4.1 Vinklar och cirklar

Sommarmatte 1

(Skillnad mellan versioner)
Hoppa till: navigering, sök
Versionen från 14 maj 2007 kl. 08.29 (redigera)
Lina (Diskussion | bidrag)
(Avståndsformeln)
← Gå till föregående ändring
Nuvarande version (25 maj 2007 kl. 15.18) (redigera) (ogör)
Mikael (Diskussion | bidrag)
(Vinkelmått)
 
(28 mellanliggande versioner visas inte.)
Rad 42: Rad 42:
*'''Grader.''' Om ett helt varv delas in i 360 delar, så kallas varje del 1 grad. Beteckningen för grader är $ ^\circ$. *'''Grader.''' Om ett helt varv delas in i 360 delar, så kallas varje del 1 grad. Beteckningen för grader är $ ^\circ$.
-[[Bild:3_2_1.gif]]+[[Bild:3_2_1.gif||center]]
*'''Radianer.''' Ett annat sätt att mäta vinklar är att använda längden av vinkelns cirkelbåge i förhållande till radien som mått på vinkeln. Detta vinkelmått kallas för radian. Ett varv är alltså $\,2\pi\,$ radianer eftersom cirkelns omkrets är $\,2\pi r\,$, där $\,r\,$ är cirkelns radie. *'''Radianer.''' Ett annat sätt att mäta vinklar är att använda längden av vinkelns cirkelbåge i förhållande till radien som mått på vinkeln. Detta vinkelmått kallas för radian. Ett varv är alltså $\,2\pi\,$ radianer eftersom cirkelns omkrets är $\,2\pi r\,$, där $\,r\,$ är cirkelns radie.
-[[Bild:3_2_2.gif]]+[[Bild:3_2_2.gif||center]]
Rad 65: Rad 65:
I en del sammanhang kan det vara meningsfullt att tala om negativa vinklar eller vinklar som är större än 360°. Då kan man använda att man kan ange samma riktning med flera olika vinklar som skiljer sig från varandra med ett helt antal varv. I en del sammanhang kan det vara meningsfullt att tala om negativa vinklar eller vinklar som är större än 360°. Då kan man använda att man kan ange samma riktning med flera olika vinklar som skiljer sig från varandra med ett helt antal varv.
-[[Bild:3_2_4.gif]]+[[Bild:t_3_2_4.gif|center]]
<div class="exempel"> <div class="exempel">
Rad 87: Rad 87:
<div class="regel"> <div class="regel">
 +[[Bild:T_3_2_5.gif|right]]
'''Pythagoras sats:''' '''Pythagoras sats:'''
$$c^2 = a^2 + b^2\,\mbox{.}$$ $$c^2 = a^2 + b^2\,\mbox{.}$$
 +
 +
 +
 +
 +
 +
</div> </div>
-[[Bild:figur 3_2_5.gif]] 
<div class="exempel"> <div class="exempel">
'''Exempel 3''' '''Exempel 3'''
-[[Bild:figur 3_2_6.gif]]+[[Bild:3_2_6.gif|right]]
I triangeln till höger är I triangeln till höger är
Rad 115: Rad 121:
Linjestycket mellan punkterna är hypotenusan i en rätvinklig triangel vars kateter är parallella med koordinataxlarna. Linjestycket mellan punkterna är hypotenusan i en rätvinklig triangel vars kateter är parallella med koordinataxlarna.
-[[Bild:figur 3_2_7.gif]]+[[Bild:3_2_7.gif|center]]
