2.2 Linjära uttryck

Sommarmatte 1

(Skillnad mellan versioner)

Hoppa till: navigering, sök

Nuvarande version

Innehåll:

Förstagradsekvationer
Räta linjens ekvation
Geometriska problem
Områden som definieras av olikheter

Lärandemål:

Efter detta avsnitt ska du ha lärt dig att:

Lösa algebraiska ekvationer som efter förenkling leder till förstagradsekvationer.
Omvandla mellan formerna y = kx + m och ax + by + c = 0.
Skissera räta linjer utgående från ekvationen.
Lösa geometriska problem som innehåller räta linjer.
Skissera områden som ges av linjära olikheter och bestämma arean av dessa.

Övningar

[redigera] Teori

[redigera] Förstagradsekvationer

För att lösa förstagradsekvationer (även kallade linjära ekvationer) utför vi räkneoperationer på båda leden samtidigt, som successivt förenklar ekvationen och till slut gör att vi får $x$ ensamt i ena ledet.

Exempel 1

Lös ekvationen $x+3=7$.

Subtrahera $3$ från båda led

$x+3-3=7-3$.

Vänsterledet förenklas då till $x$ och vi får att

$x=7-3=4$.
Lös ekvationen $3x=6$.

Dividera båda led med $3$

$\displaystyle\frac{3x}{3} = \frac{6}{3}\,$.

Efter att ha förkortat bort $3$ i vänsterledet har vi att

$\displaystyle x=\frac{6}{3} = 2$.
Lös ekvationen $2x+1=5$

Först subtraherar vi båda led med $1$ för att få $2x$ ensamt i vänsterledet

$2x=5-1$.

Sedan dividerar vi båda led med $2$ och får svaret

$\displaystyle x = \displaystyle\frac{4}{2}$.

En förstagradsekvation kan skrivas på normalformen $\,ax=b$. Lösningen är då helt enkelt $x=b/a$ (man måste anta att $a\not=0$). De eventuella svårigheter som kan uppstå när man läser en förstagradsekvation gäller alltså inte själva lösningsformeln utan snarare de förenklingar som kan behövas för att komma till normalformen. Här nedan visas några exempel som har det gemensamt att en ekvation förenklas till linjär normalform och därmed får en unik lösning.

Exempel 2

Lös ekvationen $\,2x-3=5x+7$.

Eftersom $x$ förekommer både i vänster- och högerledet subtraherar vi $2x$ från båda led $$2x-3-2x=5x+7-2x$$ och får $x$ samlat i högerledet $$-3 = 3x+7 \; \mbox{.}$$ Nu subtraherar vi 7 från båda led $$-3 -7 = 3x +7-7$$ och får $3x$ ensamt kvar i högerledet $$-10=3x\,\mbox{.}$$ Det sista steget är att dividera båda led med $3$ $$\frac{-10}{3} = \frac{3x}{3}$$ och detta ger att $$x=-\frac{10}{3}\,\mbox{.}$$

Exempel 3

Lös ut $x$ från ekvationen $ax+7=3x-b$.

Genom att subtrahera båda led med $3x$ $$ax+7-3x=3x-b-3x$$ $$ax+7-3x=-b$$ och sedan med $7$ $$ax+7-3x -7=-b-7$$ $$ax-3x=-b-7$$ har vi samlat alla termer som innehåller $x$ i vänsterledet och övriga termer i högerledet. Eftersom termerna i vänsterledet har $x$ som en gemensam faktor kan $x$ brytas ut $$(a-3)x = -b-7\; \mbox{.}$$ Dividera båda led med $a-3$ $$x= \displaystyle \frac{-b-7}{a-3}\; \mbox{.}$$

Det är inte alltid uppenbart att man har att göra med en förstagradsekvation. I följande två exempel förvandlas den ursprungliga ekvationen genom förenklingar till en förstagradsekvation.

Exempel 4

Lös ekvationen $\ (x-3)^2+3x^2=(2x+7)^2$.

Utveckla kvadratuttrycken i båda leden $$x^2-6x+9+3x^2=4x^2+28x+49$$ $$4x^2-6x+9=4x^2+28x+49$$ Subtrahera $4x^2$ från båda led $$-6x +9 = 28x +49\; \mbox{.}$$ Addera $6x$ till båda led $$9 = 34x +49\; \mbox{.}$$ Subtrahera $49$ från båda led $$-40=34x\; \mbox{.}$$ Dividera båda led med $34$ $$x=\displaystyle \frac{-40}{34}= -\displaystyle \frac{20}{17}\; \mbox{.}$$

Exempel 5

Lös ekvationen $\displaystyle\ \frac{x+2}{x^2+x}=\displaystyle \frac{3}{2+3x}$.

Flytta över båda termerna i ena ledet $$\displaystyle \frac{x+2}{x^2+x}-\frac{3}{2+3x}= 0\; \mbox{.}$$ Förläng termerna så att de får samma nämnare $$\displaystyle \frac{(x+2)(2+3x)}{(x^2+x)(2+3x)}-\frac{3(x^2+x)}{(2+3x)(x^2+x)}= 0$$ och förenkla täljaren $$\displaystyle \frac{(x+2)(2+3x)-3(x^2+x)}{(x^2+x)(2+3x)} = 0,$$ $$\displaystyle \frac{3x^2+8x+4-(3x^2+3x)}{(x^2+x)(2+3x)} = 0,$$ $$\displaystyle \frac{5x +4}{(x^2+x)(2+3x)} = 0.$$ Denna ekvation är uppfylld bara när täljaren är lika med noll (samtidigt som nämnaren inte är lika med noll), $$5x+4=0$$ vilket ger att $\,x=-\displaystyle \frac{4}{5}$.

[redigera] Räta linjer

Funktioner av typen $$y=2x+1$$ $$y=-x+3$$ $$y=\displaystyle \frac{1}{2} x -5 $$

är exempel på linjära funktioner och de kan allmänt skrivas i formen

$$y=kx+m$$

där $k$ och $m$ är konstanter.

Grafen till en linjär funktion är alltid en rät linje och konstanten $k$ anger linjens lutning mot $x$-axeln och $m$ anger $y$-koordinaten för den punkt där linjen skär $y$-axeln.

