2.3 Andragradsuttryck

Sommarmatte 1

(Skillnad mellan versioner)
Hoppa till: navigering, sök
Versionen från 23 april 2007 kl. 15.00 (redigera)
Lina (Diskussion | bidrag)

← Gå till föregående ändring
Versionen från 23 april 2007 kl. 15.21 (redigera) (ogör)
Lina (Diskussion | bidrag)
(Teori)
Gå till nästa ändring →
Rad 32: Rad 32:
=Teori= =Teori=
 +==Andragradsekvationer==
 +En andragradsekvation är en ekvation som kan skrivas som
 +<div class="regel">
 +$$x^2+px+q=0$$
 +</div>
 +där $x$ är den obekanta och $p$ och $q$ är konstanter.
 +
 +
 +Enklare typer av andra gradsekvationer kan vi lösa direkt genom roturdragning.
 +<div class="regel">
 +Ekvationen $x^2=a$ där $a$ är ett postivt tal har två lösningar (rötter) $x=\sqrt{a}$ och $x=-\sqrt{a}$.
 +</div>
 +
 +<div class="exempel">
 +'''Exempel 1'''
 +
 +Exempeltext, använd nedanstående numrering
 +<ol type="a">
 +<li>$x^2 = 4 \quad$ har rötterna $x=\sqrt{4} = 2$ och $x=-\sqrt{4}= -2$ <br><br>
 +<li>$2x^2=18 \quad$ skrivs om till $x^2=9$ och har rötterna $x=\sqrt9 = 3$ och $x=-\sqrt9 = -3$.<br><br>
 +<li>$3x^2-15=0 \quad$ kan skrivas som $x^2=5$ och har rötterna $x=\sqrt5 \approx 2,236$ och $x=-\sqrt5 \approx -2,236$.<br><br>
 +<li>$9x^2+25=0\quad$ saknar lösningar eftersom vänsterledet kommer alltid att vara större än eller lika med $25$ oavsett hur $x$ väljs (kvadraten $x^2$ är alltid större eller lika med noll).
 +</ol>
 +
 +</div>
 +
 +
En andragradsekvation &auml;r en ekvation d&auml;r variabeln f&ouml;rekommer endast upph&ouml;jd till 1 och upph&ouml;jd till 2, exempelvis En andragradsekvation &auml;r en ekvation d&auml;r variabeln f&ouml;rekommer endast upph&ouml;jd till 1 och upph&ouml;jd till 2, exempelvis

Versionen från 23 april 2007 kl. 15.21

Innehåll

2.3 Andragradsuttryck

Innehåll:

  • Kvadratkomplettering
  • Andragradsekvationer
  • Faktorisering

Läromål:

Efter detta avsnitt ska du ha lärt dig att:

  • Kvadratkomplettera andragradsuttryck.
  • Lösa andragradsekvationer med kvadratkomplettering (ej färdig formel) och veta hur man kontrollerar svaret.
  • Fakorisera andragradsuttryck (när det är möjligt).
  • Direkt lösa faktoriserade eller nästan faktoriserade andragradsekvationer.
  • Bestämma det minsta/största värde ett andragradsuttryck antar.

Övningar

Teori

Andragradsekvationer

En andragradsekvation är en ekvation som kan skrivas som

$$x^2+px+q=0$$

där $x$ är den obekanta och $p$ och $q$ är konstanter.


Enklare typer av andra gradsekvationer kan vi lösa direkt genom roturdragning.

Ekvationen $x^2=a$ där $a$ är ett postivt tal har två lösningar (rötter) $x=\sqrt{a}$ och $x=-\sqrt{a}$.

Exempel 1

Exempeltext, använd nedanstående numrering

  1. $x^2 = 4 \quad$ har rötterna $x=\sqrt{4} = 2$ och $x=-\sqrt{4}= -2$

  2. $2x^2=18 \quad$ skrivs om till $x^2=9$ och har rötterna $x=\sqrt9 = 3$ och $x=-\sqrt9 = -3$.

  3. $3x^2-15=0 \quad$ kan skrivas som $x^2=5$ och har rötterna $x=\sqrt5 \approx 2,236$ och $x=-\sqrt5 \approx -2,236$.