Kateternas längd är lika med beloppet av skillnaden i ''x''- och ''y''-led mellan punkterna, dvs. $|x-a|$ respektive $|y-b|$. Pythagoras sats ger sedan avståndsformeln. Kateternas längd är lika med beloppet av skillnaden i ''x''- och ''y''-led mellan punkterna, dvs. $|x-a|$ respektive $|y-b|$. Pythagoras sats ger sedan avståndsformeln.
Rad 135: Rad 141:
En cirkel består av alla punkter som befinner sig på ett visst fixt avstånd $\,r\,$ från en punkt $\,(a,b)\,$. En cirkel består av alla punkter som befinner sig på ett visst fixt avstånd $\,r\,$ från en punkt $\,(a,b)\,$.
-Bild:figur 3.2.8+[[Bild:3_2_8.gif|center]]
Avståndet $\,r\,$ kallas för cirkelns radie och punkten $\,(a,b)\,$ för cirkelns medelpunkt. Figuren nedan visar andra viktiga cirkelbegrepp. Avståndet $\,r\,$ kallas för cirkelns radie och punkten $\,(a,b)\,$ för cirkelns medelpunkt. Figuren nedan visar andra viktiga cirkelbegrepp.
-[[Bild:3_2_10.gif||center]]+[[Bild:3_2_10.gif|center]]
Rad 145: Rad 151:
'''Exempel 5''' '''Exempel 5'''
-En cirkelsektor är given i figuren till höger. Bild: figur 3.2.10+En cirkelsektor är given i figuren till höger. [[Bild:t_3_2_9.gif|right]]
<ol type="a"> <ol type="a">
<li>Bestäm cirkelbågens längd. <br><br> <li>Bestäm cirkelbågens längd. <br><br>
Rad 159: Rad 165:
</div> </div>
-Bild:3.2.11+ 
En punkt $\,(x,y)\,$ ligger på cirkeln som har medelpunkt i $\,(a,b)\,$ och radie $\,r\,$ om dess avstånd till medelpunkten är lika med $\,r\,$. Detta villkor kan formuleras med avståndsformeln som En punkt $\,(x,y)\,$ ligger på cirkeln som har medelpunkt i $\,(a,b)\,$ och radie $\,r\,$ om dess avstånd till medelpunkten är lika med $\,r\,$. Detta villkor kan formuleras med avståndsformeln som
<div class="regel"> <div class="regel">
 +[[Bild:T_3_2_11.gif|right]]
'''Cirkelns ekvation:''' '''Cirkelns ekvation:'''
$$(x – a)^2 + (y – b)^2 = r^2\,\mbox{.}$$ $$(x – a)^2 + (y – b)^2 = r^2\,\mbox{.}$$
 +
 +
 +
 +
 +
 +
 +
 +
</div> </div>
<div class="exempel"> <div class="exempel">
'''Exempel 6''' '''Exempel 6'''
- +{|
 +|-
 +| width=50% valign=top |
<ol type="a"> <ol type="a">
<li>$(x-1)^2 + (y-2)^2 = 9\quad$ är ekvationen för en cirkel med medelpunkt i $\,(1,2)\,$ och radie $\,\sqrt{9} = 3\,$.<br><br> <li>$(x-1)^2 + (y-2)^2 = 9\quad$ är ekvationen för en cirkel med medelpunkt i $\,(1,2)\,$ och radie $\,\sqrt{9} = 3\,$.<br><br>
 +</ol>
 +| width=45% valign=top |
 +[[Bild:t_3_2_12.gif|right]]
 +| width=5% valign=top |
 +
 +|}
 +
 +{|
 +|-
 +| width=50% valign=top |
 +<ol type="a" start=2>
<li>$x^2 + (y-1)^2 = 1\quad$ kan skrivas som $\,(x-0)^2 + (y-1)^2 = 1\,$ och är ekvationen för en cirkel med medelpunkt i $\,(0,1)\,$ och radie $\,\sqrt{1} = 1\,$.<br><br> <li>$x^2 + (y-1)^2 = 1\quad$ kan skrivas som $\,(x-0)^2 + (y-1)^2 = 1\,$ och är ekvationen för en cirkel med medelpunkt i $\,(0,1)\,$ och radie $\,\sqrt{1} = 1\,$.<br><br>
