Exempel 1

1. Lös ekvationen $x+3=7$.
   
   Subtrahera $3$ från båda led
   

   $x+3-3=7-3$.
   

   Vänsterledet förenklas då till $x$ och vi får att
   

   $x=7-3=4.$
   
   

2. Lös ekvationen $3x=6$.
   
   Dividera båda led med $3$
   

   $\displaystyle\frac{3x}{3} = \frac{6}{3}\,$.
   

   Efter att ha förkortat bort $3$ i vänsterledet har vi att
   

   $\displaystyle x=\frac{6}{3} = 2$.
   
   

3. Lös ekvationen $2x+1=5$
   
   Först subtraherar vi båda led med $1$ för att få $2x$ ensamt i vänsterledet
   

   $2x=5-1$.
   

   Sedan dividerar vi båda led med $2$ och får svaret
   

   $\displaystyle x = \displaystyle\frac{4}{2}$.
   

Exempel 2

Lös ekvationen $\,2x-3=5x+7$.

Eftersom $x$ förekommer både i vänster- och högerledet subtraherar vi $2x$ från båda led $$2x-3-2x=5x+7-2x$$ och får $x$ samlat i högerledet $$-3 = 3x+7 \; \mbox{.}$$ Nu subtraherar vi 7 från båda led $$-3 -7 = 3x +7-7$$ och får $3x$ ensamt kvar i högerledet $$-10=3x\,\mbox{.}$$ Det sista steget är att dividera båda led med $3$ $$\frac{-10}{3} = \frac{3x}{3}$$ och detta ger att $$x=-\frac{10}{3}\,\mbox{.}$$

Exempel 3

Lös ut $x$ från ekvationen $ax+7=3x-b$.

Genom att subtrahera båda led med $3x$ $$ax+7-3x=3x-b-3x$$ $$ax+7-3x=b$$ och sedan med $7$ $$ax+7-3x -7=b-7$$ $$ax-3x=b-7$$ har vi samlat alla termer som innehåller $x$ i vänsterledet och övriga termer i högerledet. Eftersom termerna i vänsterledet har $x$ som en gemensam faktor kan $x$ brytas ut $$(a-3)x = b-7\; \mbox{.}$$ Dividera båda led med $a-3$ $$x= \displaystyle \frac{b-7}{a-3}\; \mbox{.}$$

Exempel 4

Lös ekvationen $\ (x-3)^2+3x^2=(2x+7)^2$.

Utveckla kvadratuttrycken i båda leden $$x^2-6x+9+3x^2=4x^2+28x+49$$ $$4x^2-6x+9=4x^2+28x+49$$ Subtrahera $4x^2$ från båda led $$-6x +9 = 28x +49\; \mbox{.}$$ Addera $6x$ till båda led $$9 = 43x +49\; \mbox{.}$$ Subtrahera $49$ från båda led $$-40=34x\; \mbox{.}$$ Dividera båda led med $34$ $$x=\displaystyle \frac{-40}{34}= -\displaystyle \frac{20}{17}\; \mbox{.}$$

Exempel 5

Lös ekvationen $\displaystyle\ \frac{x+2}{x^2+x}=\displaystyle \frac{3}{2+3x}$.

Flytta över båda termerna i ena ledet $$\displaystyle \frac{x+2}{x^2+x}-\frac{3}{2+3x}= 0\; \mbox{.}$$ Förläng termerna så att de får samma nämnare $$\displaystyle \frac{(x+2)(2+3x)}{(x^2+x)(2+3x)}-\frac{3(x^2+x)}{(2+3x)(x^2+x)}= 0$$ och förenkla täljaren $$\displaystyle \frac{(x+2)(2+3x)-3(x^2+x)}{(x^2+x)(2+3x)} = 0,$$ $$\displaystyle \frac{3x^2+8x+4-(3x^2+3x)}{(x^2+x)(2+3x)} = 0,$$ $$\displaystyle \frac{5x +4}{(x^2+x)(2+3x)} = 0.$$ Denna ekvation är uppfylld bara när täljaren är lika med noll (samtidigt som nämnaren inte är lika med noll), $$5x+4=0$$ vilket ger att $\,x=-\displaystyle \frac{5}{4}$.

Exempel 6

1. Skissera linjen $y=2x-1$.
   
   Jämför vi linjens ekvation med $\,y=kx+m\,$ så ser vi att $k=2$ och $m=-1$. Detta betyder att linjens riktningskoefficient är $2$ och att den skär $y$-axeln i punkten $(0,-1)$. Se figuren till vänster nedan.
   