Konstanten $k$ kallas för linjens riktningskoefficient och innebär att en enhetsförändring i positiv $x$-led på linjen ger $k$ enheters förändring i positiv $y$-led. Det gäller därmed att om

$k>0\ $ så lutar linjen uppåt
$k<0\ $ så lutar linjen nedåt

För en horisontell linje (parallell med $x$-axeln) är $\,k=0\,$ medan en vertikal linje (parallell med $y$-axeln) inte har något $k$-värde (en sådan linje kan inte skrivas i formen $y=kx+m$).

Exempel 6

Skissera linjen $y=2x-1$.

Jämför vi linjens ekvation med $\,y=kx+m\,$ så ser vi att $k=2$ och $m=-1$. Detta betyder att linjens riktningskoefficient är $2$ och att den skär $y$-axeln i punkten $(0,-1)$. Se figuren till vänster nedan.
Skissera linjen $y=2-\frac{1}{2}x$.

Linjens ekvation kan skrivas som $y= -\frac{1}{2}x + 2$ och då ser vi att dess riktningskoefficient är $\,k= -\frac{1}{2}\,$ och att $\,m=2$. Se figuren nedan till höger.

Exempel 7

Vilken riktningskoefficient har den räta linje som går genom punkterna $(2,1)$ och $(5,3)$?

Ritar vi upp punkterna och linjen i ett koordinatsystem så ser vi att $\,5-2=3\,$ steg i $x$-led motsvaras av $\,3-1=2\,$ steg i $y$-led på linjen. Det betyder att $1$ steg i $x$-led måste motsvaras av $\,k=\frac{3-1}{5-2}= \frac{2}{3}\,$ steg i $y$-led. Alltså är linjens riktningskoefficient $\,k= \frac{2}{3}$.

Två räta linjer som är parallella har uppenbarligen samma riktningskoefficient. Det går också att se (t.ex i figuren nedan) att två linjer som är vinkelräta har riktningskoefficienter $k_1$ respektive $k_2$ som uppfyller $k_2 = -\frac{1}{k_1}$ , vilket också kan skrivas som $k_1 k_2 = -1$.

Bildtext: Den räta linjen i figuren till vänster har riktningskoefficient $k$, d.v.s. $1$ steg i $x$-led motsvaras av $k$ steg i $y$-led. Om linjen vrids $90^\circ$ motsols får vi linjen i figuren till höger, och den linjen har riktningskoefficient $-\frac{1}{k}$ eftersom nu motsvaras $-k$ steg i $x$-led av $1$ steg i $y$-led.

Exempel 8

Linjerna $\,y=3x-1\,$ och $\,y=3x+5\,$ är parallella.
Linjerna $\,y=x+1\,$ och $\,y=2-x\,$ är vinkelräta.

Alla räta linjer (även den vertikala linjen) kan skrivas i den allmänna formen

$$ax+by=c$$

där $a$, $b$ och $c$ är konstanter.

Exempel 9

Skriv linjen $\,y=5x+7\,$ i formen $\,ax+by=c$.

Flytta över $x$-termen till vänsterledet $\ -5x+y=7\,$.
Skriv linjen $\,2x+3y=-1\,$ i formen $\,y=kx+m$.

Flytta över $x$-termen i högerledet $\ 3y=-2x-1\ $ och dela båda led med $3$ $$y=-\frac{2}{3}x - \frac{1}{3}\,\mbox{.}$$

Här kan du se hur linjens ekvation kan skrivas utifrån att man vet koordinaterna för två punkter på linjen.

Här kan du ändra på k och m och se hur detta påverkar linjens egenskaper.

[redigera] Områden i koordinatsystem

Genom att tolka olikheter geometriskt kan de användas för att beskriva områden i planet.

Exempel 10

Skissera området i $x,y$-planet som uppfyller $y\ge2$.

Området ges av alla punkter $(x,y)$ vars $y$-koordinat är $2$ eller större, d.v.s. alla punkter på eller ovanför linjen $y=2$.
Skissera området i $x,y$-planet som uppfyller $y<x$.

En punkt $(x,y)$ som uppfyller olikheten $y<x$ har en $x$-koordinat som är större än dess $y$-koordinat. Området består alltså av alla punkter till höger om linjen $y=x$.

Bildtext: Att linjen $y=x$ är streckad betyder att punkterna på linjen inte tillhör det grågrönfärgade området.

Exempel 11

Skissera området i $x,y$-planet som uppfyller $2 \le 3x+2y\le 4$.

Den dubbla olikheten kan delas upp i två olikheter

$$3x+2y \ge 2 \quad \mbox{och} \quad 3x+2y\le4 \;\mbox{.}$$

Flyttar vi över $x$-termerna till högerledet och delar båda led med $2$ får vi

$$y \ge 1-\frac{3}{2}x \quad \mbox{och} \quad y\le 2-\frac{3}{2}x \;\mbox{.}$$

De punkter som uppfyller den första olikheten ligger på och ovanför linjen $\,y \ge 1-\frac{3}{2}x\,$ medan de punkter som uppfyller den andra olikheten ligger på eller under linjen $y\le 2-\frac{3}{2}x$.

Punkter som uppfyller båda olikheterna tillhör det bandformade område som de gråa områdena ovan har gemensamt.

Exempel 12

Om vi ritar upp linjerna $\,y=x$, $\,y=-x\,$ och $\,y=2\,$ så begränsar dessa linjer en triangel, i koordinatsystemet.

Vi upptäcker att för att en punkt skall ligga i denna triangel så måste vi sätta en del krav på den.

Vi ser att dess $y$-koordinat måste vara mindre än $2$. Samtidigt ser vi att triangeln nedåt begränas av $ y=0$.

$y$-koordinaten måste således ligga i intervallet $ 0\le y\le2$.

För $x$-koordinaten blir det lite mer komplicerat. Vi ser att $x$-koordinaten måste ligga ovanför linjerna $y=-x \mbox{ och } y=x$. Vi ser att detta är uppfyllt då $-y\le x\le y$.