-<li>$(x+1)^2 + (y-3)^2 = 5\quad$ kan skrivas som $\,(x-(-1))^2 + (y-3)^2 = 5\,$ och är ekvationen för en cirkel med medelpunkt i $\,(-1,3)\,$ och radie $\,\sqrt{5} \approx 2{,}236\,$. 
</ol> </ol>
 +| width=45% valign=top |
 +[[Bild:t_3_2_13.gif|right]]
 +| width=5% valign=top |
-Bild: figur 3.2-12-14+|}
 +{|
 +|-
 +| width=60% valign=top |
 +<ol type="a" start=3>
 +<li>$(x+1)^2 + (y-3)^2 = 5\quad$ kan skrivas som $\,(x-(-1))^2 + (y-3)^2 = 5\,$ och är ekvationen för en cirkel med medelpunkt i $\,(-1,3)\,$ och radie $\,\sqrt{5} \approx 2{,}236\,$.
 +</ol>
 +| width=40% valign=top |
 +[[Bild:t_3_2_14.gif|right]]
 +
 +|}
</div> </div>
<div class="exempel"> <div class="exempel">
-'''Exempel 7''' 
 +'''Exempel 7'''
 +{|
 +|-
 +| width=40% valign=top |
<ol type="a"> <ol type="a">
<li>Ligger punkten $\,(1,2)\,$ på cirkeln $\,(x-4)^2 +y^2=13\,$?<br><br> <li>Ligger punkten $\,(1,2)\,$ på cirkeln $\,(x-4)^2 +y^2=13\,$?<br><br>
-Stoppar vi in punktens koordinater $\,x=1\,$ och $\,y=2\,$ i cirkelns ekvation har vi att+Stoppar vi in punktens koordinater $\,x=1\,$ och $\,y=2\,$ i cirkelns ekvation har vi att <br>
-$$\mbox{VL }= (1-4)^2+2^2 =(-3)^2+2^2=9+4=13= \mbox{ HL}\,\mbox{.}$$+$\mbox{VL }= (1-4)^2+2^2 = $ <br>
 +$=(-3)^2+2^2=9+4=13= \mbox{ HL}\,\mbox{.}$ <br>
Eftersom punkten uppfyller cirkelns ekvation ligger punken på cirkeln. <br><br> Eftersom punkten uppfyller cirkelns ekvation ligger punken på cirkeln. <br><br>
 +</ol>
 +| width=60% valign=top |
 +[[Bild:t_3_2_15.gif|right]]
 +|}
 +
 +
 +
 +
 +{|
 +|-
 +| width=40% valign=top |
 +<ol type="a" start=2>
<li>Bestäm ekvationen för cirkeln som har medelpunkt i $\,(3,4)\,$ och innehåller punkten $\,(1,0)\,$.<br><br> <li>Bestäm ekvationen för cirkeln som har medelpunkt i $\,(3,4)\,$ och innehåller punkten $\,(1,0)\,$.<br><br>
Eftersom punkten $\,(1,0)\,$ ska ligga på cirkeln måste cirkelns radie vara lika med avståndet från $\,(1,0)\,$ till medelpunkten $\,(3,4)\,$. Avståndsformeln ger att detta avstånd är Eftersom punkten $\,(1,0)\,$ ska ligga på cirkeln måste cirkelns radie vara lika med avståndet från $\,(1,0)\,$ till medelpunkten $\,(3,4)\,$. Avståndsformeln ger att detta avstånd är
Rad 194: Rad 250:
$$(x-3)^2 + (y-4)^2 = 20 \; \mbox{.}$$ $$(x-3)^2 + (y-4)^2 = 20 \; \mbox{.}$$
</ol> </ol>
- +| width=60% valign=top |
-Bild: 3.2.15 och 3.2.16+[[Bild:t_3_2_16.gif|right]]
 +|}
</div> </div>
 +
<div class="exempel"> <div class="exempel">
Rad 234: Rad 292:
'''Råd för inläsning''' '''Råd för inläsning'''
-'''Tänk på att:'''+'''Grund- och slutprov'''
 +Efter att du har läst texten och arbetat med övningarna ska du göra grund- och slutprovet för att bli godkänd på detta avsnitt. Du hittar länken till proven i din student lounge.
 +
 +
 +'''Tänk på att:'''
Rad 253: Rad 315:
</div> </div>
- 
- 
-<small>© Copyright 2007, math.se</small> 
- 

