Teori
Andragradsekvationer
En andragradsekvation är en ekvation som kan skrivas som
där $x$ är den obekanta och $p$ och $q$ är konstanter.
Enklare typer av andra gradsekvationer kan vi lösa direkt genom roturdragning.
Ekvationen $x^2=a$ där $a$ är ett postivt tal har två lösningar (rötter) $x=\sqrt{a}$ och $x=-\sqrt{a}$.
Exempel 1
- $x^2 = 4 \quad$ har rötterna $x=\sqrt{4} = 2$ och $x=-\sqrt{4}= -2$
- $2x^2=18 \quad$ skrivs om till $x^2=9$ och har rötterna $x=\sqrt9 = 3$ och $x=-\sqrt9 = -3$.
- $3x^2-15=0 \quad$ kan skrivas som $x^2=5$ och har rötterna $x=\sqrt5 \approx 2,236$ och $x=-\sqrt5 \approx -2,236$.
- $9x^2+25=0\quad$ saknar lösningar eftersom vänsterledet kommer alltid att vara större än eller lika med $25$ oavsett hur $x$ väljs (kvadraten $x^2$ är alltid större eller lika med noll).
Exempel 2
- Lös ekvationen $(x-1)^2 = 16$.
Genom att betrakta $x-1$ som obekant ger rotutdragning att ekvationen har två lösningar:
- $x-1 =\sqrt{16} = 4$ vilket ger att $x=1+4=5$
- $x-1 = -\sqrt{16} = -4$ vilket ger att $x=1-4=-3$
- Lös ekvationen $2(x+1)^2 -8=0$.
Flytta över termen $8$ till högerledet och dela båda led med $2$,
$$(x+1)^2=4 \; \mbox{.}$$
Rotutdragning ger att:
- $x+1 =\sqrt{4} = 2, \quad \mbox{d.v.s.} \quad x=-1+2=1$
- $x+1 = -\sqrt{4} = -2, \quad \mbox{d.v.s.} \quad x=-1-2=-3$
För att lösa allmänna andragradsekvationer använder vi en teknik som kallas kvadratkomplettering
Om vi betraktar kvaderingsregeln
$$x^2 + 2ax + a^2 = (a+x)^2$$
och subtraherar $a^2$ från båda led så får vi
Kvadratkomplettering:
$$x^2 +2ax = (x+a)^2 -a^2$$
Detta är formeln för kvadratkomplettering.
Exempel 3
- Lös ekvationen $x^2 +2x -8=0$.
De två termerna $x^2+2x$ kvadratkompletteras (använd $a=1$ i formeln)
$$\underline{x^2+2x} -8 = \underline{(x+1)^2-1^2} -8 = (x+1)^2-9$$
där understrykningen visar vilka termer som är inblandade i kvadratkompletteringen. Ekvationen kan därför skrivas som
$$(x+1)^2 -9 = 0$$
vilken vi löser med rotutdragning
- $x+1 =\sqrt{9} = 3$ och därmed $x=-1+3=2$
- $x+1 =\sqrt{9} = 3$ och därmed $x=-1-3=-4$
- Lös ekvationen $2x^2 -2x - \displaystyle \frac{2}{3} = 0$.
Dividera båda led med 2
$$x^2-x-\frac{3}{4}$$
Vänsterledet kvadratkompletteras (använd $a=\frac{1}{2}$)
$$\underline{x^2-x} -\frac{3}{4} = \underline{\left(x-\frac{1}{2}\right)^2 - \left(-\frac{1}{2}\right)^2} -\frac{3}{4}= \left(x-\frac{1}{2}\right)^2 -1$$
och detta ger oss ekvationen
$$\left(x-\frac{1}{2}\right)^2 - 1=0 \; \mbox{.}$$
Rotutdragning ger att:
- $x-\displaystyle \frac{1}{2} =\sqrt{1} = 1, \quad \mbox{d.v.s.} \quad x=\displaystyle \frac{1}{2}+1=\displaystyle \frac{3}{2}$
- $x-\displaystyle \frac{1}{2}= -\sqrt{1} = -1, \quad \mbox{d.v.s.} \quad x=\displaystyle \frac{1}{2}-1= -\displaystyle \frac{1}{2}$
Tips:
Tänk på att man alltid kan pröva lösningar till en ekvation genom att sätta in värdet och se om likheten blir uppfylld. Man gör detta för att upptäcka eventuella slarvfel. För exemplet ovan har vi två fall att pröva. Vi kallar vänster- och högerleden för VL respektive HL:
x = 0 medför
$ \mbox{VL} = 0^2 - 4\cdot0 = 0 = \mbox{HL} $
x = 4 medför
$ \mbox{VL} = 4^2 - 4\cdot4 = 0 = \mbox{HL} $
I båda fallen kommer vi fram till VL = HL. Ekvationen är alltså uppfylld i båda fallen. x = 0 och x = 4 är lösningar till ekvationen.