Eftersom vi redan har begränsningar för $y$-koordinaten så ser vi att $x$ inte kan vara större än $2$ och mindre än $-2$ automatiskt.

Vi ser att basen i triangeln blir $4$ längdenheter och höjden $2$ längdenheter.

Arean av denna triangel blir alltså $ 4\cdot 2/2=4$ areaenheter.

Övningar

Råd för inläsning

Grund- och slutprov

Efter att du har läst texten och arbetat med övningarna ska du göra grund- och slutprovet för att bli godkänd på detta avsnitt. Du hittar länken till proven i din student lounge.

Tänk på att...

Rita egna figurer när du löser geometriska problem och att vara noggrann när du ritar! En bra figur kan vara halva lösningen, men en dålig figur kan lura en.

Lästips

för dig som vill fördjupa dig ytterligare eller behöver en längre förklaring vill vi tipsa om:

Läs mer om räta linjens ekvation i Bruno Kevius matematiska ordlista

Länktips

Experimentera med Räta linjens ekvation

Experimentera med Archimedes triangel & andragradskurvor

Den här artikeln är hämtad från http://wiki.math.se/wikis/sf0600_0701/index.php/2.2_Linj%C3%A4ra_uttryck

2.2 Linjära uttryck

Sommarmatte 1

Nuvarande version

[redigera] Teori

[redigera] Förstagradsekvationer

[redigera] Räta linjer

[redigera] Områden i koordinatsystem

Visningar

Personliga verktyg

Navigering

Sök

Verktygslåda

+__NOTOC__
 <table><tr><td width="600">
-=2.2 Linjära uttryck=
 <div class="inforuta">
 *Förstagradsekvationer
 *Räta linjens ekvation
-*Parabler
 *Geometriska problem
 *Områden som definieras av olikheter
 <div class="inforuta">
-'''Läromål:'''
+'''Lärandemål:'''
 Efter detta avsnitt ska du ha lärt dig att:
 *Lösa algebraiska ekvationer som efter förenkling leder till förstagradsekvationer.
-*Lösa ekvationer som efter logaritmering ger en förstagradsekvation.
+*Omvandla mellan formerna y = kx + m och ax + by + c = 0.
-*Lösa ekvationer som när ett deluttryck betraktas som ny obekant ger en förstagradsekvation.
+*Skissera räta linjer utgående från ekvationen.
-*Omvandla mellan formerna y = kx + m och ax + by + c = 0
+*Lösa geometriska problem som innehåller räta linjer.
-*Skissera räta linjer utgående från ekvationen
+*Skissera områden som ges av linjära olikheter och bestämma arean av dessa.
-*Lösa geometriska problem som innehåller räta linjer
-*Skissera grafen till andragradsfunktioner med kvadratkomplettering
-*Skissera områden som ges av linjära olikheter och bestämma arean av dessa
 </div>
-[[agjöeijö|Övningar]]
+[[2.2 Övningar|Övningar]]
 </td>
-<tr><td width=600>
+<tr><td width="600">
 <!-- huvudtexten -->
 ==Förstagradsekvationer==
-För att lösa ekvationer utför vi räkneoperationer på båda leden samtidigt, som successivt förenklar ekvationen och till slut gör att vi får $x$ ensamt i ena ledet.
+För att lösa förstagradsekvationer (även kallade linjära ekvationer) utför vi räkneoperationer på båda leden samtidigt, som successivt förenklar ekvationen och till slut gör att vi får $x$ ensamt i ena ledet.
 <div class="exempel">
 <ol type="a">
-  <li>Lös ekvationen $x+3=7$ <br>
+  <li>Lös ekvationen $x+3=7$. <br/><br/>
 Subtrahera $3$ från båda led <br>
-$x+3-3=7-3.$ <br>
+:$x+3-3=7-3$. <br>
 Vänsterledet förenklas då till $x$ och vi får att <br>
-$x=7-3=4.$ <br><br>
+:$x=7-3=4$. <br><br>
-  <li>Lös ekvationen $3x=6$. <br>
+  <li>Lös ekvationen $3x=6$. <br><br>
-Dividera båda led med $3$. <br>
+Dividera båda led med $3$ <br>
-$\frac{3x}{3} = \frac{6}{3}$<br>
+:$\displaystyle\frac{3x}{3} = \frac{6}{3}\,$.<br>
 Efter att ha förkortat bort $3$ i vänsterledet har vi att <br>
-$x=\frac{6}{3} = 2$ <br><br>
+:$\displaystyle x=\frac{6}{3} = 2$. <br><br>
-<li> Lös ekvationen $2x+1=5$<br>
+<li> Lös ekvationen $2x+1=5$<br><br>
-Först subtraherar vi båda led med $1$ för att få $2x$ ensamt i vänsterledet. <br>
+Först subtraherar vi båda led med $1$ för att få $2x$ ensamt i vänsterledet <br>
-$2x+x-1= 5-1$<br>
+:$2x=5-1$.<br>
-$2x=4$<br>
 Sedan dividerar vi båda led med $2$ och får svaret <br>
-$\displaystyle \frac{2x}{2} = \displaystyle{4}{2}$<br>
+:$\displaystyle x = \displaystyle\frac{4}{2}$.<br>
-$x=2$
 </ol>
 </div>
-F&ouml;rstagradsekvationer kallas &auml;ven linj&auml;ra ekvationer. En f&ouml;rstagradsekvation skrivs p&aring; normalform ax=b. L&ouml;sningen &auml;r helt enkelt x=b/a. Man m&aring;ste anta att a ≠ 0. (Om a vore noll skulle ekvationen se annorlunda ut, och sakna x.)
+En f&ouml;rstagradsekvation kan skrivas p&aring; normalformen $\,ax=b$. L&ouml;sningen &auml;r då helt enkelt $x=b/a$ (man m&aring;ste anta att $a\not=0$).