  4. $9x^2+25=0\quad$ saknar lösningar eftersom vänsterledet kommer alltid att vara större än eller lika med $25$ oavsett hur $x$ väljs (kvadraten $x^2$ är alltid större eller lika med noll).


En andragradsekvation är en ekvation där variabeln förekommer endast upphöjd till 1 och upphöjd till 2, exempelvis

$ x^2 - 4 = 0$

$ 2x^2 + 7x - 4 = 0$

etc. Ofta föredrar man att skriva ekvationen på den så kallade normalformen

$ x^2 + px + q = 0, $


där p och q är konstanter. Lösningen till en andragradsekvation ges av den allmänna formeln

$ x = - \displaystyle\frac{p}{2} \pm \sqrt{\left(\displaystyle\frac{p}{2}\right)^2-q} $ (*)


I många fall är det dock fördelaktigt att lösa en andragradsekvation med en annan metod än den allmänna formeln, t.ex. genom faktorisering. Det minskar risken för slarvfel.

Exempel 1

  1. $matte$

  2. text

</div Lös ekvationen

$ x^2 - 4x = 0$

Lösning:

I vänsterledet kan vi bryta ut ett x. Vi får

$ x^2 - 4x = x(x - 4) = 0. $


Ekvationen är uppfylld när produkten blir noll. Detta inträffar när någon av faktorerna är noll, dvs då

x = 0 eller (x - 4) = 0,

vilket betyder

x = 0 eller x = 4 |}




Tips:

Tänk på att man alltid kan pröva lösningar till en ekvation genom att sätta in värdet och se om likheten blir uppfylld. Man gör detta för att upptäcka eventuella slarvfel. För exemplet ovan har vi två fall att pröva. Vi kallar vänster- och högerleden för VL respektive HL:

x = 0 medför

$ \mbox{VL} = 0^2 - 4\cdot0 = 0 = \mbox{HL} $

x = 4 medför $ \mbox{VL} = 4^2 - 4\cdot4 = 0 = \mbox{HL} $

I båda fallen kommer vi fram till VL = HL. Ekvationen är alltså uppfylld i båda fallen. x = 0 och x = 4 är lösningar till ekvationen.


Exempel 2

  1. $matte$

  2. text

</div Lös ekvationen $ x^2 - 3 = 0 $

Lösning: Flytta över konstanten till högerledet.

$ x^2 = 3 $

$ x = \pm \sqrt{3} $

$ x = \sqrt{3} $ eller $ x = - \sqrt{3} $

|}


Kvadratkomplettering

Med hjälp av kvadratkomplettering (se även avsnitt 3.2) kan man använda tekniken i exempel 2 för alla andragradsekvationer.

Exempel 3

  1. $matte$

  2. text

</div Lös ekvationen $ x^2 + 4x - 12 = 0 $

Lösning: Vi vill använda tekniken i exempel 2, dvs något i kvadrat skall bli en konstant. Det som tas i kvadrat måste vara x + 2 för att termerna som innehåller x skall stämma, men detta motsvarar inte exakt det som vi har i vänsterledet. Detta löser vi med kvadratkomplettering. Eftersom $ (x + 2)^2 = x^2 + 4x + 4 $

så kan vi konstatera att

$ x^2 + 4x = (x + 2)^2 - 4 $

Vi sätter in detta i den givna ekvationen

$ x^2 + 4x - 12 = 0 $

$ (x + 2)^2 - 4 - 12 = 0 $

$ (x + 2)^2 - 16 = 0 $

$ (x + 2)^2 = 16 $

$ x + 2 = \pm 4 $

$ x + 2 = 4 $ eller $ x + 2 = -4 $

$ x = 4 - 2 = 2 $ eller $ x = -4 - 2 = -6 $

Svar: Lösningarna är x = 2 och x = -6.

|}


Kontrollera gärna svaret med den allmänna lösningsformeln! Den procedur som genomförs i Exempel 3 kan också utföras på den allmänna ekvationen $ x^2 + px + q = 0$

Det visar sig då att man efter kvadratkomplettering och rotutdragning får den allmänna lösningsformeln (*) ovan.