   
2. Skissera linjen $y=2-\frac{1}{2}x$.
   
   Linjens ekvation kan skrivas som $y= -\frac{1}{2}x + 2$ och då ser vi att dess riktningskoefficient är $\,k= -\frac{1}{2}\,$ och att $\,m=2$. Se figuren nedan till höger.

Bild: figur 3.1.3a och figur 3.1.4a

Exempel 7

Vilken riktningskoefficient har den räta linje som går genom punkterna $(2,1)$ och $(5,3)$?

Ritar vi upp punkterna och linjen i ett koordinatsystem så ser vi att $\,5-2=3\,$ steg i $x$-led motsvaras av $\,3-1=2\,$ steg i $y$-led på linjen. Det betyder att $1$ steg i $x$-led måste motsvaras av $\,k=\frac{3-1}{5-2}= \frac{2}{3}\,$ steg i $y$-led. Alltså är linjens riktningskoefficient $\,k= \frac{2}{3}$.

Bild: figur 3.1.5a och 3.1.6a

Exempel 8

1. Linjerna $\,y=3x-1\,$ och $\,y=3x+5\,$ är parallella.
2. Linjerna $\,y=x+1\,$ och $\,y=2-x\,$ är vinkelräta.

Exempel 9

1. Skriv linjen $\,y=5x+7\,$ i formen $\,ax+by=c$.
   
   Flytta över $x$-termen till vänsterledet $\ -5x+y=7\,$.
2. Skriv linjen $\,2x+3y=-1\,$ i formen $\,y=kx+m$.
   
   Flytta över $x$-termen i högerledet $\ 3y=5x+7\ $ och dela båda led med $3$ $$y=\frac{5}{3}x + \frac{7}{3}\,\mbox{.}$$

Exempel 10

1. Skissera området i $x,y$-planet som uppfyller $y\ge2$.
   
   Området ges av alla punkter $(x,y)$ vars $y$-koordinat är $2$ eller större, d.v.s. alla punkter på eller ovanför linjen $y=2$.
   
   
   
   
2. Skissera området i $x,y$-planet som uppfyller $y<x$.
   
   En punkt $(x,y)$ som uppfyller olikheten $y<x$ har en $x$-koordinat som är större än dess $y$-koordinat. Området består alltså av alla punkter till höger om linjen $y=x$.
   Bild:T 3 1 4c
   Bildtext: Att linjen $y=x$ är streckad betyder att punkterna på linjen inte tillhör det grågrönfärgade området.

Exempel 11

Skissera området i $x,y$-planet som uppfyller $2 \le 3x+2y\le 4$.

Den dubbla olikheten kan delas upp i två olikheter

$$3x+2y \ge 2 \quad \mbox{och} \quad 3x+2y\le4 \;\mbox{.}$$

Flyttar vi över $x$-termerna till högerledet och delar båda led med $2$ får vi

$$y \ge 1-\frac{3}{2}x \quad \mbox{och} \quad y\le 2-\frac{3}{2}x \;\mbox{.}$$

De punkter som uppfyller den första olikheten ligger på och ovanför linjen $\,y \ge 1-\frac{3}{2}x\,$ medan de punkter som uppfyller den andra olikheten ligger på eller under linjen $y\le 2-\frac{3}{2}x$.

Bild:T 3 1 1c Bild:T 3 1 2c

Punkter som uppfyller båda olikheterna tillhör det bandformade område som de gråa områdena ovan har gemensamt.

Bild:T 3 1 3c

Exempel 12

Om vi ritar upp linjerna $\,y=x$, $\,y=-x\,$ och $\,y=2\,$ så begränsar dessa linjer en triangel, i koordinatsystemet.

Vi upptäcker att för att en punkt skall ligga i denna triangel så måste vi sätta en del krav på den.

Vi ser att dess $y$-koordinat måste vara mindre än $2$. Samtidigt ser vi att triangeln nedåt begränas av $ y=0$.

$y$-koordinaten måste således ligga i intervallet $ 0\le y\le2$.

För $x$-koordinaten blir det lite mer komplicerat. Vi ser att $x$-koordinaten måste ligga ovanför linjerna $y=-x \mbox{ och } y=x$. Vi ser att detta är uppfyllt då $-y\le x\le y$.

Eftersom vi redan har begränsningar för $y$-koordinaten så ser vi att $x$ inte kan vara större än $2$ och mindre än $-2$ automatiskt.

Vi ser att basen i triangeln blir $4$ längdenheter och höjden $2$ längdenheter.

Arean av denna triangel blir alltså $ 4\cdot 2/2=4$areaenheter.