+De eventuella sv&aring;righeter som kan uppst&aring; när man läser en förstagradsekvation g&auml;ller allts&aring; inte sj&auml;lva l&ouml;sningsformeln utan snarare de f&ouml;renklingar som kan beh&ouml;vas f&ouml;r att komma till normalformen. H&auml;r nedan visas n&aring;gra exempel som har det gemensamt att en ekvation f&ouml;renklas till linj&auml;r normalform och d&auml;rmed f&aring;r en unik l&ouml;sning.
-De eventuella sv&aring;righeter som kan uppst&aring; g&auml;ller allts&aring; inte sj&auml;lva l&ouml;sningsformeln utan snarare de f&ouml;renklingar som kan beh&ouml;vas f&ouml;r att komma till normalformen. H&auml;r nedan visas n&aring;gra exempel som har det gemensamt att en ekvation f&ouml;renklas till linj&auml;r normalform och d&auml;rmed f&aring;r en unik l&ouml;sning.
 '''Exempel 2'''
-Lös ekvationen$2x-3=5x+7$.
+Lös ekvationen $\,2x-3=5x+7$.<br><br>
+Eftersom $x$ förekommer både i vänster- och högerledet subtraherar vi $2x$ från båda led
-Eftersom $x$ förekommer både i vänster- och högerledet subtraherar vi $2x$ från båda leden
 $$2x-3-2x=5x+7-2x$$
 och får $x$ samlat i högerledet
 $$-3 = 3x+7 \; \mbox{.}$$
 Nu subtraherar vi 7 från båda led
 $$-3 -7 = 3x +7-7$$
 och får $3x$ ensamt kvar i högerledet
+$$-10=3x\,\mbox{.}$$
-$$-10=3x \; \mbox{.}$$
 Det sista steget är att dividera båda led med $3$
 $$\frac{-10}{3} = \frac{3x}{3}$$
 och detta ger att
+$$x=-\frac{10}{3}\,\mbox{.}$$
-$$x=-10/3  \; \mbox{.}$$
 </div>
 <div class="exempel">
-'''Exempel 1'''
+'''Exempel 3'''
-Lös ut $x$ från ekvationen $ax+7=3x-b$.
+Lös ut $x$ från ekvationen $ax+7=3x-b$.<br><br>
 Genom att subtrahera båda led med $3x$
 $$ax+7-3x=3x-b-3x$$
-$$ax+7-3x=b$$
+$$ax+7-3x=-b$$
 och sedan med $7$
+$$ax+7-3x -7=-b-7$$
-$$ax+7-3x -7=b-7$$
+$$ax-3x=-b-7$$
-$$ax-3x=b-7$$
 har vi samlat alla termer som innehåller $x$ i vänsterledet och övriga termer i högerledet.
 Eftersom termerna i vänsterledet har $x$ som en gemensam faktor kan $x$ brytas ut
+$$(a-3)x = -b-7\; \mbox{.}$$
-$$(3-a)x = 7+b\; \mbox{.}$$
 Dividera båda led med $a-3$
+$$x= \displaystyle \frac{-b-7}{a-3}\; \mbox{.}$$
-$$x= \displaystyle \frac{7+b}{3-a}\; \mbox{.}$$
 </div>
 <div class="exempel">
-'''Exempel 1'''
+'''Exempel 4'''
-Lös ekvationen $(x-3)^2+3x^2=(2x+7)^2$.
+Lös ekvationen $\ (x-3)^2+3x^2=(2x+7)^2$.<br><br>
 Utveckla kvadratuttrycken i båda leden
 $$x^2-6x+9+3x^2=4x^2+28x+49$$
 $$4x^2-6x+9=4x^2+28x+49$$
+Subtrahera $4x^2$ från båda led
-Subtrahera med $4x^2$ från båda leden
 $$-6x +9 = 28x +49\; \mbox{.}$$
 Addera $6x$ till båda led
+$$9 = 34x +49\; \mbox{.}$$
-$$9 = 43x +49\; \mbox{.}$$
 Subtrahera $49$ från båda led
 $$-40=34x\; \mbox{.}$$
 Dividera båda led med $34$
 $$x=\displaystyle \frac{-40}{34}= -\displaystyle \frac{20}{17}\; \mbox{.}$$
 </div>
 <div class="exempel">
-'''Exempel 1'''
+'''Exempel 5'''
-Lös ekvationen $\displaystyle \frac{x+2}{x^2+x}=\displaystyle \frac{3}{2+3x}$.
+Lös ekvationen $\displaystyle\ \frac{x+2}{x^2+x}=\displaystyle \frac{3}{2+3x}$.<br><br>
 Flytta över båda termerna i ena ledet
+$$\displaystyle \frac{x+2}{x^2+x}-\frac{3}{2+3x}= 0\; \mbox{.}$$
-$$\displaystyle \frac{x+2}{x^2+x}-\displaystyle \frac{3}{2+3x}= 0\; \mbox{.}$$
 Förläng termerna så att de får samma nämnare
+$$\displaystyle \frac{(x+2)(2+3x)}{(x^2+x)(2+3x)}-\frac{3(x^2+x)}{(2+3x)(x^2+x)}= 0$$
-$$\displaystyle \frac{x+2(2+3x)}{x^2+x(2+3x)}-\displaystyle \frac{3(x^2+x)}{2+3x(x^2+x)}= 0$$
 och förenkla täljaren
+$$\displaystyle \frac{(x+2)(2+3x)-3(x^2+x)}{(x^2+x)(2+3x)} = 0,$$
-$$\displaystyle \frac{x+2(2+3x)-3(x^2+x)}{x^2+x(2+3x)} = 0$$
+$$\displaystyle \frac{3x^2+8x+4-(3x^2+3x)}{(x^2+x)(2+3x)} = 0,$$
+$$\displaystyle \frac{5x +4}{(x^2+x)(2+3x)} = 0.$$
-$$\displaystyle \frac{3x^2+8x+4-(3x^2+3x)}{x^2+x(2+3x)} = 0$$
+Denna ekvation är uppfylld bara när täljaren är lika med noll (samtidigt som nämnaren inte är lika med noll),
-$$\displaystyle \frac{5x +4}{x^2+x(2+3x)} = 0$$
-Denna ekvation är uppfylld bara när täljaren är lika med noll
 $$5x+4=0$$
+vilket ger att $\,x=-\displaystyle \frac{4}{5}$.
-vilket ger att $x=-\displaystyle \frac{5}{4}$.
 </div>
 ==Räta linjer==
 Grafen till en linjär funktion är alltid en rät linje och konstanten $k$ anger linjens lutning mot $x$-axeln och $m$ anger $y$-koordinaten för den punkt där linjen skär $y$-axeln.
-Bild: figur 3.1.1a och 3.1.2a
+[[Bild:t_3_1_1a.gif|center]]