Med kvadratkomplettering går det att visa att den allmänna andragradsekvationen
$$x^2+px+q=0$$
har lösningarna
$$x = - \displaystyle\frac{p}{2} \pm \sqrt{\left(\displaystyle\frac{p}{2}\right)^2-q}$$
förutsatt att uttrycket under rottecknet inte är negativt.
Ibland kan man faktorisera ekvationer och direkt se vilka lösningarna är.
Exempel 4
Exempeltext, använd nedanstående numrering
- Lös ekvationen $x^2-4x=0$.
I vänsterledet kan vi bryta ut ett $x$
$$x(x-4)=0$$
Ekvationens vänsterled blir noll, vilket ger oss två lösningar
- $x =0, \; \mbox{eller}$
- $x-4=0 \quad \mbox{d.v.s.} \quad x=4\; \mbox{.}$
Parabler
Funktionerna
$$y=x^2-2x+5$$
$$y=4-3x^2$$
$$y=\frac1}{5}x^2 +3x$$
är exempel på andragradsfunktioner. Allmänt kan en andragradsfunktion skrivas som
$$y=ax^2+bx+c$$
där $a$, $b$ och $c$ är konstanter och där $a\ne0$.
Grafen till en andragradsfunktion kallas för en parabel och figurerna visar utseendet för två typexempel $y=x^2$ och $y=-x^2$.
Bild: figur 3.1.1b och 3.1.2b
Eftersom uttrycket $x^2$ är som minst när $x=0$ har parabeln $y=x^2$ ett maximum för $x=0$.
Notera också att parablerna ovan är symmetriska kring $y$-axeln eftersom värdet på $x^2$ inte beror på vilket tecken $x$ har.
Exempel 5
- Skissera parabeln $y=x^2-2$
Jämfört med parabeln $y=x^2$ har punkter på parabeln $y=x^2-2$ $y$-värden som är två enheter mindre d.v.s. parabeln är förskjuten $2$ enheter neråt i $y$-led.
Bild: figur 3.1.3b
- Skissera parabeln $y=(x-2)^2$
På parabeln $y=x-2)^2$ behöver vi välja $x$-värden två enheter större jämfört med parabeln $y=x^2$ för att få motsvarande $y$-värden. Alltså är parabeln $y=(x-2)^2$ förskjuten två enheter åt höger jämfört med $y=x^2$.
Bild: figur 3.1.4b
- Skissera parabeln $y=2x^2$
Varje punkt på parabeln $y=2x^2$ har dubbelt så stort $y$-värde än vad motsvarande punkt med samma $x$-värde har på parabeln $y=x^2$. Parabeln $y=2x^2$ är expanderad med faktorn $2$ i $y$-led jämfört med $y=x^2$. 
Hur gör man för att enklast kunna beskriva utseendet för en sådan andragradskurva?
Rent generellt så har en andragradskurva enbart ett lokalt minimum eller maximum.
Samtidigt kan den maximalt skära x-axeln på två ställen och y-axeln på
ett ställe.
Hur skall man kunna hitta dessa punkter?
För enkelhetsskull så antar vi ovan att $a=1$, d.v.s.
$y=x^2+bx+c$ Vi vill kunna skriva formen för
en andragradskruva som en jämn kvadrat plus en konstant. Efter kvadratkomplettering ser att vi kan skriva
uttrycket som
$
y=\left(x+\displaystyle \frac{b}{2}\right)^2 +c-\displaystyle \frac{b^2}{4}.
