4.1 Vinklar och cirklar

Övningar

Teori

Vinkelmått

För inte så länge sedan mätte man kortare sträckor i tum, och längre i fot eller meter. Dessa enheter är inte så lätta att översätta, men de användes för att de var praktiska i olika sammanhang. Av samma anledning finns det flera olika enheter för att mäta vinklar.

Vinklar kan mätas på två principiellt olika sätt:

• Man kan dela in ett varv i delar. Om ett helt varv delas in i 360 delar, så kallas varje del en grad. Beteckningen för grader är $ ^\circ$. Om man delar in i 400 delar, kallas delen istället en gon eller en nygrad. Eftersom nygrader betecknas grad, måste man se upp så att man inte förväxlar dem med grader. Lantmätare behöver ibland bestämma vinklar med mycket hög noggrannhet. De kan använda vinkelenheterna c eller cc, vilka står för en hundradel av en gon, respektive en hundradel av en hundradel, dvs en tiotusendel.
• Man kan även använda en längdskala för att mäta vinklar, om man mäter sträckan över vinkeln längs periferin av en cirkel. Eftersom omkretsen av en cirkel är $2\pi r$, så är det praktiskt att välja cirkelns radie som längdenhet. Då blir ett varv alltid $2\pi$ längdenheter, oavsett hur stor cirkeln är. Detta vinkelmått kallas radianer. Ett varv är alltså $2\pi$ radianer. Radianer betecknas rad, eller skrivs helt utan beteckning.

<img src="object49972/bilder/3_2/3_2_01.gif">

Eftersom längden på omkretsen av en cirkel är $2\pi \;$ multiplicerat med radiens längd så går det $2\pi \approx 6,28$ radianer på ett helt varv.

I denna kurs kommer vi främst att använda vinkelmåtten grader och radianer. Grader används mest i vardagliga sammanhang och inom geometri, eftersom viktiga vinklar blir hela tal. Vinkeln $90^\circ$ är en rät vinkel. Vinklarna i den liksidiga triangeln är $60^\circ$.

Nygrader kan vara praktiska att räkna med, eftersom de mest påminner om vårt vanliga talsystem där vi använder basen 10. En rät vinkel är 100 grad. Vinklarna i den liksidiga triangeln, som är $60^\circ$, blir däremot krångliga. De blir 200/3 grad = 66,6666... grad. För en lantmätare spelar detta ingen större roll. Lantmätaren har så gott som aldrig en vinkel som är exakt $60^\circ$.

Radianer används gärna inom matematik och fysik. De har fördelen att derivering och integrering av de trigonometriska funktionerna blir enkel. Derivatan av $\sin{x}$ blir $\cos{x}$ om man använder radianer som vinkelmått. Om man anger vinkeln x i grader får man istället att derivatan av $\sin{x}$ blir $\displaystyle\frac{\pi}{180}\cdot \cos {x}$.

I en del sammanhang kan det vara meningsfullt att tala om negativa vinklar eller vinklar som är större än $360^\circ$, t.ex. när vinkeln representerar en vridning till en viss riktning. Då kan man använda att man kan nå samma riktning genom flera olika vridningar, t.ex. genom att lägga till ett eller flera hela varv. Exempelvis anger vinklarna $–30^\circ, 330^\circ$ och $690^\circ$ samma riktning.

<img src="ppStdFiles2261/820351.gif" hspace='0' vspace='0' />
Några viktiga vinklar som är bra att kunna översätta till utantill mellan grader och radianer.<p align="left"><img src="ppStdFiles2261/774115.gif" hspace='0' vspace='0' />
Interaktivt experiment: sinus och cosinus i enehtscirkeln (Flash) Omvandlingsfaktorn mellan radianer och grader kan man få ur sambanden 1 varv = $360^\circ$ = $2\pi$ rad 1 rad = $\displaystyle\frac{360^\circ}{2\pi} = \displaystyle\frac{180^\circ}{\pi} \approx 57,295^\circ$

Cirkelsektorer och båglängder

<img src="object49972/bilder/3_2/3_2_04.gif" align="right">Om vi har öppningsvinkeln $\alpha$ för en cirkelsektor kan vi beräkna cirkelsektorns area A och cirkelbågens båglängd b, genom att betrakta dem som en andel av en hel cirkel.

Eftersom en hel cirkel har omkretsen $2\pi r$ och arean $\pi r^2$, får vi

bågens längd utefter cirkelsektorn $= b = \displaystyle\frac{\alpha}{2\pi} 2\pi r = \alpha r$

arean $= A = \displaystyle\frac{\alpha}{2\pi} \pi r^2 = \displaystyle\frac{\alpha r^2}{2}$

Observera att vinkeln $\alpha$ måste anges i radianer för att formlerna skall bli så snygga.

Pythagoras sats, avståndsformeln och cirkels ekvation

<img src="object49972/bilder/3_2/3_2_05.gif" align="right">Pythagoras sats gäller för alla rätvinkliga trianglar. Satsen säger att summan av kateternas kvadrater är lika med kvadraten på hypotenusan, dvs $A^2 + B^2 = C^2$

(Även omvändningen av satsen gäller, d.v.s. om $A^2 + B^2 = C^2$ så är triangeln rätvinklig.)

<img src="object49972/bilder/3_2/3_2_06.gif" align="right">Pythagoras sats kan användas för att beräkna avståndet mellan två punkter i ett koordinatsystem. Om punkterna har koordinaterna (x, y) och (a, b) och vi kallar avståndet mellan punkterna för d, så får vi den så kallade avståndsformeln $d = \sqrt{(x – a)^2 + (y – b)^2} $.

[http://www.theducation.se/kurser/experiment/gyma/applets/ex24_avstand_pythagoras/index.html

Interaktivt experiment: Här kan du experimentera med avståndsformeln och Pythagoras sats

]

Definition av en cirkel

<img src="object49972/bilder/3_2/3_2_08.gif" align="right">

En cirkel kan definieras som mängden av alla punkter (x, y) som ligger på ett visst avstånd r från en given punkt (a, b). Avståndet r blir då cirkels radie, och punkten (a, b) blir cirkelns medelpunkt. Detta ger med hjälp av avståndsformeln villkoret

$r = \sqrt{(x – a)^2 + (y – b)^2}$.

Detta villkor brukar genom kvadrering skrivas

$(x – a)^2 + (y – b)^2 = r^2$

och kallas för cirkelns ekvation. Cirkeln är alltså mängden av alla punkter $(x, y)$ som uppfyller ekvationen $(x – a)^2 + (y – b)^2 = r^2$ och ligger på avståndet r från punkten $(a, b)$. Om man sätter r = 1 och $(a,b) = (0,0)$ får man en cirkel med radien 1 och medelpunkten i origo. Denna cirkel kallas enhetscirkeln.

Enhetscirkeln är ett viktigt hjälpmedel i många sammanhang, t.ex. när man arbetar med trigonometriska funktioner. 

Några viktiga begrepp

<img src="object49972/bilder/3_2/3_2_10.gif">

Det är inte alltid helt enkelt att känna igen ekvationen för en cirkel. Med hjälp av kvadratkomplettering (tidigare presenterat i avsnitt 2.3) kan man skriva ekvationen på så kallad standardform, där går det direkt att avläsa cirkelns radie och medelpunkt.

$ a^2-2ab+b^2=(a-b)^2 $

$ (x-1)^2 + (y+2)^2 = 4 $

© Copyright 2006, KTH Matematik