Nuvarande version

Innehåll:

  • Olika vinkelmått (grader, radianer och varv)
  • Pythagoras sats
  • Avståndsformeln i planet
  • Cirkelns ekvation

Lärandemål:

Efter detta avsnitt ska du ha lärt dig att:

  • Omvandla mellan grader, radianer och varv.
  • Beräkna arean och omkretsen av cirkelsektorer.
  • Känna till begreppen katet, hypotenusa och rätvinklig triangel.
  • Formulera och använda Pythagoras sats.
  • Beräkna avståndet mellan två punkter i planet.
  • Skissera cirklar med hjälp av att kvadratkomplettera deras ekvationer.
  • Känna till begreppen enhetscirkel, tangent, radie, diameter, periferi, korda och cirkelbåge.
  • Lösa geometriska problem som innehåller cirklar.


Övningar

[redigera] Teori

[redigera] Vinkelmått

Det finns flera olika enheter för att mäta vinklar, som är praktiska i olika sammanhang. De två vanligaste vinkelmåtten i matematiken är grader och radianer.

  • Grader. Om ett helt varv delas in i 360 delar, så kallas varje del 1 grad. Beteckningen för grader är $ ^\circ$.
  • Radianer. Ett annat sätt att mäta vinklar är att använda längden av vinkelns cirkelbåge i förhållande till radien som mått på vinkeln. Detta vinkelmått kallas för radian. Ett varv är alltså $\,2\pi\,$ radianer eftersom cirkelns omkrets är $\,2\pi r\,$, där $\,r\,$ är cirkelns radie.


Ett helt varv är $\,360^\circ\,$ eller $\,2\pi\,$ radianer och det gör att $$\eqalign{&1^\circ = \frac{1}{360} \cdot 2\pi\ \mbox{ radianer } = \frac{\pi}{180}\ \mbox{ radianer,}\cr &1\ \mbox{ radian } = \frac{1}{2\pi} \cdot 360^\circ = \frac{180^\circ}{\pi}\,\mbox{.}}$$ Dessa omvandlingsfaktorer kan användas för att konvertera mellan grader och radianer.

Exempel 1

  1. $30^\circ = 30 \cdot 1^\circ = 30 \cdot \displaystyle \frac{\pi}{180}\ \mbox{ radianer } = \displaystyle \frac{\pi}{6}\ \mbox{ radianer }$

  2. $ \displaystyle \frac{\pi}{8}\ \mbox { radianer } = \displaystyle \frac{\pi}{8} \cdot (1 \; \mbox{radian}\,) = \displaystyle \frac{\pi}{8} \cdot \displaystyle \frac{180^\circ}{\pi} = 22{,}5^\circ$

I en del sammanhang kan det vara meningsfullt att tala om negativa vinklar eller vinklar som är större än 360°. Då kan man använda att man kan ange samma riktning med flera olika vinklar som skiljer sig från varandra med ett helt antal varv.

Exempel 2

  1. Vinklarna $\,-55^\circ\,$ och $\,665^\circ\,$ anger samma riktning eftersom $$-55^\circ + 2 \cdot 360^\circ = 665^\circ\,\mbox{.}$$
  2. Vinklarna $\,\displaystyle\frac{3\pi}{7}\,$ och $\,-\displaystyle\frac{11\pi}{7}\,$ anger samma riktning eftersom $$\frac{3\pi}{7} - 2\pi = -\frac{11\pi}{7}\,\mbox{.}$$
  3. Vinklarna $\,36^\circ\,$ och $\,216^\circ\,$ anger inte samma riktning utan motsatta riktningar eftersom $$36^\circ + 180^\circ = 216^\circ\,\mbox{.}$$