$
Detta uttyck kan minimalt bli $ c- \displaystyle \frac{b^2}{4} $ eftersom kvadraten inte kan bli mindre än 0.
Vi ser alltså att minpunkten blir
$
(x,y)=\left(-\displaystyle \frac{b}{2},c-\displaystyle \frac{b^2}{4}\right)
$
I motsvarande fall om $a=-1$ så får vi att $\;y=-x^2+bx+c \;$ har maxpunkt i $(b/2,c+b^2/4)$.
Skärning med x-axeln fås då y=0 och det är inte säkert att det är
uppfyllt dvs sambandet har ett minimivärde som är större än 0.
Vi har nu en kurva med ekvation
$
y=ax^2+bx+c.
$
Efter kvadratkomplettering så inser vi att konstanten $a$ bestämmer formen på kurvan medan
$a,b \mbox{ och } c$ alla är med och bestämmer positionen av minimi-/maximivärdet hos kurvan.
Eftersom en andragradskurva enbart har en maximi eller minimi-punkt så är det ganska enkelt att bestämma formen
hos kurvan. För enkelhetsskull antar vi nu att $b \mbox{ och } c = 0.$ Vi har alltså ett samband
$
y=ax^2
$
Polariteten hos $a$ bestämmer om kurvan har ett maxvärde eller minvärde dvs om den pekar
uppåt eller nedåt. Vi ser att koefficienten $ a $ trycker ihop/drar ut kurvan $ y=x^2,$
beroende på om $a<1$ eller om $ a>1$.
<img src="ppStdFiles2261/766663.gif" hspace='0' vspace='0' />
Position i vertikalled (dvs i y-led) styrs av konstanten $c$. Vi låter nu $a=1$
och $b=0$ ovan. Vi ser att
$ y=x^2+2 $ har minsta värde 2 medan $ y=x^2 $ har minsta värde 0.
$ y=x^2$ kan alltså enkelt ritas i ett koordinatsystem genom att föorflytta
$ y=x^2$ två längdenheter i positiv y-riktning.
<p align="center"><img src="ppStdFiles2261/766664.gif" hspace='0' vspace='0' />
Position i horisontalled styrs av konstanten b. Låt nu a=1 och c=0 ovan. Vi har då kurvan
$ y=x^2+bx$.
Om vi kvadratkompletterar så får vi att $ y=\left(x+\displaystyle \frac{b}{2}\right)^2-\displaystyle \frac{b^2}{4} $
Vi ser alltså att $ y $ kan vara minimalt $ -\,\displaystyle \frac{b^2}{4} $ då
$ x=-\,\displaystyle \frac{b}{2}$. Vi kan alltså sammanfatta att koefficienten $b$
gjorde att minpunkten flyttades från origo till punkten $ \left(-\,\displaystyle \frac{b}{2},-\,\displaystyle \frac{b^2}{4}\right) $
<p align="center"><img src="ppStdFiles2261/766668.gif" hspace='0' vspace='0' />
Vad som också kan vara av intresse är skärningspunkter mellan en andragradskurva och x-axeln.
Vi har ovan noterat att det inte behöver vara så att en andragradskurva skär x-axeln.
Det kan också vara att den tangerar x-axeln eller att den skär x-axeln i två punkter.
Antag att vi har en andragradskurva $y=ax^2+bx+c$. Skärningspunkter med x-axeln
fås genom att lösa ekvationen $ y=0 $ dvs $ ax^2+bx+c = 0$.
Observera att $y=0$ för alla punkter på x-axeln.
Exempel 5
- $matte$
- text
</div
Bestäm skärningspunkter med x-axeln och $
y=x^2-4x-5.
$
Lösning:
$
y=0 $ på x-axeln. Vi har alltså att lösa ekvationen $ x^2-4x-5=0.
$
Kvadratkomplettering ger att:
$
x^2-4x-5 = (x-2)^2-4-5=(x-2)^2-3^2
$={konjugatregeln}=
$
(x-2-3)(x-2+3)=(x-5)(x+1) $ vilket är 0 då $ x=5 $ eller $ x=-1.
$
Svar:
$\left\{ \matrix {x_1=5 \cr x_2=-1 } \right.$
|}
© Copyright 2006, KTH Matematik
|
|