+Konstanten $k$ kallas för linjens riktningskoefficient och innebär att en enhetsförändring i positiv $x$-led på linjen ger $k$ enheters förändring i positiv $y$-led. Det gäller därmed att om
-Konstanten $k$ kallad för linjens riktningskoefficient och innebär att en enhetsförändring i positiv $x$-led på linjen ger $k$ enheters förändring i positiv $y$-led. Detta gäller därmed att om
+*$k>0\ $ så lutar linjen uppåt
+*$k<0\ $ så lutar linjen nedåt
-*$k>0$ så lutar linjen uppåt
+För en horisontell linje (parallell med $x$-axeln) är $\,k=0\,$ medan en vertikal linje (parallell med $y$-axeln) inte har något $k$-värde (en sådan linje kan inte skrivas i formen $y=kx+m$).
-*$k<0$ så lutar linjen nedåt
-För en horisontell linje (parallell med $x$-axeln) är $k=0$ medan en vertikal linje (parallell med $y$-axeln) inte har något $k$-värde (en sådan linje kan inte skrivas i formen $y=kx+m$).
 <div class="exempel">
-'''Exempel 1'''
+'''Exempel 6'''
 <ol type="a">
-<li> Skissera linjen $y=2x-1$. <br>
+<li> Skissera linjen $y=2x-1$. <br><br>
-Jämför vi linjens ekvation med $y=kx+m$ så ser vi att $k=2$ och $m=-1$. Detta betyder att linjens riktningskoefficient är $2$ och att den skär $y$-axeln i punkten $(0,1)$. Se figuren till vänster nedan. <br>
+Jämför vi linjens ekvation med $\,y=kx+m\,$ så ser vi att $k=2$ och $m=-1$. Detta betyder att linjens riktningskoefficient är $2$ och att den skär $y$-axeln i punkten $(0,-1)$. Se figuren till vänster nedan. <br><br>
-<li>Skissera linjen $y=2-\displaystyle \frac{1}{2}x$. <br>
+<li>Skissera linjen $y=2-\frac{1}{2}x$.<br><br>
-Linjens ekvation kan skrivas som $y= -\frac{1}{2}x + 2$ och då ser vi att dess riktningskoefficient är $k= -\frac{1}{2}$ och att $m=2$. Se figur nedan till höger.
+Linjens ekvation kan skrivas som $y= -\frac{1}{2}x + 2$ och då ser vi att dess riktningskoefficient är $\,k= -\frac{1}{2}\,$ och att $\,m=2$. Se figuren nedan till höger.
 </ol>
-Bild: figur 3.1.3a och figur 3.1.4a
+[[Bild:t_3_1_3_a.gif|center]]
 </div>
 <div class="exempel">
-'''Exempel 1'''
+'''Exempel 7'''
 Vilken riktningskoefficient har den räta linje som går genom punkterna $(2,1)$ och $(5,3)$?
-Ritar vi upp punkterna och linjen i ett koordinatsystem så ser vi att $5-2=3$ steg i $x$-led motsvarar $3-1=2$ steg i $y$-led på linjen. Det betyder att $1$ steg i $x$-led måste motsvara $k=\frac{3-1}{5-2}= \frac{2}{3}$ steg i $y$-led. Alltså är linjens riktningskoeffivient $k= \frac{2}{3}$.
+Ritar vi upp punkterna och linjen i ett koordinatsystem så ser vi att $\,5-2=3\,$ steg i $x$-led motsvaras av $\,3-1=2\,$ steg i $y$-led på linjen. Det betyder att $1$ steg i $x$-led måste motsvaras av $\,k=\frac{3-1}{5-2}= \frac{2}{3}\,$ steg i $y$-led. Alltså är linjens riktningskoefficient $\,k= \frac{2}{3}$.
-Bild: figur 3.1.5a och 3.1.6a
+[[Bild:t_3_1_5a.gif|center]]
 </div>
-Två räta linjer som är parallella har uppenbarligen samma riktningskoefficient. Det går också att se (t.ex i figuren nedan) att två linjer som är vinkelräta har riktningskoefficienter $k_1$ respektive $k_2$ som uppfyller $k_2 = \frac{1}{k_1}$ , vilket också kan skrivas som $k_1 k_2 = -1$.
+Två räta linjer som är parallella har uppenbarligen samma riktningskoefficient. Det går också att se (t.ex i figuren nedan) att två linjer som är vinkelräta har riktningskoefficienter $k_1$ respektive $k_2$ som uppfyller $k_2 = -\frac{1}{k_1}$ , vilket också kan skrivas som $k_1 k_2 = -1$.
-Bild: figur 3.1.7a och 3.1.8a
+[[Bild:t_3_1_7a.gif|center]]
-Bildtext: Den räta linjen i figuren till vänster har riktningskoefficienter $k$, d.v.s. $1$ steg i $x$-led motsvaras av $k$-steg i $y$-led. Om linjen vrids $90^\circ$ motsols får vi linjen i figuren till höger, och den linjen har riktningskoefficient $-\frac{1}{k}$ eftersom nu motsvaras $-k$ steg i $x$-led av $1$ steg i $y$-led.
+Bildtext: Den räta linjen i figuren till vänster har riktningskoefficient $k$, d.v.s. $1$ steg i $x$-led motsvaras av $k$ steg i $y$-led. Om linjen vrids $90^\circ$ motsols får vi linjen i figuren till höger, och den linjen har riktningskoefficient $-\frac{1}{k}$ eftersom nu motsvaras $-k$ steg i $x$-led av $1$ steg i $y$-led.
 <div class="exempel">
-'''Exempel 1'''
+'''Exempel 8'''
 <ol type="a">
-<li>Linjerna $y=3x-1$ och $y=3x+5$ är parallella
+<li>Linjerna $\,y=3x-1\,$ och $\,y=3x+5\,$ är parallella.
-<li>Linjerna $y=x+1$ och $y=2-x$ är vinkelräta
+<li>Linjerna $\,y=x+1\,$ och $\,y=2-x\,$ är vinkelräta.
 </ol>