[redigera] Avståndsformeln

Pythagoras sats är en av de mest kända satserna i matematiken och säger att i en rätvinklig triangel med kateter $\,a\,$ och $\,b\,$, och hypotenusa $\,c\,$ gäller att

Pythagoras sats: $$c^2 = a^2 + b^2\,\mbox{.}$$





Exempel 3

I triangeln till höger är $$c^2= 3^2 + 4^2 = 9 +16 = 25$$ och därför är hypotenusan $\,c\,$ lika med $$c=\sqrt{25} = 5\,\mbox{.}$$

Pythagoras sats kan användas för att beräkna avståndet mellan två punkter i ett koordinatsystem.

Avståndsformeln:

Avståndet $\,d\,$ mellan två punkter med koordinater $\,(x, y)\,$ och $\,(a, b)\,$ är $$d = \sqrt{(x – a)^2 + (y – b)^2}\,\mbox{.}$$

Linjestycket mellan punkterna är hypotenusan i en rätvinklig triangel vars kateter är parallella med koordinataxlarna.

Kateternas längd är lika med beloppet av skillnaden i x- och y-led mellan punkterna, dvs. $|x-a|$ respektive $|y-b|$. Pythagoras sats ger sedan avståndsformeln.

Exempel 4

  1. Avståndet mellan $\,(1,2)\,$ och $\,(3,1)\,$ är $$d=\sqrt{ (1-3)^2 + (2-1)^2} = \sqrt{(-2)^2 + 1^2} = \sqrt{ 4+1} = \sqrt{5}\,\mbox{.}$$
  2. Avståndet mellan $\,(-1,0)\,$ och $\,(-2,-5)\,$ är $$d=\sqrt{ (-1-(-2))^2 + (0-(-5))^2} = \sqrt{1^2 + 5^2} = \sqrt{1+25} = \sqrt{26}\,\mbox{.}$$

[redigera] Cirklar

En cirkel består av alla punkter som befinner sig på ett visst fixt avstånd $\,r\,$ från en punkt $\,(a,b)\,$.

Avståndet $\,r\,$ kallas för cirkelns radie och punkten $\,(a,b)\,$ för cirkelns medelpunkt. Figuren nedan visar andra viktiga cirkelbegrepp.


Exempel 5

En cirkelsektor är given i figuren till höger.
  1. Bestäm cirkelbågens längd.

    Medelpunktsvinkeln $\,50^\circ\,$ blir i radianer $$50^\circ= 50 \cdot 1^\circ = 50 \cdot \frac{\pi}{180}\ \mbox{ radianer } = \frac{5\pi}{18}\ \mbox{ radianer. }$$ På det sätt som radianer är definierat betyder detta att cirkelbågens längd är radien multiplicerat med vinkeln mätt i radianer, $$3 \cdot \frac{5\pi}{18}\ \mbox{ l.e. } = \frac{5\pi}{6}\ \mbox{ l.e. }$$
  2. Bestäm cirkelsektorns area.

    Cirkelsektorns andel av hela cirkeln är $$\frac{50^\circ}{360^\circ} = \frac{5}{36}$$ och det betyder att dess area är $\,\frac{5}{36}\,$ delar av cirkelns area som är $\,\pi r^2 = \pi 3^2 = 9\pi\,$, dvs. $$\frac{5}{36} \cdot 9\pi\ \mbox{ a.e. }= \frac{5\pi}{4}\ \mbox{ a.e. }$$


En punkt $\,(x,y)\,$ ligger på cirkeln som har medelpunkt i $\,(a,b)\,$ och radie $\,r\,$ om dess avstånd till medelpunkten är lika med $\,r\,$. Detta villkor kan formuleras med avståndsformeln som

Cirkelns ekvation: $$(x – a)^2 + (y – b)^2 = r^2\,\mbox{.}$$





Exempel 6

  1. $(x-1)^2 + (y-2)^2 = 9\quad$ är ekvationen för en cirkel med medelpunkt i $\,(1,2)\,$ och radie $\,\sqrt{9} = 3\,$.

