4.2 Övningar
Sommarmatte 1
Övning 4.2:1
Bestäm längden av sidan som är markerad med $\,x\,$ uttryckt med hjälp av de trigonometriska funktionerna.
| a) |  |
b) |  |
| c) |  |
d) |  |
| e) |  |
f) |  |
Facit till alla delfrågor
| a) | $x=13\cdot\tan {27 ^\circ} \approx 6{,}62$ | b) | $x=25\cdot\cos {32 ^\circ} \approx 21{,}2$ |
| c) | $x=\displaystyle\frac{14}{\tan {40 ^\circ}} \approx 16{,}7$ | d) | $x=\displaystyle\frac{16}{\cos {20 ^\circ}} \approx 17{,}0$ |
| e) | $x=\displaystyle\frac{11}{\sin {35 ^\circ}} \approx 19{,}2$ | f) | $x=\displaystyle\frac{19}{\tan {50 ^\circ}} \approx 15{,}9$ |
Lösning till delfråga a)
|
|
Lösning till delfråga b)
|
|
Lösning till delfråga c)
|
|
|
|
Lösning till delfråga d)
|
|
Lösning till delfråga e)
|
|
Lösning till delfråga f)
|
|
Övning 4.2:2
Bestäm en trigonometrisk ekvation som vinkeln $\,v\,$ uppfyller.
| a) |  |
b) |  |
| c) |  |
d) |  |
| e) |  |
f) |  |
Facit till alla delfrågor
| a) | $\tan v=\displaystyle\frac{2}{5}$ | b) | $\sin v=\displaystyle\frac{7}{11}$ |
| c) | $\cos v=\displaystyle\frac{5}{7}$ | d) | $\sin v=\displaystyle\frac{3}{5}$ |
| e) | $v=30 ^\circ$ | f) | $\sin \displaystyle\frac{v}{2}=\displaystyle\frac{1}{3}$ |
Lösning till delfråga a)
|
|
Lösning till delfråga b)
|
|
Lösning till delfråga c)
|
|
Lösning till delfråga d)
|
|
Lösning till delfråga e)
|
|
Lösning till delfråga f)
|
|
Övning 4.2:3
Bestäm
| a) | $\sin{\left(-\displaystyle \frac{\pi}{2}\right)}$ | b) | $\cos{2\pi}$ | c) | $\sin{9\pi}$ |
| d) | $\cos{\displaystyle \frac{7\pi}{2}}$ | e) | $\sin{\displaystyle \frac{3\pi}{4}}$ | f) | $\cos{\left(-\displaystyle \frac{\pi}{6}\right)}$ |
Facit till alla delfrågor
| a) | $-1$ | b) | $1$ | c) | $0$ |
| d) | $0$ | e) | $\displaystyle \frac{1}{\sqrt{2}}$ | f) | $\displaystyle \frac{\sqrt{3}}{2}$ |
Lösning till delfråga a)
|
|
Lösning till delfråga b)
|
|
Lösning till delfråga c)
|
|
Lösning till delfråga d)
|
|
Lösning till delfråga e)
|
|
|
|
Lösning till delfråga f)
|
|
|
|
Övning 4.2:4
Bestäm
| a) | $\cos{\displaystyle \frac{11\pi}{6}}$ | b) | $\cos{\displaystyle \frac{11\pi}{3}}$ | c) | $\tan{\displaystyle \frac{3\pi}{4}}$ |
| d) | $\tan{\pi}$ | e) | $\tan{\displaystyle \frac{7\pi}{6}}$ | f) | $\tan{\left(-\displaystyle \frac{5\pi}{3}\right)}$ |
Facit till alla delfrågor
| a) | $\displaystyle \frac{\sqrt{3}}{2}$ | b) | $\displaystyle \frac{1}{2}$ | c) | $-1$ |
| d) | $0$ | e) | $\displaystyle \frac{1}{\sqrt{3}}$ | f) | $\sqrt{3}$ |
Lösning till delfråga a)
|
|
Lösning till delfråga b)
|
|
|
|
Lösning till delfråga c)
|
|
Lösning till delfråga d)
|
|
Lösning till delfråga e)
|
|
Lösning till delfråga f)
|
|
Övning 4.2:5
Bestäm
| a) | $\cos{135^\circ}$ | b) | $\tan{225^\circ}$ | c) | $\cos{330^\circ}$ | d) | $\tan{495^\circ}$ |
Facit till alla delfrågor
| a) | $-\displaystyle \frac{1}{\sqrt{2}}$ | b) | $1$ | c) | $\displaystyle \frac{\sqrt{3}}{2}$ | d) | $-1$ |
Lösning till delfråga a)
|
|
Lösning till delfråga b)
|
|
Lösning till delfråga c)
|
|
Lösning till delfråga d)
|
|
Övning 4.2:6
Bestäm längden av sidan som är markerad med $\,x\,$.
 |
| $x= \sqrt{3}-1$ |
|
|
Övning 4.2:7
För att mäta upp bredden av en älv mäter vi från två punkter A och B längs den ena raka stranden vinkeln till ett träd C på motsatt sida älven. Hur bred är älven om måtten i figuren gäller?
| Bild:O4 2 7.gif |
| Älvens bredd är $\ \displaystyle\frac{100}{\sqrt{3}-1}$ m $\approx 136{,}6$ m. |
|
|
|
|
Övning 4.2:8
En stång med längd $\,\ell\,$ är upphängd i två linor med längd $\,a\,$ resp. $\,b\,$ enligt figuren. Linorna bildar vinklar $\,\alpha\,$ resp. $\,\beta\,$ med vertikalen. Bestäm en trigonometrisk ekvation för vinkeln $\,\gamma\,$ som stången bildar med vertikalen.
| Bild:O4 2 8.gif |
| $\ell\cos \gamma=a \cos \alpha - b\cos \beta $ |
|
|
|
|
Övning 4.2:9
Bilvägen från A till B består av tre rätlinjiga delar AP, PQ och QB, vilka är 4,0 km, 12,0 km respektive 5,0 km. De i figuren markerade vinklarna vid P och Q är 30° respektive 90°. Beräkna avståndet fågelvägen från A till B. (Uppgiften är hämtad ur Centrala provet i matematik, november 1976, men aningen modifierad.)
 |
| Avståndet är $\ \sqrt{205-8\sqrt{3}} \approx 13{,}8$ km. |
|
|
|
|
|
|