 </div>
 där $a$, $b$ och $c$ är konstanter.
 <div class="exempel">
-'''Exempel 1'''
+'''Exempel 9'''
 <ol type="a">
-<li>Skriv linjen $y=5x+7$ i formen $ax+by=c$.<br>
+<li>Skriv linjen $\,y=5x+7\,$ i formen $\,ax+by=c$.<br><br>
-Flytta över $x$-termen till vänsterledet
+Flytta över $x$-termen till vänsterledet $\ -5x+y=7\,$.<br><br>
-$$-5x+y=7\;\mbox{.}$$
+<li>Skriv linjen $\,2x+3y=-1\,$ i formen $\,y=kx+m$.<br><br>
-<li>Skriv linjen $2x+3y=-1$ i formen $y=kx+m$.<br>
+Flytta över $x$-termen i högerledet $\ 3y=-2x-1\ $ och dela båda led med $3$
-Flytta över $x$-termen i högerledet
+$$y=-\frac{2}{3}x - \frac{1}{3}\,\mbox{.}$$
-$$3y=5x+7$$
-och dela båda led med $3$
-$$y=\frac{5}{3}x + \frac{7}{3} \; \mbox{.}$$
 </ol>
 </div>
-De punkter i ett plan som ligger p&aring; en kurva uppfyller ett samband, man kan s&auml;ga att de har en relation
+[http://www.cut-the-knot.org/Curriculum/Calculus/StraightLine.shtml '''Här'''] kan du se hur linjens ekvation kan skrivas utifrån att man vet koordinaterna för två punkter på linjen.
-till varandra. Man kan ocks&aring; sammanfatta detta samband som en ekvation. Ofta &auml;r det dock inte helt
-enkelt att f&aring; fram detta samband utifr&aring;n utseenedet p&aring; denna kurva. Dock finns det n&aring;gra
-exempel d&auml;r det inte &auml;r lika besv&auml;rligt. Vi skall h&auml;r g&aring; igenom tv&aring; viktiga exempel,
-r&auml;ta linjen och andragradskurvan.
+[http://www.theducation.se/hemsida//gymnasium_komvux/webbaserade_laromedel_och_webbstod/matematik_3000/experimentera_med_den_rata_linjen/index.asp '''Här'''] kan du ändra på k och m och se hur detta påverkar linjens egenskaper.
-<img src="ppStdFiles2261/762723.gif"  align="left" hspace='0' vspace='0' />
-En kurva kan naturligvis &auml;ven vara en r&auml;t linje. F&ouml;r att definiera en r&auml;t linje beh&ouml;ver
+===Områden i koordinatsystem===
-du tv&aring; punkter. Den kurva som sammanbinder dessa tv&aring; punkter, s&aring; att avst&aring;ndet mellan
+Genom att tolka olikheter geometriskt kan de användas för att beskriva områden i planet.
-dessa punkter l&auml;ngs kurvan blir så litet som möjligt, &auml;r den r&auml;ta linjen mellan de tv&aring; punkterna. En rät linje kan beskrivas som alla punkter (x,y) som uppfyller räta linjens ekvation:'''
+<div class="exempel">
+'''Exempel 10'''
-$y = kx + m $
+<ol type="a">
-d&auml;r
+<li>Skissera området i $x,y$-planet som uppfyller $y\ge2$. <br><br>
-$k, m$ är konstanter och
+Området ges av alla punkter $(x,y)$ vars $y$-koordinat är $2$ eller större, d.v.s. alla punkter på eller ovanför linjen $y=2$.<br>
-d&auml;r
+[[Bild:766665.gif‎||center]]<br>
-$ k $
+<li>Skissera området i $x,y$-planet som uppfyller $y<x$. <br><br>
-anger linjens lutning och
+En punkt $(x,y)$ som uppfyller olikheten $y<x$ har en $x$-koordinat som är större än dess $y$-koordinat. Området består alltså av alla punkter till höger om linjen $y=x$. <br>
+[[Bild:t_3_1_4c.gif|center]] <br>
+Bildtext: Att linjen $y=x$ är streckad betyder att punkterna på linjen inte tillhör det grågrönfärgade området.
+</ol>
-$ m $
+</div>
-anger f&ouml;r vilken ''y''-koordinat som linjen sk&auml;r ''y''-axeln.
-I figuren nedan gäller att $k=\displaystyle\frac{\Delta y}{\Delta x}$
-Lutningen $k$
-kan vi  best&auml;mma om vi har  två k&auml;nda punkter p&aring; linjen, $(x_1,y_1)$ och $(x_0,y_0)$.
-<p  align="left"><img src="ppStdFiles2261/783053.gif"  hspace='0' vspace='0' /><br clear='all' />
-Att en punkt $\;(x,y)\;$ ligger på linjen mellan de två punkterna betyder att lutningen mellan $\;(x,y);$ och $\;(x_0, y_0);$ är densamma som lutningen mellan $\;(x_1, y_1);$ och $\;(x_0,y_0);$
-Formeln $\; k=\displaystyle\frac{\Delta y}{\Delta x}\; $ kan vi härleda på följande sätt:
-Enligt r&auml;ta linjens ekvation &auml;r
-(i)
-$y_1=kx_1+m$ och
-(ii)
-$y_0=kx_0+m$.
-(i) ger oss $m = y_1-kx_1$
-och(ii) ger oss $m = y_0-kx_0$.
-Vi har nu tv&aring; uttryck f&ouml;r $m$ som vi kan sätta lika med varandra.
-$  \left\{ \matrix {
-    m=y_1-kx_1 \cr
-    m=y_0-kx_0
-  } \right.\Rightarrow y_1-kx_1=y_0-kx_0\Leftrightarrow$
-$ kx_1-kx_0=y_1-y_0\Leftrightarrow k(x_1-x_0)=y_1-y_0\Leftrightarrow$
-$  k = \displaystyle\frac{y_1-y_0}{x_1-x_0}$
-.
-Ofta skrivs $y_1-y_0=\Delta y$ och $x_1-x_0=\Delta x$ vilket betyder ''förflyttning'' i y-led respektive x-led. Då kan vi skriva
-$  k = \displaystyle\frac{\Delta y}{\Delta x}$
-På en rät linje är $\Delta y$ ''proportionell'' mot $\Delta x$.
