4.1 Vinklar och cirklar

Sommarmatte 1

Version från den 15 maj 2007 kl. 16.18; Mikael (Diskussion | bidrag)

(skillnad) ← Äldre version | Nuvarande version (skillnad) | Nyare version → (skillnad)

Hoppa till: navigering, sök

Innehåll:

Olika vinkelmått (grader, radianer och varv)
Pythagoras sats
Avståndsformeln i planet
Cirkelns ekvation

Lärandemål:

Efter detta avsnitt ska du ha lärt dig att:

Omvandla mellan grader, radianer och varv.
Beräkna arean och omkretsen av cirkelsektorer.
Känna till begreppen katet, hypotenusa och rätvinklig triangel.
Formulera och använda Pythagoras sats.
Beräkna avståndet mellan två punkter i planet.
Skissera cirklar med hjälp av att kvadratkomplettera deras ekvationer.
Känna till begreppen enhetscirkel, tangent, radie, diameter, periferi, korda och cirkelbåge.
Lösa geometriska problem som innehåller cirklar.

Övningar

Teori

Vinkelmått

Det finns flera olika enheter för att mäta vinklar, som är praktiska i olika sammanhang. De två vanligaste vinkelmåtten i matematiken är grader och radianer.

Grader. Om ett helt varv delas in i 360 delar, så kallas varje del 1 grad. Beteckningen för grader är ^\circ.

Radianer. Ett annat sätt att mäta vinklar är att använda längden av vinkelns cirkelbåge i förhållande till radien som mått på vinkeln. Detta vinkelmått kallas för radian. Ett varv är alltså \,2\pi\, radianer eftersom cirkelns omkrets är \,2\pi r\,, där \,r\, är cirkelns radie.

Ett helt varv är \,360^\circ\, eller \,2\pi\, radianer och det gör att

\eqalign{&1^\circ = \frac{1}{360} \cdot 2\pi\ \mbox{ radianer } = \frac{\pi}{180}\ \mbox{ radianer,}\cr &1\ \mbox{ radian } = \frac{1}{2\pi} \cdot 360^\circ = \frac{180^\circ}{\pi}\,\mbox{.}}

Dessa omvandlingsfaktorer kan användas för att konvertera mellan grader och radianer.

Exempel 1

30^\circ = 30 \cdot 1^\circ = 30 \cdot \displaystyle \frac{\pi}{180}\ \mbox{ radianer } = \displaystyle \frac{\pi}{6}\ \mbox{ radianer }
\displaystyle \frac{\pi}{8}\ \mbox { radianer } = \displaystyle \frac{\pi}{8} \cdot (1 \; \mbox{radian}\,) = \displaystyle \frac{\pi}{8} \cdot \displaystyle \frac{180^\circ}{\pi} = 22{,}5^\circ

I en del sammanhang kan det vara meningsfullt att tala om negativa vinklar eller vinklar som är större än 360°. Då kan man använda att man kan ange samma riktning med flera olika vinklar som skiljer sig från varandra med ett helt antal varv.

Exempel 2

Vinklarna \,-55^\circ\, och \,665^\circ\, anger samma riktning eftersom
-55^\circ + 2 \cdot 360^\circ = 665^\circ\,\mbox{.}
Vinklarna \,\displaystyle\frac{3\pi}{7}\, och \,-\displaystyle\frac{11\pi}{7}\, anger samma riktning eftersom
\frac{3\pi}{7} - 2\pi = -\frac{11\pi}{7}\,\mbox{.}
Vinklarna \,36^\circ\, och \,216^\circ\, anger inte samma riktning utan motsatta riktningar eftersom
36^\circ + 180^\circ = 216^\circ\,\mbox{.}

Avståndsformeln

Pythagoras sats är en av de mest kända satserna i matematiken och säger att i en rätvinklig triangel med kateter \,a\, och \,b\,, och hypotenusa \,c\, gäller att

Pythagoras sats:

c^2 = a^2 + b^2\,\mbox{.}

Exempel 3

I triangeln till höger är

c^2= 3^2 + 4^2 = 9 +16 = 25

och därför är hypotenusan \,c\, lika med

c=\sqrt{25} = 5\,\mbox{.}

Pythagoras sats kan användas för att beräkna avståndet mellan två punkter i ett koordinatsystem.

Avståndsformeln:

Avståndet \,d\, mellan två punkter med koordinater \,(x, y)\, och \,(a, b)\, är

d = \sqrt{(x – a)^2 + (y – b)^2}\,\mbox{.}

Linjestycket mellan punkterna är hypotenusan i en rätvinklig triangel vars kateter är parallella med koordinataxlarna.

