4.3 Trigonometriska samband
Sommarmatte 1
4.3 Trigonometriska sambandInnehåll:
Läromål: Efter detta avsnitt ska du ha lärt dig att:
|
|||||||||||||||||||||||||||
TeoriDet finns en mängd trigonometriska samband, med vilka man kan översätta mellan sinus-, cosinus- och tangens-värden för en vinkel eller multiplar av en vinkel. Dessa brukar också kallas trigonometriska identiteter, eftersom de endast är olika sätt att beskriva ett och samma uttryck med hjälp av olika trigonometriska funktioner. Här kommer vi att beskriva några av dessa trigonometriskan samband. Det finns många fler än vi kan behandla här. De flesta kan härledas utifrån den s k trigonometriska ettan och additionsformlerna (se nedan), vilka är viktiga att kunna utantill.
 Trigometriska ettanDetta samband är det mest grundläggande, men är i själva verket ingenting annat än Pythagoras sats, tillämpad i enhetscirkeln. Den rätvinkliga triangeln till vänster visar att $(\sin v)^2 + (\cos v)^2 = 1$, vilket brukar skrivas $ \sin^2 v + \cos^2 v = 1$.
SymmetrierMed hjälp av enhetscirkeln och spegling kan man tack vare de trigonometriska funktionernas symmetrier hitta en stor mängd samband mellan cosinus och sinus.
Istället för att försöka lära sig alla dessa samband utantill kan det vara bättre att lära sig härleda dem i enhetscirkeln. Spegling i $x$-axeln
Additions- och subtraktionsformlerna och formler för dubbla vinkelnOfta behöver man behandla uttryck där två eller flera vinklar är inblandade, t.ex. $\sin(u+v)$. Man behöver då de s.k. additionsformlerna. För sinus och cosinus ser de ut så här: $$\sin(u + v) = \sin u\,\cos v + \cos u\,\sin v$$ $$\sin(u – v) = \sin u\,\cos v – \cos u\,\sin v$$ $$\cos(u + v) = \cos u\,\cos v – \sin u\,\sin v$$ $$\cos(u – v) = \cos u\,\cos v + \sin u\,\sin v$$ Om man vill veta sinus eller cosinus för dubbla vinkeln, dvs $\sin 2v$ eller $\cos 2v$, så kan man genom att skriva $\sin(v + v)$ eller $\cos(v + v)$ och använda additionsformlerna ovan få följande formler för dubbla vinkeln: $$\sin 2v = 2 \sin v \cos v \; \mbox{,}$$ $$\cos 2v = \cos^2 v – \sin^2 v \; \mbox{.}$$ Ur detta kan vi få formler för halva vinkeln. Genom att byta ut $2v$ mot $v$, och följdaktligen $v$ mot $v/2$, i formeln för $\cos 2v$ får vi $$\cos v = \cos^2 \frac{v}{2} – \sin^2 \frac{v}{2}$$ Vill vi ha en formel för $\displaystyle\sin\frac{v}{2}$ så använder vi sedan den trigonometriska ettan för att bli av med $\displaystyle\cos^2\frac{v}{2}$ $$\cos v = 1 – \sin^2 \frac{v}{2}\, – \sin^2\frac{v}{2} = 1 – 2\sin^2 \frac{v}{2}$$ d.v.s. $$ \sin^2\frac{v}{2} = \frac{1 – \cos v}{2}$$ På motsvarande sätt kan vi med trigonometriska ettan göra oss av med $\displaystyle\sin^2\frac{v}{2}$. Då får vi istället $$\cos^2\frac{v}{2}= \frac{1 + \cos v}{2}$$
Råd för inläsning Tänk på att: Enhetscirkeln är ett ovärderligt hjälpmedel för att hitta trigonometriska samband. Sådana finns det gott om och det är ingen idé att försöka lära sig alla utantill. Det är också tidsödande att behöva slå upp och leta fram dem hela tiden. Därför är det mycket bättre att du lär dig använda enhetscirkeln. Den allra mest kända trigonometriska formeln är den s k trigonometriska ettan. Den gäller för alla vinklar, inte bara för spetsiga. Den hänger ihop med Pythagoras sats.
för dig som vill fördjupa dig ytterligare eller behöver en längre förklaring vill vi tipsa om: Läs mer om trigonometriska formler i Theducations gymnasielexikon Läs mer om area-, sinus och cosinussatserna i Theducations gymnasielexikon Läs mer om trigonometri i Bruno Kevius matematiska ordlista
|
|
