3.1 Rötter

Övningar

Teori

teori

$$ fristående formel dubbla dollar $$

teori igen

teori igen

Kvadratrötter

Symbolen $ \sqrt{a} $ , kvadratroten ur $a$, används som bekant för att beteckna det tal som multiplicerat med sig självt blir $a$. Man måste dock vara lite mer exakt när man definierar denna symbol.

Ekvationen  $ x^2 = 4 $  har två lösningar, x = 2 och x = -2, eftersom såväl $ 2\cdot 2 = 4 $  som  $ (-2)\cdot(-2) = 4$. Man skulle då kunna tro att $ \sqrt{4} $ kan vara vilket som helst av $-2$ och $2$, dvs. $\sqrt{4}= \pm 2$, men $\sqrt{4}$ betecknar bara det postiva talet $2$. Vi har att

$\sqrt{a} $  kvadratroten ur  $ a $  betecknar det icke-negativa tal som multiplicerat med sig

självt blir  $ a $, dvs. den icke-negativa lösningen till ekvationen  $ x^2 = a. $

Kvadratroten ur  $ a $  kan även skrivas  $ a^{1/2}.$

Det är därför fel att påstå att $ \sqrt{4}= \pm 2$, men korrekt att säga att ekvationen $ x^2 = 4 $  har lösningarna $ x = \pm 2$. T.ex. gäller därmed att $-\sqrt{4}=-2$ och inget annat.

När man räknar med kvadratrötter kan det vara bra att känna till några räkneregler. Eftersom  $ \sqrt{a} = a^{1/2} $  kan vi överföra potenslagarna till "rotlagar". Vi har t.ex. att

$$\sqrt{9\cdot 4} = (9\cdot 4)^{1/2} = 9^{1/2}\cdot 4^{1/2} = \sqrt{9}\cdot \sqrt{4}$$

På detta sätt kan vi få fram följande räkneregler för kvadratrötter, som gäller för alla reella tal $ a, b \ge 0:$

$\sqrt{ab}=\sqrt{a}\cdot \sqrt{b}$

|}

(Vi måste dock vid divisionen ovan som vanligt förutsätta att b inte är 0.)

a) $\sqrt{64\cdot 81}=\sqrt{64}\cdot \sqrt{81}=8\cdot 9 =72 $

b) $ \sqrt{\displaystyle\frac{9}{25}} =\displaystyle\frac{\sqrt{9}}{ \sqrt{25}}= \displaystyle\frac{3}{5} $

c) $ \sqrt{18} \cdot \sqrt{2} =\sqrt{18 \cdot 2} = \sqrt{36} = 6 $

d) $ \displaystyle\frac{\sqrt{75}}{\sqrt{3}} = \sqrt{\displaystyle\frac{75}{3}} = \sqrt{25} = 5 $

e) $ \sqrt{12} = \sqrt{ 4 \cdot 3 } = \sqrt{4} \cdot \sqrt{3} = 2\sqrt{3} $

Observera att räknereglerna ovan förutsätter att $ a \mbox{ och } b \ge 0.$ Om a och b är negativa (< 0) så är inte $ \sqrt{a} $  och  $ \sqrt{b} $  definierade som reella tal. Man skulle kunna frestas att skriva

$ -1 = \sqrt{-1} \cdot \sqrt{-1} = \sqrt{ (-1) \cdot (-1) } = \sqrt{1} = 1 $

men ser då att något inte stämmer. Anledningen är att  $ \sqrt{-1} $  inte är ett reellt tal, vilket alltså gör att räknereglerna ovan inte får användas.

N-te rötter

Kubikroten ut ett tal $a$ definieras som det tal som multiplicerat med sig själv tre gånger ger $a$, och betecknas $\sqrt[3]{a}$.

a) $\quad \sqrt[3]{8} = 2 \quad$ eftersom $\; 2 \cdot 2 \cdot 2=8$.

b) $\quad \sqrt[3]{0{,}027} = 0{,}3 \quad$ eftersom $\; 0{,}3 \cdot 0{,}3 \cdot 0{,}3=0{,}027$.

c) $\quad \sqrt[3]{-8} = -2 \quad$ eftersom $\; (-2) \cdot (-2) \cdot (-2)= -8$. |}

Notera att, till skillnad fån kvadratrötter, är kubikrötter även definierade för negativa tal.

Det går sedan att för postiva heltal $n$ definiera n:te roten ur ett tal $a$ som

• om $n$ är jämn och $a\ge0$ är $\sqrt[n]{a}$ det icke-negativa tal som multiplicerat sig själv $n$ gånger blir $a$
• om $n$ är udda sä är $\sqrt[n]{a}$ det tal som multiplicerat med sig själv $n$ gånger blir $a$

Roten $\sqrt[n]{a}$ kan även skrivas som $a^{1/n}$.

$ \mbox{ a) } \sqrt[4]{625} = 5$ eftersom $5 \cdot 5 \cdot 5 \cdot 5 = 625 $

$ \mbox{ b) } \sqrt[5]{-243} = -3$ eftersom $(-3) \cdot (-3) \cdot (-3) \cdot (-3) \cdot (-3) = -243 $

$ \mbox{ c) } \sqrt[6]{-17}$ är inte definierad eftersom $6$ är jämn och $-17$ är ett negativt tal. $

För n-te rötter gäller samma räkneregler som för kvadratrötter om $ a, \: b \ge 0 .$ OBS! om n är udda gäller de även för negativa a och b, dvs. för all reella tal a, b.