Kvadratkomplettering gör det också möjligt att direkt se vilket som är det största eller minsta värdet som ett andragradsuttryck kan anta.

I Exempel 3 fann vi att $ x^2 + 4x - 12 = (x + 2)^2 - 16 $

Termen $(x + 2)^2$ är en kvadrat, och kan alltså inte vara negativ. Som minst är den noll. Därför är det minsta värdet som uttrycket $ x^2 + 4x - 12 $

kan anta -16, och detta värde antas när parentesen är noll, dvs för x = -2. Detta kommer att användas i avsnitt 3.3. I Exempel 3 blev resultatet av kvadratkompletteringen $ (x + 2)^2 - 16 $

Konstanttermens tecken (här ” - ”) är viktigt. Den negativa konstanttermen i exemplet gjorde det möjligt att lösa motsvarande andragradsekvation med rotutdragning i bägge led av $ (x + 2)^2 = 16 $

(Alternativt kan man faktorisera $ (x + 2)^2 - 16 $ med konjugatregeln.) Om man istället får en positiv konstantterm innebär det att andragradsuttrycket saknar nollställen, eftersom kvadraten inte kan bli negativ, och därmed kan uttrycket inte bli noll. Sådana uttryck kan inte faktoriseras (se avsnitt 2.5 om faktorisering). En positiv konstantterm motsvarar ett negativt uttryck under rottecknet i allmänna lösningsformeln (*).


Exempel 4

  1. $matte$

  2. text

</div Lös ekvationen

$ x^2 + 8x + 19 = 0 $

Lösning: $ x^2 + 8x + 19 = $

$ (x + 4)^2 - 16 + 19 = $

$ (x + 4)^2 + 3 $

Detta kan inte bli noll. Kvadratens minsta värde är noll, och då blir uttryckets värde 3.


Från figuren nedan förstår vi varför, hela kurvan ligger ovanför x-axeln!

<img src="ppStdFiles2261/772636.gif" hspace='0' vspace='0' />
Svar: Ekvationen saknar reella lösningar. |}

Andragradskurvor:

En andragradskurva kan beskrivas som de punkter $\;(x,y)\;$ som uppfyller en ekvation som är ett polynom där den term som har högsta graden har grad 2. Ett exempel skulle kunna vara


$ y=2x^2+3x+4. $ Mer allmänt kan man skriva

$ax^2+bx+c$



Hur gör man för att enklast kunna beskriva utseendet för en sådan andragradskurva? Rent generellt så har en andragradskurva enbart ett lokalt minimum eller maximum. Samtidigt kan den maximalt skära x-axeln på två ställen och y-axeln på ett ställe.


Hur skall man kunna hitta dessa punkter?


För enkelhetsskull så antar vi ovan att $a=1$, d.v.s. $y=x^2+bx+c$ Vi vill kunna skriva formen för en andragradskruva som en jämn kvadrat plus en konstant. Efter kvadratkomplettering ser att vi kan skriva uttrycket som


$ y=\left(x+\displaystyle \frac{b}{2}\right)^2 +c-\displaystyle \frac{b^2}{4}. $


Detta uttyck kan minimalt bli $ c- \displaystyle \frac{b^2}{4} $ eftersom kvadraten inte kan bli mindre än 0. Vi ser alltså att minpunkten blir


$ (x,y)=\left(-\displaystyle \frac{b}{2},c-\displaystyle \frac{b^2}{4}\right) $


I motsvarande fall om $a=-1$ så får vi att $\;y=-x^2+bx+c \;$ har maxpunkt i $(b/2,c+b^2/4)$. Skärning med x-axeln fås då y=0 och det är inte säkert att det är uppfyllt dvs sambandet har ett minimivärde som är större än 0. Vi har nu en kurva med ekvation


$ y=ax^2+bx+c. $


Efter kvadratkomplettering så inser vi att konstanten $a$ bestämmer formen på kurvan medan $a,b \mbox{ och } c$ alla är med och bestämmer positionen av minimi-/maximivärdet hos kurvan. Eftersom en andragradskurva enbart har en maximi eller minimi-punkt så är det ganska enkelt att bestämma formen hos kurvan. För enkelhetsskull antar vi nu att $b \mbox{ och } c = 0.$ Vi har alltså ett samband