Kateternas längd är lika med beloppet av skillnaden i x- och y-led mellan punkterna, dvs. |x-a| respektive |y-b|. Pythagoras sats ger sedan avståndsformeln.

Exempel 4

Avståndet mellan \,(1,2)\, och \,(3,1)\, är
d=\sqrt{ (1-3)^2 + (2-1)^2} = \sqrt{(-2)^2 + 1^2} = \sqrt{ 4+1} = \sqrt{5}\,\mbox{.}
Avståndet mellan \,(-1,0)\, och \,(-2,-5)\, är
d=\sqrt{ (-1-(-2))^2 + (0-(-5))^2} = \sqrt{1^2 + 5^2} = \sqrt{1+25} = \sqrt{26}\,\mbox{.}

Cirklar

En cirkel består av alla punkter som befinner sig på ett visst fixt avstånd \,r\, från en punkt \,(a,b)\,.

Avståndet \,r\, kallas för cirkelns radie och punkten \,(a,b)\, för cirkelns medelpunkt. Figuren nedan visar andra viktiga cirkelbegrepp.

Exempel 5

En cirkelsektor är given i figuren till höger.

Bestäm cirkelbågens längd.

Medelpunktsvinkeln \,50^\circ\, blir i radianer
50^\circ= 50 \cdot 1^\circ = 50 \cdot \frac{\pi}{180}\ \mbox{ radianer } = \frac{5\pi}{18}\ \mbox{ radianer. }
På det sätt som radianer är definierat betyder detta att cirkelbågens längd är radien multiplicerat med vinkeln mätt i radianer,
3 \cdot \frac{5\pi}{18}\ \mbox{ l.e. } = \frac{5\pi}{6}\ \mbox{ l.e. }
Bestäm cirkelsektorns area.

Cirkelsektorns andel av hela cirkeln är
\frac{50^\circ}{360^\circ} = \frac{5}{36}
och det betyder att dess area är \,\frac{5}{36}\, delar av cirkelns area som är \,\pi r^2 = \pi 3^2 = 9\pi\,, dvs.
\frac{5}{36} \cdot 9\pi\ \mbox{ a.e. }= \frac{5\pi}{4}\ \mbox{ a.e. }

En punkt \,(x,y)\, ligger på cirkeln som har medelpunkt i \,(a,b)\, och radie \,r\, om dess avstånd till medelpunkten är lika med \,r\,. Detta villkor kan formuleras med avståndsformeln som

Cirkelns ekvation:

(x – a)^2 + (y – b)^2 = r^2\,\mbox{.}

Exempel 6

(x-1)^2 + (y-2)^2 = 9\quad är ekvationen för en cirkel med medelpunkt i \,(1,2)\, och radie \,\sqrt{9} = 3\,.
x^2 + (y-1)^2 = 1\quad kan skrivas som \,(x-0)^2 + (y-1)^2 = 1\, och är ekvationen för en cirkel med medelpunkt i \,(0,1)\, och radie \,\sqrt{1} = 1\,.
(x+1)^2 + (y-3)^2 = 5\quad kan skrivas som \,(x-(-1))^2 + (y-3)^2 = 5\, och är ekvationen för en cirkel med medelpunkt i \,(-1,3)\, och radie \,\sqrt{5} \approx 2{,}236\,.

Exempel 7

Ligger punkten \,(1,2)\, på cirkeln \,(x-4)^2 +y^2=13\,?

Stoppar vi in punktens koordinater \,x=1\, och \,y=2\, i cirkelns ekvation har vi att
\mbox{VL }= (1-4)^2+2^2 =(-3)^2+2^2=9+4=13= \mbox{ HL}\,\mbox{.}
Eftersom punkten uppfyller cirkelns ekvation ligger punken på cirkeln.
Bestäm ekvationen för cirkeln som har medelpunkt i \,(3,4)\, och innehåller punkten \,(1,0)\,.

Eftersom punkten \,(1,0)\, ska ligga på cirkeln måste cirkelns radie vara lika med avståndet från \,(1,0)\, till medelpunkten \,(3,4)\,. Avståndsformeln ger att detta avstånd är
c=\sqrt{(3-1)^2 + (4-0)^2 }= \sqrt{4 +16} = \sqrt{20} \, \mbox{.}
Cirkelns ekvation är därför
(x-3)^2 + (y-4)^2 = 20 \; \mbox{.}