Förenkling av rotuttryck

Ofta kan man genom att använda räknereglerna för rötter förenkla rotuttryck väsentligt. Liksom vid potensräkning handlar det ofta om att bryta ner uttryck i så "små" rötter som möjligt. Exempelvis gör man gärna omskrivningen

$\sqrt{8}=\sqrt{4\cdot2} = \sqrt{4} \cdot \sqrt{2} = 2\sqrt{2}$

eftersom man då kan förenkla t.ex.

$\displaystyle\frac{\sqrt{8}}{2} = \displaystyle\frac{2 \sqrt{2}}{2} = \sqrt{2} $

Genom att skriva rotuttryck i termer av "små" rötter kan man också addera rötter av "samma sort", t.ex.

$\sqrt{8} + \sqrt{2} = 2\sqrt{2} + \sqrt{2} = (2+1)\sqrt{2} =3\sqrt{2}$

$ \mbox{ a) } \displaystyle\frac{\sqrt{8}}{\sqrt{18}} = \displaystyle\frac{\sqrt{2 \cdot 4}}{\sqrt{2 \cdot 9}} = \displaystyle\frac{\sqrt{2 \cdot 2 \cdot 2}}{\sqrt{2 \cdot 3 \cdot 3}} = \displaystyle\frac{\sqrt{2 \cdot 2^2}}{\sqrt{2 \cdot 3^2}} = \displaystyle\frac{2\sqrt{2}}{3\sqrt{2}} = \displaystyle\frac{2}{3} $

$ \mbox{ b) } \displaystyle\frac{\sqrt{72}}{6} = \displaystyle\frac{\sqrt{8 \cdot 9}}{ 2 \cdot 3} = \displaystyle\frac{\sqrt{2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 3 \cdot 3}}{ 2 \cdot 3} = \displaystyle\frac{\sqrt{2^2 \cdot 3^3 \cdot 2}}{ 2 \cdot 3} = \displaystyle\frac{2 \cdot 3\sqrt{2}}{2 \cdot 3} = \sqrt{2} $

$ \mbox{ c) } \sqrt{45} + \sqrt{20} = \sqrt{9\cdot5} + \sqrt{4\cdot5} = \sqrt{3^2\cdot5} + \sqrt{2^2\cdot5} = 3\sqrt{5} + 2\sqrt{5} = (3+2)\sqrt{5} = 5\sqrt{5} $

$ \mbox{ e) } \displaystyle\frac{ 2\cdot\sqrt[\scriptstyle3]{3} }{ \sqrt[\scriptstyle3]{12} } = \displaystyle\frac{ 2\cdot\sqrt[\scriptstyle3]{3} }{ \sqrt[\scriptstyle3]{3 \cdot 4} } = \displaystyle\frac{ 2\cdot\sqrt[\scriptstyle3]{3} }{ \sqrt[\scriptstyle3]{3} \cdot \sqrt[\scriptstyle3]{4} } = \displaystyle\frac{ 2 }{ \sqrt[\scriptstyle3]{4} } = \displaystyle\frac{ 2 }{ \sqrt[\scriptstyle3]{2 \cdot 2} } = \displaystyle\frac{ 2 }{ \sqrt[\scriptstyle3]{2} \cdot \sqrt[\scriptstyle3]{2} } \cdot \displaystyle \frac{\sqrt[\scriptstyle3]{2}} {\sqrt[\scriptstyle3]{2}} = \displaystyle\frac{ 2\cdot\sqrt[\scriptstyle3]{2} }{ 2 } = \sqrt[\scriptstyle3]{2} $

$ \mbox{ f) } (\sqrt{3} + \sqrt{2})(\sqrt{3} - \sqrt{2}) = (\sqrt{3})^2-(\sqrt{2})^2 = 3-2 = 1 $

$ \mbox{ (Konjugatregeln: } (a+b)(a-b) = a^2 - b^2) $

Rationella rotuttryck

När rötter förekommer i ett rationellt uttryck vill man ofta undvika rötter i nämnaren (eftersom det är svårt vid handräkning att dividera med irrationella tal). Genom att förlänga med  $ \sqrt{2} $  kan man exempelvis göra omskrivningen

$$\displaystyle\frac{1}{\sqrt{2}} = \displaystyle\frac{1\cdot\sqrt{2}}{\sqrt{2}\cdot\sqrt{2}} = \displaystyle\frac{\sqrt{2}}{2}$$

vilket oftast är att föredra.

I andra fall kan man utnyttja konjugatregeln, $ (a+b)(a-b) = a^2 - b^2 $, och förlänga med nämnarens s.k. konjugerade uttryck. På så sätt försvinner rottecknen från nämnaren, t.ex.

$$ \displaystyle\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{2}+1} = \displaystyle\frac{\sqrt{3}}{(\sqrt{2}+1)} \cdot \frac{\sqrt{2}-1}{\sqrt{2}-1} = \displaystyle\frac{\sqrt{3}(\sqrt{2}-1)}{(\sqrt{2}+1)(\sqrt{2}-1)} = \displaystyle\frac{\sqrt{3} \cdot \sqrt{2} - \sqrt{3} \cdot 1}{ (\sqrt{2})^2 - 1^2 } = \displaystyle\frac{\sqrt{3 \cdot 2} - \sqrt{3}}{ 2 - 1 } = \displaystyle\frac{\sqrt{6} - \sqrt{3}}{ 1 } = \sqrt{6} - \sqrt{3} $$

© Copyright 2006, KTH Matematik