Exempel 1

Exempeltext, använd nedanstående numrering

1. $matte$
2. text

Exempel 1

Lös ekvationerna

1. $10^x = 537 \quad \quad$ som har lösningen $x = \lg 537$.
   
   
2. $10^{5x} = 537 \quad \quad$ ger att $5x= \lg 537$ , d.v.s. $x= \displaystyle \frac{1}{5} \lg 537$
   
   
3. $\displaystyle \frac{3}{e^x} = 5 \quad \quad$

   Lösning:

   Multiplicerar båda led med $e^x$

   $$3=5e^x \; \mbox{.}$$

   Dividera båda led med $5$

   $$\frac{3}{5} = e^x$$

   vilket ger att $x=\ln \frac{3}{5}$.
   
   

4. $(\sqrt{10})^x = 25 \quad $

   Lösning:

   Eftersom $\sqrt{10} = 10^{1/2}$ är vänsterledet lika med $(\sqrt{10})^x = (10^{1/2})^x = 10^{x/2}$ och ekvationen lyder

   $$10^{x/2} = 25$$

   Lösningen är $\displaystyle \frac{x}{2} = \lg 25, $ d.v.s. $x= 2 \lg 25$.
   
   

5. $\lg x = 3 \quad \quad \quad$ Definitionen ger direkt att $x=10^3 = 1000$.
   
   
6. $\lg(2x-4) = 2 \quad$

   Lösning:

   Från definitionen har vi att.

   $$2x-4 = 10^2 = 100$$

   och då följer att $x = 52$.
   
   

7. $\displaystyle \frac{3 \ln 2x}{2} + 1 = \displaystyle \frac{1}{2}\quad$

   Lösning:

   Multiplicerar båda led med $2$ och subtrahera sedan $2$ från båda led

   $$ 3 \ln 2x = -1$$

   Dividera båda led med $3$

   $$ \ln 2x = -\displaystyle \frac{1}{3} $$

   Nu ger definitionen direkt att $2x = e^{-1/3}$, vilket betyder att

   $$ x = \displaystyle \frac{1}{2} e^{-1/3} = \displaystyle \frac{1}{2e^{1/3}} $$

Exempel 2

Lös ekvationen

1. $ 3^x = 20$

   Lösning:

   Logaritmera båda led

   $$\lg 3^x = \lg 20$$

   Vänsterledet kan skrivas som $+lg 3^x = x \cdot \lg 3$

   och då får vi att

   $$x = \displaystyle \frac{\lg 20}{\lg 3} \;\;\;\;\; (\approx 2,727)$$
   
   
2. $ 5000 \cdot 1,05^x = 10 \: 000$

   Lösning:

   Dividera båda led med 5000

   $$1,05^x = \displaystyle \frac{ 10 \: 000}{5000} = 2$$

   Denna ekvation löser vi genom att logaritmera båda led med $\lg$ och skriva om vänsterledet som $\lg 1,05^x = x \cdot \lg 1,05$

   $$x = \displaystyle \frac{\lg 2}{\lg 1,05} \;\;\;\;\; (\approx 14,2)$$
   
   
3. $ 2^x \cdot 3^x = 5$

   Lösning:

   Vänsterledet kan skriva om med potenslagarna till $(2 \cdot 3)^x = 5$ och ekvationen blir

   $$6^x = 5$$

   Denna grundekvation löser vi på vanligt sätt med logaritmering och får

   $$x = \displaystyle \frac{\lg 5}{\lg 6}$$
   
   
4. $ 5^{2x + 1} = 3^{5x}$

   Lösning:

   Logaritmera båda led och använd logaritmlagen $\lg a^b = b \cdot \lg a$

   $$(2x+1)\lg 5 = 5x \cdot \lg 3$$ $$2x \cdot \lg 5 + \lg 5 = 5x \cdot \lg 3$$

   Samla $x$ i ena ledet

   $$\lg 5 = 5x \cdot \lg 3 -2x \cdot \lg 5$$ $$\lg 5 = x (5 \lg 3 -2 \lg 5)$$

   Lösningen är

   $$x = \displaystyle \frac{\lg 5}{5 \lg 3 -2 \lg 5}$$

Exempel 3

Lös ekvationen $\displaystyle \displaystyle \frac{6e^x}{3e^x+1}=\displaystyle \displaystyle \frac{5}{e^{-x}+2}$

Multiplicera båda led med $3e^x+1$ och $e^{-x}+2$ för att få bort nämnarna

$$6e^x(e^{-x}+2) = 5(3e^x+1)$$

Notera att eftersom $e^x$ och $e^{-x}$ alltid är postiva oavsett värdet på $x$ så multiplicera vi alltså ekvationen med faktorer $3e^x+1$ och $e^{-x} +2$ som är skilda från noll, så detta steg introducerar inga nya falska rötter till ekvationen.

Förenkla båda led $$6+12e^x = 15e^x+5$$

där vi använt att $e^{-x} \cdot e^x = e^{-x + x} = e^0 = 1$. Betraktar vi nu $e^x$ som obekant är ekvationen väsentligen en förstagradsekvation som har lösningen

$$e^x=\displaystyle \displaystyle \frac{1}{3}$$

En logaritmering ger svaret

$$x=\ln{\displaystyle \displaystyle \frac{1}{3}}= \ln 3^{-} = -1 \cdot \ln 3 = -\ln(3)$$

Exempel 1

Lös ekvationen $ 3 \cdot 2^x=e^x $

$ \ln(3) + \ln(2^x) = \ln(e^x) $

$ \ln(3) + x \ln(2) =x \ln(e) $

$ \ln(3) + x \ln(2) = x $

$ \ln(3) = (1-\ln(2))x $

$ x=\displaystyle \displaystyle \frac{\ln(3)}{1-\ln(2)} $

Exempel 1

Exempeltext, använd nedanstående numrering

1. $matte$
2. text

Lös ekvationen

$ \mbox{ a) } \lg x + \lg 2 = 2 $

Lösning:

$ \lg 2x = 2 $

$ 2x = 10^2 = 100 $

$ x = 50 $

$ \mbox{ b) } 2 \ln x - \ln 2x = 4 $

Lösning:

$ \ln x^2 - \ln 2x = 4 $

$ \ln \displaystyle \frac{x^2}{2x} = \ln \displaystyle \frac{x}{2} = 4 $

$ \displaystyle \frac{x}{2} = e^4 $

$ x = 2 \cdot e^4 $

$ \mbox{ c) } \lg x + 3 \lg 2 = 2 \lg 12 $

Lösning:

$ \lg x = 2 \lg 12 - 3 \lg 2 = \lg 12^2 - \lg 2^3 = \lg \displaystyle \frac{12^2}{2^3} = \lg \displaystyle \frac{144}{8} = \lg 18 $

$ x = 18 $

$ \mbox{ d) } 3 \ln 2 - 2 \ln 5 + \ln 2x = 0 $

Lösning:

$ \ln 2x = 2 \ln 5 - 3 \ln 2 = \ln 5^2 - \ln 2^3 = \ln \displaystyle \frac{5^2}{2^3} = \ln \displaystyle \frac{25}{8} $

$ 2x = \displaystyle \frac{25}{8} $

$ x = \displaystyle \frac{25}{16} $