-'''Anmärkning:''' Om man har två givna punkter på en rät linje och ska bestämma $k$ så kan man själv välja vilken punkt man vill kalla $(x_1,y_1)$ respektive $(x_0,y_0)$. Notera också att man inte behöver konstanten $m$ för att bestämma $k$. Konstanten $m$ bestäms ofta genom att sätta $x=0$. Då gäller $y = m$, d.v.s. punkten $\;(0,m)\;$ på y-axeln är den punkt där linjen skär y-axeln.
 <div class="exempel">
-'''Exempel 1'''
+'''Exempel 11'''
-Best&auml;m ekvationen f&ouml;r en linje genom punkterna (1,-1) och (3,5).<p  align="center"><img src="ppStdFiles2261/766662.gif"  hspace='0' vspace='0' /><br clear='all' />
-'''Lösning:'''  Vi f&aring;r en lutning
-$ \displaystyle \frac{\Delta y}{\Delta x}=\displaystyle \frac{5-(-1)}{3-1} = \displaystyle \frac{6}{2}=3.
-$
+Skissera området i $x,y$-planet som uppfyller $2 \le 3x+2y\le 4$.
-Vi ser att om vi g&aring;r ett steg i ''x''-led skall vi g&aring; 3 steg i ''y''-led f&ouml;r att fortfarande vara p&aring; linjen.
+Den dubbla olikheten kan delas upp i två olikheter
+$$3x+2y \ge 2 \quad \mbox{och} \quad 3x+2y\le4 \;\mbox{.}$$
-F&ouml;r att vi skall f&aring; sk&auml;rning med ''y''-axeln s&aring; ans&auml;tter vi att linjens ekvation &auml;r $y=3x+m$.
+Flyttar vi över $x$-termerna till högerledet och delar båda led med $2$ får vi
+$$y \ge 1-\frac{3}{2}x \quad \mbox{och} \quad y\le 2-\frac{3}{2}x \;\mbox{.}$$
-S&auml;tt in en av punkterna, vi väljer (3,5), i denna formel och vi f&aring;r att $5=9+m$, d.v.s. $m=-4$.
+De punkter som uppfyller den första olikheten ligger på och ovanför linjen $\,y \ge 1-\frac{3}{2}x\,$ medan de punkter som uppfyller den andra olikheten ligger på eller under linjen $y\le 2-\frac{3}{2}x$.
-Ekvationen f&ouml;r linjen &auml;r
+[[Bild:t_3_1_1c.gif]] [[Bild:t_3_1_3c.gif]]
-s&aring;ledes $y=3x-4$.
+Punkter som uppfyller båda olikheterna tillhör det bandformade område som de gråa områdena ovan har gemensamt.
-'''Svar: ''' Ekvationen är $y=3x-4$
+[[Bild:t_3_1_2c.gif]]
 </div>
+<div class="exempel">
+'''Exempel 12'''
+Om vi ritar upp linjerna $\,y=x$, $\,y=-x\,$ och $\,y=2\,$ s&aring; begr&auml;nsar dessa linjer en triangel, i koordinatsystemet.
-[http://www.theducation.se/kurser/experiment/gyma/applets/ex9_LinjensEkvation/LinjensEkvationApplet.htm  '''Här'''] kan du flytta på punkter på en linje och undersöka hur k och m ändras i linjens ekvation $y = kx + m$ beroende på hur linjen lutar och var linjen skär y-axeln.
+[[Bild:797024.gif‎||center]]
-[http://www.cut-the-knot.org/Curriculum/Calculus/StraightLine.shtml '''Här'''] kan du se hur linjens ekvation kan skrivas utifrån att man vet koordinaterna för två punkter på linjen.
-[http://www.theducation.se/hemsida//gymnasium_komvux/webbaserade_laromedel_och_webbstod/matematik_3000/experimentera_med_den_rata_linjen/index.asp '''Här'''] kan du ändra på k och m och se hur detta påverkar linjens egenskaper.
-===Områden i koordinatsystem===
-Geometriskt kan man tolka p&aring;st&aring;endet att $ y \ge 2 $ som att f&ouml;r alla v&auml;rden p&aring;
-$ x $ s&aring; skall $y$ vara st&ouml;rre &auml;n eller lika med 2.
-Om vi ritar upp linjen $y=2$ i ett kordinatsystem s&aring; ser vi att olikheten g&auml;ller
-f&ouml;r alla punkter $(x,y)$ s&aring; att $y \ge 2$ dvs alla punkter som
-ligger p&aring; eller ovanf&ouml;r linjen.<p  align="center"><img src="ppStdFiles2261/766665.gif"  hspace='0' vspace='0' /><br clear='all' />
-På samma sätt kan vi välja att tolka sambandet $ y \le x $ geometriskt genom att först rita upp linjen $\;y=x\;$ i ett koordinatsystem. Vilka punkter $\;(x,y)\;$ uppfyller sambandet $\;y\le x\;$. Vi kan tolka detta samband som ett villkor som är uppfyllt för alla punkter $(x,y)$ som har st&ouml;rre &auml;n
-eller lika stor ''x''-koordinat som ''y''-koordinat. Vi uppt&auml;cker att det &auml;r de punkter som ligger till höger om denna linje som uppfyller villkoret.<p  align="center"><img src="ppStdFiles2261/766666.gif"  hspace='0' vspace='0' /><br clear='all' />
-<div class="exempel">
-'''Exempel 1'''
-Om vi ritar upp linjerna $ y=x, y=-x \mbox{ och } y=2 $ s&aring; begr&auml;nsar dessa linjer en
-m&aring;ngh&ouml;rning, i detta fall en triangel, i kordinatsystemet.<p  align="center"><img src="ppStdFiles2261/797024.gif"  hspace='0' vspace='0' /><br clear='all' />
 Vi uppt&auml;cker att f&ouml;r att en punkt skall ligga i denna triangel s&aring; m&aring;ste vi s&auml;tta en del krav p&aring; den.