  1. $x^2 + (y-1)^2 = 1\quad$ kan skrivas som $\,(x-0)^2 + (y-1)^2 = 1\,$ och är ekvationen för en cirkel med medelpunkt i $\,(0,1)\,$ och radie $\,\sqrt{1} = 1\,$.

  1. $(x+1)^2 + (y-3)^2 = 5\quad$ kan skrivas som $\,(x-(-1))^2 + (y-3)^2 = 5\,$ och är ekvationen för en cirkel med medelpunkt i $\,(-1,3)\,$ och radie $\,\sqrt{5} \approx 2{,}236\,$.

Exempel 7

  1. Ligger punkten $\,(1,2)\,$ på cirkeln $\,(x-4)^2 +y^2=13\,$?

    Stoppar vi in punktens koordinater $\,x=1\,$ och $\,y=2\,$ i cirkelns ekvation har vi att
    $\mbox{VL }= (1-4)^2+2^2 = $
    $=(-3)^2+2^2=9+4=13= \mbox{ HL}\,\mbox{.}$
    Eftersom punkten uppfyller cirkelns ekvation ligger punken på cirkeln.



  1. Bestäm ekvationen för cirkeln som har medelpunkt i $\,(3,4)\,$ och innehåller punkten $\,(1,0)\,$.

    Eftersom punkten $\,(1,0)\,$ ska ligga på cirkeln måste cirkelns radie vara lika med avståndet från $\,(1,0)\,$ till medelpunkten $\,(3,4)\,$. Avståndsformeln ger att detta avstånd är $$c=\sqrt{(3-1)^2 + (4-0)^2 }= \sqrt{4 +16} = \sqrt{20} \, \mbox{.}$$ Cirkelns ekvation är därför $$(x-3)^2 + (y-4)^2 = 20 \; \mbox{.}$$


Exempel 8

Bestäm medelpunkt och radie för den cirkel vars ekvation är $\ x^2 + y^2 – 2x + 4y + 1 = 0\,$.


Vi ska försöka skriva om cirkelns ekvation på formen $$(x – a)^2 + (y – b)^2 = r^2$$ för då kan vi direkt avläsa att medelpunken är $\,(a,b)\,$ och radien är $\,r\,$.

Börja med att kvadratkomplettera termerna som innehåller $\,x\,$ i vänsterledet $$ \underline{x^2-2x\vphantom{(}} + y^2+4y + 1 =\underline{(x-1)^2-1^2} + y^2+4y + 1$$ (de understrukna termerna visar kvadratkompletteringen).

Kvadratkomplettera sedan termerna som innehåller $y$ $$ (x-1)^2-1^2 + \underline{y^2+4y} + 1= (x-1)^2-1^2 + \underline{(y+2)^2-2^2} + 1\,\mbox{.}$$

Vänsterledet är alltså lika med $$ (x-1)^2 + (y+2)^2-4 $$

och flyttar vi över 4 till högerledet är cirkelns ekvation $$ (x-1)^2 + (y+2)^2 = 4 \, \mbox{.}$$

Vi avläser att medelpunkten är $\,(1,-2)\,$ och radien är $\,\sqrt{4}= 2\,$.

Övningar


Råd för inläsning

Grund- och slutprov

Efter att du har läst texten och arbetat med övningarna ska du göra grund- och slutprovet för att bli godkänd på detta avsnitt. Du hittar länken till proven i din student lounge.


Tänk på att:


Lästips

för dig som vill fördjupa dig ytterligare eller behöver en längre förklaring vill vi tipsa om:

Läs mer om Pythagoras sats på svenska Wikipedia

Läs mer i Mathworld om cirkeln


Länktips

Interaktivt experiment: sinus och cosinus i enehtscirkeln (Flash)




Personliga verktyg