$ y=ax^2 $





Polariteten hos $a$ bestämmer om kurvan har ett maxvärde eller minvärde dvs om den pekar uppåt eller nedåt. Vi ser att koefficienten $ a $ trycker ihop/drar ut kurvan $ y=x^2,$ beroende på om $a<1$ eller om $ a>1$. <p align="center"><img src="ppStdFiles2261/766663.gif" hspace='0' vspace='0' />




Position i vertikalled (dvs i y-led) styrs av konstanten $c$. Vi låter nu $a=1$ och $b=0$ ovan. Vi ser att $ y=x^2+2 $ har minsta värde 2 medan $ y=x^2 $ har minsta värde 0. $ y=x^2$ kan alltså enkelt ritas i ett koordinatsystem genom att föorflytta $ y=x^2$ två längdenheter i positiv y-riktning. <p align="center"><img src="ppStdFiles2261/766664.gif" hspace='0' vspace='0' />




Position i horisontalled styrs av konstanten b. Låt nu a=1 och c=0 ovan. Vi har då kurvan $ y=x^2+bx$.


Om vi kvadratkompletterar så får vi att $ y=\left(x+\displaystyle \frac{b}{2}\right)^2-\displaystyle \frac{b^2}{4} $ Vi ser alltså att $ y $ kan vara minimalt $ -\,\displaystyle \frac{b^2}{4} $ då $ x=-\,\displaystyle \frac{b}{2}$. Vi kan alltså sammanfatta att koefficienten $b$ gjorde att minpunkten flyttades från origo till punkten $ \left(-\,\displaystyle \frac{b}{2},-\,\displaystyle \frac{b^2}{4}\right) $ <p align="center"><img src="ppStdFiles2261/766668.gif" hspace='0' vspace='0' />




Vad som också kan vara av intresse är skärningspunkter mellan en andragradskurva och x-axeln.


Vi har ovan noterat att det inte behöver vara så att en andragradskurva skär x-axeln. Det kan också vara att den tangerar x-axeln eller att den skär x-axeln i två punkter.


Antag att vi har en andragradskurva $y=ax^2+bx+c$. Skärningspunkter med x-axeln fås genom att lösa ekvationen $ y=0 $ dvs $ ax^2+bx+c = 0$. Observera att $y=0$ för alla punkter på x-axeln.


Exempel 5

  1. $matte$

  2. text

</div

Bestäm skärningspunkter med x-axeln och $ y=x^2-4x-5. $

Lösning:


$ y=0 $ på x-axeln. Vi har alltså att lösa ekvationen $ x^2-4x-5=0. $


Kvadratkomplettering ger att:


$ x^2-4x-5 = (x-2)^2-4-5=(x-2)^2-3^2 $={konjugatregeln}=


$ (x-2-3)(x-2+3)=(x-5)(x+1) $ vilket är 0 då $ x=5 $ eller $ x=-1. $


Svar: $\left\{ \matrix {x_1=5 \cr x_2=-1 } \right.$


|}


Råd för inläsning

Tänk på att:

Att ställa upp ekvationer är som att översätta från ett språk till ett annat. Denna jämförelse användes av Newton i hans Arithmetica Universalis. Kanske kan den bidra till att öka förståelsen för de svårigheter som både studenter och lärare ställs inför, ibland.

Lägg ner mycket tid på algebra! Algebra är matematikens alfabet. När du väl har förstått algebra, kommer din förståelse av statistik, yta, volym och geometri vara mycket större.


Lästips

för dig som vill fördjupa dig ytterligare eller skulle vilja ha en längre förklaring

Läs mer om andragradsekvationer på engelska Wikipedia

Läs mer om andragradsekvationer i MathWorld

101 uses of a quadratic equation - by Chris Budd and Chris Sangwin


Länktips

Experimentera - När väger ekvationens led lika?

Träna på andragradsekvationer och slå ditt personliga rekord.


© Copyright 2006, KTH Matematik




Personliga verktyg