirkeln som har medelpunkt i $(a,b)$ och radie $r$ om dess avstånd till medelpunkten är lika med $r$. Detta villkor kan formuleras med avståndsformeln som

Cirkelns ekvation: $$(x – a)^2 + (y – b)^2 = r^2$$

och kallas för cirkelns ekvation.

Exempel 6

  1. $(x-1)^2 + (y-2)^2 = 9$ är ekvationen för en cirkel med medelpunkten i $(1,2)$ och radie $\sqrt{9} = 3$.

  2. $x^2 + (y-1)^2 = 1$ kan skriva som $(x-0)^2 + (y-1)^2 = 1$ och är ekvationen för en cirkel med medelpunkten i $(0,1)$ och radie $\sqrt{1} = 1$.

  3. $(x+1)^2 + (y-3)^2 = 5$ kan skrivas som $(x-(-1))^2 + (y-3)^2 = 5$ och är ekvationen för en cirkel med medelpunkten i $(-1,3)$ och radie $\sqrt{5} \approx 2{,}236$.

Bild: figur 3.2-12-14


Några viktiga vinklar som är bra att kunna översätta till utantill mellan grader och radianer.

<img src="ppStdFiles2261/774115.gif" hspace='0' vspace='0' />
Interaktivt experiment: sinus och cosinus i enehtscirkeln (Flash) Omvandlingsfaktorn mellan radianer och grader kan man få ur sambanden 1 varv = $360^\circ$ = $2\pi$ rad 1 rad = $\displaystyle\frac{360^\circ}{2\pi} = \displaystyle\frac{180^\circ}{\pi} \approx 57,295^\circ$

Cirkelsektorer och båglängder

<img src="object49972/bilder/3_2/3_2_04.gif" align="right">Om vi har öppningsvinkeln $\alpha$ för en cirkelsektor kan vi beräkna cirkelsektorns area A och cirkelbågens båglängd b, genom att betrakta dem som en andel av en hel cirkel.

Eftersom en hel cirkel har omkretsen $2\pi r$ och arean $\pi r^2$, får vi

bågens längd utefter cirkelsektorn $= b = \displaystyle\frac{\alpha}{2\pi} 2\pi r = \alpha r$

arean $= A = \displaystyle\frac{\alpha}{2\pi} \pi r^2 = \displaystyle\frac{\alpha r^2}{2}$

Observera att vinkeln $\alpha$ måste anges i radianer för att formlerna skall bli så snygga.




Definition av en cirkel

<img src="object49972/bilder/3_2/3_2_08.gif" align="right">

En cirkel kan definieras som mängden av alla punkter (x, y) som ligger på ett visst avstånd r från en given punkt (a, b). Avståndet r blir då cirkels radie, och punkten (a, b) blir cirkelns medelpunkt. Detta ger med hjälp av avståndsformeln villkoret


$r = \sqrt{(x – a)^2 + (y – b)^2}$.


Detta villkor brukar genom kvadrering skrivas


$(x – a)^2 + (y – b)^2 = r^2$


och kallas för cirkelns ekvation. Cirkeln är alltså mängden av alla punkter $(x, y)$ som uppfyller ekvationen $(x – a)^2 + (y – b)^2 = r^2$ och ligger på avståndet r från punkten $(a, b)$. Om man sätter r = 1 och $(a,b) = (0,0)$ får man en cirkel med radien 1 och medelpunkten i origo. Denna cirkel kallas enhetscirkeln. Enhetscirkeln är ett viktigt hjälpmedel i många sammanhang, t.ex. när man arbetar med trigonometriska funktioner.



Några fakta om cirklar

  • Arean av en cirkel med radie $r$ är $\pi r^2$.
  • Omkretsen av en cirkel med radie $r$ är $2\pi r$.
  • Radien är avståndet från cirkelns medelpunkt till en punkt på periferin.
  • Några andra viktiga geometriska begrepp för cirkeln visas i figuren



Några viktiga begrepp


<img src="object49972/bilder/3_2/3_2_10.gif">

Det är inte alltid helt enkelt att känna igen ekvationen för en cirkel. Med hjälp av kvadratkomplettering (tidigare presenterat i avsnitt 2.3) kan man skriva ekvationen på så kallad standardform, där går det direkt att avläsa cirkelns radie och medelpunkt.


Exempel 1

Skissera cirkeln $ x^2 + y^2 = 4$

Lösning:

Vi jämför den aktuella cirkeln med cirkelns ekvation. $(x-x_0)^2+(y-y_0)^2=r^2$ Vi ser att i vårt fall är $x_0=0$ och $y_0=0$ Detta betyder alltså att cirkeln har sin medelpunkt i $(0,0)$ dvs i origo. Radien på cirkeln går att avläsa ur högerledet: $r = \sqrt {r^2} = \sqrt 4 = 2$ Med denna information kan vi skissera cirkeln enligt nedan.<p align="center"><img src="ppStdFiles2261/766791.gif" hspace='0' vspace='0' />


Exempel 2

Bestäm medelpunkten för den cirkel vars ekvation är $x^2 + y^2 – 2x + 4y + 1 = 0$.


Lösning:

Vi försöker skriva om på normalformen av cirkelns ekvation, $(x-x_0)^2+(y-y_0)^2=r^2$, där $(x_0,y_0)$ är centrum och $r$ är radien.


Vi utgår från de termer som innehåller $x\;$, nämligen $\; x^2-2x$


och skriver om den m.h.a. andra kvadreringsregeln,


$ a^2-2ab+b^2=(a-b)^2 $


Vi identifierar $ a=x $ och $ b=1 $ vilket ger $ b^2=1 $, vi har då


$ x^2-2x=(x-1)^2-1 $


På samma sätt får vi för termerna $ y^2 + 4y $


$ y^2+4y=(y+2)^2-4 $


Vår ursprungliga ekvation $ x^2+y^2-2x+4y+1=0 $ kan då skrivas som


$ (x-1)^2-1+(y+2)^2-4+1=0 $


vilket förenklas till


$ (x-1)^2 + (y+2)^2 = 4 $


Vi jämför med cirkelns ekvation på normalform och identifierar medelpunkten $ (x_0,y_0)=(1,-2) $ samt radien $ \sqrt{4}=2 $ .


Denna information behövs om du vill rita figuren, utgå då från medelpunkt och radie enligt ovan.<p align="center"><img src="ppStdFiles2261/766790.gif" hspace='0' vspace='0' />


Svar: medelpunkten är $ (1,-2) $


Råd för inläsning

Tänk på att:

Lär dig att använda enhetscirkeln som ett verktyg i det trigonometriska arbetet. Avläsningar i enhetscirkeln ger dig viktiga upplysningar om diverse samband.


Lästips

för dig som vill fördjupa dig ytterligare eller behöver en längre förklaring vill vi tipsa om:

Sammanfattning av Geometri B ur Theducations gymnasielexikon

Läs mer om Pythagoras sats på svenska Wikipedia

Läs mer i Mathworld om cirkeln


Länktips

Experimentera med Randvinkelsatsen

Experimentera med Pythagoras sats

Experimentera med vinkelsumman i en fyrhörning


© Copyright 2006, KTH Matematik




Den här artikeln är hämtad från http://wiki.math.se/wikis/sf0600_0701/index.php/4.1_Vinklar_och_cirklar
Personliga verktyg