4.3 Trigonometriska samband

Övningar

Teori

Det finns en mängd trigonometriska samband, med vilka man kan översätta mellan sinus-, cosinus- och tangens-värden för en vinkel eller multiplar av en vinkel. Dessa brukar också kallas trigonometriska identiteter, eftersom de endast är olika sätt att beskriva ett och samma uttryck med hjälp av olika trigonometriska funktioner. Här kommer vi att beskriva några av dessa trigonometriskan samband. Det finns många fler än vi kan behandla här. De flesta kan härledas utifrån den s k trigonometriska ettan och additionsformlerna (se nedan), vilka är viktiga att kunna utantill.

Trigometriska ettan

Detta samband är det mest grundläggande, men är i själva verket ingenting annat än Pythagoras sats, tillämpad i enhetscirkeln. Den rätvinkliga triangeln (blå) nedan visar att

$(\sin v)^2 + (\cos v)^2 = 1$,

vilket brukar skrivas $ \sin^2 v + \cos^2 v = 1$.

Symmetrier

Med hjälp av enhetscirkeln och spegling kan man tack vare de trigonometriska funktionernas symmetrier hitta en stor mängd samband mellan cosinus och sinus.

Istället för att försöka lära sig alla dessa samband utantill kan det vara bättre att lära sig härleda dem i enhetscirkeln.

Spegling i $x$-axeln

När en vinkel $v$ speglas i $x$-axeln blir den $-v$.

Speglingen påverkar inte $x$-koordinaten medan $y$-koordinaten byter tecken $$\cos(-v) = \cos v$$ $$\sin (-v) = - \sin v$$

Spegling i linjen $y=x$

För att spegla i x-axeln kan vi byta ut en positiv vinkel v mot en negativ –v. Detta ger oss följande samband:

Funktioner som har samma värde oavsett argumentets tecken kallas jämna funktioner. För jämna funktioner gäller $f(-x) = f(x)$. Vi ser att cosinus är en jämn funktion. En annan jämn funktion är $f(x) = x^2$.

Funktioner som byter tecken men har samma absolutbelopp, om argumentet byter tecken, kallas udda funktioner.

För udda funktioner gäller $f(-x) = - f(x)$. Sinus är en udda funktion. En annan udda funktion är $f(x) = x$. Men många funktioner saknar sådana symmetrier, och är varken udda eller jämna. Exempel: $f(x) = x + 1,\; f(x) = e^x$ etc.

Vi kan studera flera symmetrier med hjälp av speglingar. För att spegla i y-axeln kan vi byta ut argumentet v mot $\pi – v$. Då ser vi följande samband:

För att spegla i linjen y=x kan vi byta ut argumentet v mot $\displaystyle\frac{\pi}{2} – v$. Detta ger oss:

<img src="ppStdFiles2261/766669.gif" hspace='0' vspace='0' />
Kontroll: $\cos 0 = \sin (0 + \pi / 2)$

Additions- och subtraktionsformlerna och formler för dubbla vinkeln

Ofta behöver man behandla uttryck där två eller flera vinklar är inblandade, t.ex. $\sin(u+v)$. Man behöver då de s.k. additionsformlerna. För sinus och cosinus ser de ut så här:

$\qquad\qquad\sin(u + v) = \sin u\,\cos v + \cos u\,\sin v$

$\qquad\qquad\sin(u – v) = \sin u\,\cos v – \cos u\,\sin v$

$\qquad\qquad\cos(u + v) = \cos u\,\cos v – \sin u\,\sin v$

$\qquad\qquad\cos(u – v) = \cos u\,\cos v + \sin u\,\sin v$

Om man vill veta sinus eller cosinus för dubbla vinkeln, dvs $\sin 2v$ eller $\cos 2v$, så kan man genom att skriva $\sin(v + v)$ eller $\cos(v + v)$ och använda additionsformlerna ovan få följande formler för dubbla vinkeln:

$\qquad\qquad\sin 2v = 2 \sin v \cos v$,

$\qquad\qquad\cos 2v = \cos^2 v – \sin^2 v$.

Ur detta kan vi få formler för halva vinkeln. Genom att byta ut 2v mot v, och följdaktligen v mot v / 2, i formeln för $\cos 2v$ får vi

$\qquad\qquad\displaystyle\cos v = \cos^2 \frac{v}{2} – \sin^2 \frac{v}{2}$.

Vill vi ha en formel för $\displaystyle\sin\frac{v}{2}$ så använder vi sedan den trigonometriska ettan för att bli av med $\displaystyle\cos^2\frac{v}{2}$

$\qquad\qquad\displaystyle\cos v = 1 – \sin^2 \frac{v}{2} – \sin^2\frac{v}{2} = 1 – 2\sin^2 \frac{v}{2} $

d.v.s.

$\qquad\qquad\displaystyle \sin^2\frac{v}{2} = \frac{1 – \cos v}{2}$.

På motsvarande sätt kan vi med trigonometriska ettan göra oss av med $\displaystyle\sin^2\frac{v}{2}$. Då får vi istället

$\qquad\qquad\displaystyle\cos^2\frac{v}{2} = \frac{1 + \cos v}{2}$.

© Copyright 2006, KTH Matematik