+Vi ser att dess $y$-koordinat m&aring;ste vara mindre &auml;n $2$. Samtidigt ser vi att triangeln ned&aring;t begr&auml;nas av
-Vi ser att dess ''y''-koordinat m&aring;ste vara mindre &auml;n 2. Samtidigt ser vi att triangeln ned&aring;t begr&auml;nas av
 $ y=0$.
+$y$-koordinaten m&aring;ste s&aring;ledes ligga i intervallet $ 0\le y\le2$.
+F&ouml;r $x$-koordinaten blir det lite mer komplicerat. Vi ser att $x$-koordinaten m&aring;ste ligga ovanf&ouml;r linjerna
-''y''-koordinaten m&aring;ste s&aring;ledes ligga i intervallet $ 0\le y\le2$.
-F&ouml;r ''x''-koordinaten blir det lite mer komplicerat. Vi ser att ''x''-koordinaten m&aring;ste ligga ovanf&ouml;r linjerna
 $y=-x \mbox{ och } y=x$. Vi ser att detta &auml;r uppfyllt d&aring; $-y\le x\le y$.
+Eftersom vi redan har begr&auml;nsningar f&ouml;r $y$-koordinaten s&aring; ser vi att $x$ inte kan vara st&ouml;rre &auml;n $2$
+och mindre &auml;n $-2$ automatiskt.
+Vi ser att basen i triangeln blir $4$ l&auml;ngdenheter och h&ouml;jden $2$ l&auml;ngdenheter.
-Eftersom vi redan har begr&auml;nsningar f&ouml;r ''y''-koordinaten s&aring; ser vi att ''x'' inte kan vara st&ouml;rre &auml;n 2
-och mindre &auml;n -2 automatiskt.
-Vi ser att basen i triangeln blir 4 l&auml;ngdenheter och h&ouml;jden 2 l&auml;ngdenheter.
+Arean av denna triangel blir allts&aring; $ 4\cdot 2/2=4$ areaenheter.
-Arean av denna triangel blir allts&aring; $ 4\cdot 2/2=4$areaenheter.
 </div>
+[[2.2 Övningar|Övningar]]
+<div class="inforuta">
+'''Råd för inläsning'''
-Linj&auml;ra ekvationer uppst&aring;r alltid n&auml;r man vill best&auml;mma sk&auml;rningspunkten mellan tv&aring; linjer:
+'''Grund- och slutprov'''
+Efter att du har läst texten och arbetat med övningarna ska du göra grund- och slutprovet för att bli godkänd på detta avsnitt. Du hittar länken till proven i din student lounge.
-<div class="exempel">
-'''Exempel 1'''
-Sk&auml;rningspunkten f&ouml;r linjerna $ y=3x+1 $ och $ y=2-x $ skall best&auml;mmas. I en skärningspunkt måste y-koordinaterna vara lika. Man f&aring;r sk&auml;rningspunktens x-koordinat genom s&auml;tta h&ouml;gerleden f&ouml;r linjernas ekvationer lika med varandra och d&auml;refter l&ouml;sa ut ''x'':
-$
-x+1=2-x
-$
-$
-x=1
-$
-$
-x=\displaystyle \frac{1}{4}
-$
-Insättning ger y-koordinaten $ y=3\cdot \displaystyle \frac{1}{4}+1=\displaystyle \frac{7}{4} $.
-Man hade lika g&auml;rna kunnat ber&auml;kna ''y'' med hj&auml;lp av den andra linjens ekvation:
-$ y=2-\displaystyle \frac{1}{4}=\displaystyle \frac{7}{4} $.
-Sk&auml;rningspunkten &auml;r allts&aring; (1/4, 7/4).
-</div>
-<div class="inforuta">
-'''Råd för inläsning'''
 Rita egna figurer när du löser geometriska problem och att vara noggrann när du ritar! En bra figur kan vara halva lösningen, men en dålig figur kan lura en.
-Observera att man skiljer på längdskala, areaskala och volymskala.
-Två figurer är likformiga om alla inbördes avstånd är förändrade i samma skala. För polygoner (månghörningar) innebär detta att motsvarande vinklar är lika stora och att förhållandet mellan motsvarande sidor är lika. Om dessutom alla inbördes avstånd är oförändrade så är de båda figurerna kongruenta.
 '''Lästips'''
 för dig som vill fördjupa dig ytterligare eller behöver en längre förklaring vill vi tipsa om:
-<img src="ppStdFiles2261/779513.gif"  align="left" hspace='0' vspace='0' />
 [http://matmin.kevius.com/linje.html Läs mer om räta linjens ekvation i Bruno Kevius matematiska ordlista]
-[http://www.cut-the-knot.org/ctk/Parabola.shtml Läs mer om paraboler i "Cut the Knot"]
 '''Länktips'''
-<img src="ppStdFiles2261/779514.gif"  align="left" hspace='10' vspace='15' />
-[http://www.theducation.se/kurser/experiment/gyma/applets/ex9_LinjensEkvation/LinjensEkvationApplet.htm Undersök sambandet melan en rät linje och dess ekvation]
 [http://www.cut-the-knot.org/Curriculum/Calculus/StraightLine.shtml Experimentera med Räta linjens ekvation]
 [http://www.cut-the-knot.org/Curriculum/Geometry/ArchimedesTriangle.shtml Experimentera med Archimedes triangel & andragradskurvor ]
-[http://www.theducation.se/kurser/umaprep/3_geometri/gymab/rakneuppgifter/index.asp Här kan du träna på fler geometriska räkneuppgifter]
 </div>
-'''© Copyright 2006, KTH Matematik'''
 <!-- slut teori -->
 <!--ej wiki</div></td>-->
-<td valign="top">
+<!-- <td valign="top"> -->
 <!-- rätt/fel in här -->
-</td><!--ej i wiki</tr></table>-->
+</td><!--ej i wiki -->
+</tr></table>